在析“錯”中凸顯數學核心素養

郭耀宇

(福建省廈門市集美區灌南小學 福建 廈門 361021)

數學教師對于孩子在解題過程中所犯的錯誤該如何處置呢？倘若能把學生的錯誤進行挖掘再加工，讓“錯誤”充分展露出它應有的價值，那么就應該可以期待融錯背后學生能力及素養的提升。以下試從融錯這個角度對培養和提升學生的推理能力與運算能力這兩個核心素養加以闡釋。

1.巧妙變式，提升推理能力

新課標指出推理是數學的基本思維方式，推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程。在六年級教完《分數乘除法》后，有一類題讓學生屢做屢錯，若能融錯得當，頗能提高學生的推理能力。題目如下：一條繩子剪成兩段，第一段長3/7米，第二段占全長的3/7，請問哪段繩子長？經整理有如下“錯誤但極有價值”的分析：A：“繩子長度未知，采用特值法，設繩子總長度為1米，則第二段繩長為1×3/7=3/7(米)，所以一樣長”；B：“也用特值法，設總長度為2米，則第二段繩長為2×3/7=6/7(米)，所以第二段長”；C：“設總長度為1/2米，則第二段繩長為1/2×3/7=3/14(米)，而第一段長3/7米=6/14米，故第一段長”；D：“繩子的總長度未知，前面的解法都只是其中一種情況，無法概括出全部，故無法比較長短”；D選項較多人贊同。正是到了“不悱不發”的最佳融錯時機，此時從反證法的角度點出A的問題：既然求出第二段是3/7米，那兩段加起來總長是6/7米，這與假設全長是1米，豈不是自相矛盾？并且6/7<1，也說明還有第三段，這與題意不相符。接著繼續引導，能否通過數形結合的方法來解決，比如嘗試畫線段圖幫助分析(如下圖)。在畫圖的過程中，學生理解了第二段占全長的3/7，那么第一段應占繩子全長的4/7，故第一段長。

此時繼續挖掘錯誤，引導學生探究“特值法的假設為什么是錯的”？“根據已知條件能求出繩子的確切長度嗎？”豁然開朗！陸續有學生根據線段圖列出算式得到整條繩子的長度：3/7÷(1-3/7)=3/4(米)；還可假設繩子長為x米，有(1-3/7)x=3/7，得x=3/4米！原來是一個確定的數值，因此隨意的假設當然就錯了(學生錯用特值法：因為一開始這條繩子的長度就是確定的，只不過是一個隱藏的已知條件)！此時還可繼續深挖，出示這道題：一條繩子，第一次剪下3/7米，第二次剪下全長的3/7，請問哪次剪下的繩子長？雖然有了前一題的鋪墊，但是很多同學因審題不清，還是認為第一次比較長。實際上這一題沒有強調只能剪成兩段，只是說剪了兩次，所以繩子的總長度是無法再被確定的，因此正確答案是無法判斷哪次剪的長。通過讓學生從錯誤中學習，并對題目進行變式，層層推進，讓學生學會用畫圖法、方程法等方法分析數量關系，相信能慢慢提升學生的推理能力。

2.對比辨析，提高計算能力

運算能力主要是指能夠根據法則和運算定律正確的進行運算的能力。從某個角度來說運算能力是學好數學最基礎也是最重要的能力了，因此教師要高度重視學生運算能力的培養。在畢業考計算總復習中，因為對乘法分配律的定義理解不清，導致乘法分配律的應用不佳。針對此種情況安排學生再次“試錯”。給出以下四道題(4題依次出現，完成一題再出示下一題，附學生解答)。

①(1/4+1/5)×20

=1/4×20+1/5×20

=5+4

=9

②(1/4+1/5)÷1/20

=1/4÷1/20+1/5÷1/20

=1/4×20+1/5×20

=5+4

=9

③1/20÷(1/4+1/5)

=1/20÷1/4+1/20÷1/5

=1/20×4+1/20×5

=1/5+1/4

=9/20

④(1/4+1/5)×4×5

=1/4×4+1/5×5

=1+1

=2

做完第①題后大家順著乘法分配律的思維做第②題，學生做對了嗎？解題中含有“所謂除法分配率”的“影子”，可并沒有“除法分配率”！錯了嗎？但通過變形答案又是正確的。第③題就有部分學生受思維定勢影響做錯了。第④題學生“選擇性”的應用乘法分配律。如何引導學生經歷“辨析”的環節？使學生們能夠順利糾錯。筆者首先請一位同學板演第②題(已在學生做題時巡視過)，板演如下：

(1/4+1/5)÷1/20

=(1/4+1/5)×20

=1/4×20+1/5×20

=9

然后請他說說思路，“先將括號看成一個整體，運用除法法則，將除法轉變成乘法，再運用乘法分配律進行計算”，他的分析使學生明確了上例第②題答案正確的“僥幸”。其次是對于第③題的處理，作為教師必須深知課堂教學中真正的生成性往往來自學生出現差錯時教師的處理和師生的互動。本題受“除法分配率”這個負因素的思維干擾，為此我設計了辯論環節，正方即運用“除法分配率”的學生代表分析說：“因為乘除法運算互為逆運算，所以可以把1/4和1/5分開除然后再相加，應該不會錯！”反方學生闡述：我們根據運算順序，有括號先算括號里的，然后再進行除法計算，得出的答案是1/9。這時再讓學生觀察第②題與第③題的題目結構有何不同？然后順勢復習乘法分配律的定義：兩個數的和與第三個數相乘等于這兩個數分別與這個數相乘再相加。第②題(1/4+1/5)÷1/20=(1/4+1/5)×20可以轉化成乘法分配律的模型，因為可以把1/20看成是第三個數，但第③題1/20÷(1/4+1/5)中因為兩個數的和即(1/4+1/5)已經移換到了除數的位置，所以此時無法再轉化成乘法分配律的模型了，故上例中第③題的解法應該是錯的。第④題依然可以把(1/4+1/5)看作一個整體，把4×5先計算出來，然后依照第①題計算。通過這樣的辨析，學生在常錯而又有疑惑的地方得到了明晰，學生思考后的辯論和知錯析錯改錯后的興奮，也必定會進一步讓學生鞏固對運算定律——乘法分配律的理解和應用，這樣的融錯必將提高學生的計算能力。

3.錯題收集，促成素養提升

錯誤伴隨著整個學習過程，單純依靠課堂這一陣地進行“融錯”，時間是遠遠不夠的。為此筆者在班級鼓勵學生開展各具特色的典型錯題收集活動，每位學生準備一本精美的筆記本，然后要求學生根據自己的學習層次摘抄比較有針對性并且較有思維價值的錯題，按照①錯題的來源②正確的解答③給我的啟發④所用數學解題方法四個步驟進行整理，尤其重點關注第④點即所用的解題方法，盡量做到每次收集錯題的時候，都有特值法、數形結合法、分析綜合法、排除法等類型的題目，哪怕是優生雖然沒有什么錯題可收集，但也要根據這幾種方法挑選出對他而言比較有思考價值的題目，分門別類加以整理。一般要求學生以每單元做為一個小周期，在單元檢測講評完后布置錯題收集，收集完后教師進行批改并加以引導，在收集的題目上做適當變形，比如修改數字或對調題目的題設和結論，讓學生再次練習，從而讓學生有的放矢，根據解題方法解決同一類型的題。同時為了保持住學生的新鮮感，每個月安排一節課讓學生交流收集錯題的感想，把好的方法和同學們一起分享，力求讓學生自己實現“造血”的功能；接著以半學期為一個大周期，在一學期內舉辦兩次的錯題集手抄報比賽，并頒發獎狀和獎品以鼓舞學生不斷的融錯。經過這樣的訓練，學生們基本能以正確的態度對待錯誤，能夠利用錯題集歸類，解題方法得到優化，自身“融錯”的能力也有所提高，促成了數學核心素養的提升。

懷特黑德說畏懼錯誤就是毀滅進步。教師要讓學生從自己或他人的錯誤中感悟、學習，使錯誤的消極因素轉化成積極因素，直至獲得成功的體驗。因為我們堅信有錯誤的學習才是真正的學習！期待錯誤的華麗轉身吧！