展示圖形無窮魅力?培育幾何直觀素養

《義務教育數學課程標準》（2011年版）明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”如何借助幾何直觀促進課堂教學改進，使學生真正地深度學習，本文以教材中一道例題的教學為例，展示培育學生幾何直觀素養的重要性。

一、問題呈現

（蘇科版教材九年級上冊第二章2.4圓周角第59頁“例4”）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若點E在上，求∠E的度數。

二、教學分析

本題要求∠E的度數，常見的教學方法是教師引導學生先觀察圖形，根據題目的已知條件和要求，找出它們之間的關系，為正確解題做準備。教師如果嘗試將例題的條件減少，那么題目的難度自然就降低，同時圖形也由繁變簡。教師如果再嘗試將例題的條件改變，那么題目難度降低的同時，圖形也變為學生有認知基礎的圖形。學生就可以依托看到的圖形進行思考，展開想象，探索解決問題的思路，預測結果。因而幫助學生提升幾何直觀能力應成為教學中關注的目標。

三、教學過程

環節1 理清條件要求

請分析例題的條件與要求。

分析：審題是解題的前提，通過審題，分析例題的條件和要求。本題的條件是在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若點E在上，要求∠E的度數。根據題目的已知條件和要求，找出它們之間的關系，為正確解題做準備。

環節2 降難簡化圖形

（1）降低例題的難度，即減少一個已知條件，例題將變成什么問題？

（2）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠A=110°，求∠C的度數。

分析：將例題的條件減少，可以降低題目的難度，同時圖形也由繁變簡。例題的條件有兩個：一個是“AB=AD”，另一個是“∠C=110°”。將例題中的已知條件“AB=AD”刪除，將“∠C=110°”更改為“∠A=110°”，求“∠E的度數”更改為求“∠C的度數”，即問題（2）。如何解決問題（2）呢？學生嘗試利用“圓內接四邊形的對角互補”，因為∠A+∠C=180°，所以∠C=180°-∠A=70°。降低例題的難度，簡化圖形，學生成功解決問題（2），為解決例題打下了堅實的基礎。

環節3 借助圖形思考

（3）改變例題的已知條件，例題將變成什么問題？

（4）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上。若∠ABD=30°，求∠BCD的度數。

教學片段1：

教師：例題的已知條件改變了，你們能談談哪些條件改變了嗎？

學生1：例題中的已知條件“AB=AD”更改為“AB為⊙O的直徑”，“∠C=110°”更改為“∠ABD=30°”，求“∠E的度數”更改為求“∠BCD的度數”。

教師：你們能解決問題（4）嗎？

學生2：條件改變后，題目的難度降低了，圖形也是之前熟悉的圖形。連接線段AD，由直徑所對的圓周角是直角，就構造了Rt△ABD，得∠ADB=90°，則∠DAB=90°-∠ABD=60°。根據“圓內接四邊形的對角互補”可得出∠BCD=180°-∠DAB=120°。

教師：這位同學通過添加輔助線，巧妙解題。連接線段AD的原因是什么？

學生2：通過觀察圖形，我發現圖中缺了條線段AD，因為直徑所對的圓周角是直角，線段AD既是直角三角形的邊，也是⊙O內接四邊形ABCD的邊。

教師：利用數形結合的思想解決問題，很好。你們仔細觀察例題的圖形，能順利找到解決例題的方法嗎？

學生3：我仔細觀察了圖形，與問題（4）類似，缺少一條線段。如果連接線段BD，可以構成等腰△ABD和⊙O內接四邊形ABDE。因為在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BAD+∠C=180°，所以∠BAD=180°-∠C =70°。又因為AB=AD，∠BAD=70°，所以∠ABD=∠ADB=55°。又因為題目中還構造了新的⊙O內接四邊形ABDE，所以∠E=180°-∠ABD=125°。

教師：用類比問題（4）的解題方法，用圖形思考問題，通過添加輔助線，得到一個⊙O內接等腰三角形和兩個⊙O內接四邊形，回答正確。

分析：將例題的條件改變，可以適度降低題目的難度，圖形也變為學生有認知基礎的圖形。

幾何直觀需要邏輯推理的支撐，學生通過看圖形，猜想出可能的論證思路，這是學生合情推理能力提升的表現。學生能夠類比問題（4）的解題方法解決例題，把抽象的思考對象直觀化，這是學生幾何直觀素養提升的表現。

環節4 尋找基本圖形

（5）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC、BM于點D、E，求MD與ME的大小關系？

教學片段2：

教師：能談談這個圖形由哪些基本圖形構成的嗎？

學生4：由⊙O、四邊形ABED、△ABC、△DME、△ABM、△BMC組成。

教師：你能利用這些基本圖形解決問題（5）嗎？

學生4：能。因為∠ABC=90°，AM=MC，所以BM=AM=MC，所以∠A=∠ABM。又因為四邊形ABED是圓內接四邊形，所以∠ADE+∠ABE=180°，且∠ADE+∠MDE=180°，所以∠MDE=∠MBA。同樣的方法可證∠MED=∠A，所以∠MED=∠MDE，由等角對等邊可得MD=ME。

教師：這位同學能從基本圖形出發，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，圓內接四邊形的對角互補，等角對等邊等知識點解決問題（5），思路清晰。

分析：基本圖形是解決數學問題的“足”，無“足”寸步難行，有“足”健步如飛。引導學生從復雜的圖形中找出基本圖形，依托基本圖形解決問題，這應貫穿在學生數學學習的整個過程中，更是教師教學過程中始終關注的目標。

環節5 讓圖形動起來

（6）如圖，圓外接于正方形ABCD，P為上一點，且AP=1，PB=2，求PC的長。

教學片段3：

教師：能談談這個圖形由哪些基本圖形構成的嗎？

學生4：由圓、正方形ABCD、△ABP、四邊形ABCP等組成。

教師：這些基本圖形是對稱圖形嗎？

學生4：圓和正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

教師：你能利用對稱圖形的性質解決問題（6）嗎？

學生4：能。把△ABP繞點B順時針旋轉90°，得到CBP?。因為四邊形ABCP是圓內接四邊形，所以∠PAB+∠PCB=180°，且由旋轉的性質知∠PAB=∠P?CB，所以∠P?CB+∠PCB=180°，所以P、C、P?三點共線。又因為旋轉前后的圖形全等，所以P?C=PA=1，PB=P?B=2，△BPP?是等腰直角三角形。根據勾股定理可以順利求出PP?=4，則PC=3。

分析：常見的圖形運動包括平移、翻折、旋轉，圖形位置的變化可以引起條件或結論的改變，也可以集中分散的條件，為解題提供有利的條件。學生會用動態的眼光看待圖形，能夠通過改變圖形的位置創造條件，便于在新的圖形中分析圖形之間的關系。

環節6 特殊圖形作用

（7）已知：如圖，面積為2的四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC經過圓心，若∠BAD=45°，CD=，求AB的長為多少？

教學片段4：

教師：能談談這個圖形由哪些基本圖形構成的嗎？

學生4：由⊙O、Rt△ADC、Rt△ABC、四邊形ABCD組成。

教師：這些基本圖形具有特殊性嗎？

學生4：有。Rt△ADC、Rt△ABC有特殊角直角，⊙O內接四邊形ABCD有特殊角45°，可利用特殊角45°構造等腰直角三角形。

教師：很好。你能敘述解題思路嗎？

學生4：延長BC，過點D作BC延長線的垂線，兩線交于點E。過點D作AB的垂線交AB于點F。根據問題（5）的解題經驗，∠DCE=∠BAD=45°，因此 △DCE、△ADF均為等腰直角三角形。此時，圖形中還出現了矩形FBED，根據矩形對邊相等，FD=BE，這樣線段AD、AB、BC、DC之間的關系就建立起來了，利用Rt△ADC、Rt△ABC的面積和為2就能求出AB的長。

分析：學生通過觀察圖形、動手畫圖將抽象的思考對象直觀化，直觀便于形象思維的展開，為解題開山辟路。邏輯推理能力和幾何直觀能力的提升都應該是教師孜孜以求的目標。兩種能力相互交織的關系，可謂“你中有我”“我中有你”。

環節7 回顧總結通法

請回顧7個環節的全過程，描述我們的歷程？

分析：教師引導學生梳理解題方法，總結解題經驗，在教學中具有畫龍點睛的作用。這個教學環節的實施，讓學生具有融會貫通的能力，是教學任務成功完成的表現。

四、教學價值與功能分析

1.養成畫圖習慣，培育幾何直觀素養

在教學中，教師要有意識地培養學生畫圖的習慣，因為圖形可以把抽象的思考對象直觀化，直觀便于把復雜的問題形象化，不僅為學生解題開山辟路，還可以使學生預測結果。如何幫助學生養成畫圖的習慣？這是一個循序漸進的過程。教師在教學中應不斷尋找恰當的契機，鼓勵學生畫圖，再運用圖形解決問題;教師引導學生挖掘畫圖的價值，如學生在解決問題（4）時，教師追問：“你能告訴同學們為什么連接線段AD嗎？”就是引導學生挖掘“連接線段AD”給解題帶來的價值;教師利用各種途徑，如多媒體等，有意識強化畫圖為后續解決問題和反思交流帶來的便利。

2.尋找基本圖形，培育幾何直觀素養

基本圖形是構成復雜圖形的基本元素，基本圖形分為理論型和經驗型：理論型基本圖形是課本中的概念、公式、定理等所對應的圖形;經驗型基本圖形由兩個或兩個以上的簡單理論型基本圖形組合構成。學生最棘手的就是看到復雜圖形無從下手，教師作為引導者，應適時點撥學生，如何分解復雜圖形，即從復雜圖形中分解出基本圖形，化繁為簡，輕松解決問題。如學生在解決問題（5）時，教師先問：“你們能談談這個圖形由哪些基本圖形構成的嗎？”學生找出基本圖形后，教師追問：“你能利用這些基本圖形解決問題（5）嗎？”學生以基本圖形為抓手，快速把題目的信息重組，輕而易舉解決問題。教學中，教師要有意識培養學生掌握基本圖形的習慣，有意識強化基本圖形的靈活運用，關注學生運用基本圖形發現、描述問題的能力是否提高應成為永恒的目標。

3.利用圖形變換，培育幾何直觀素養

圖形變換包括圖形的平移、翻折、旋轉，圖形變換前后的圖形位置雖然改變，但大小并未改變，屬于全等變換。圖形變換后位置、大小均改變，不屬于全等變換。教學中，如果遇到題目給出的條件分散或不明顯時，可以利用圖形變換解決問題。如學生在解決問題（6）時，教師先問：“你們能談談這個圖形由哪些基本圖形構成的嗎？”教師繼續追問：“這些基本圖形具有特殊性嗎？”“你能利用對稱圖形的性質解決問題（6）嗎？”學生在教師的引導下讓圖形動起來，利用圖形的旋轉，引起圖形位置的改變，把題目分散的條件有效整合，順利解決了問題。學生利用圖形變換可以挖掘出題目中的隱含條件，以此為抓手，實現問題實質的突破。教師要有意識地培養學生用動態的眼光看待圖形，讓圖形在頭腦中動起來。

4.數形相互轉化，培育幾何直觀素養

幾何直觀包含圖形和直觀兩層意思，直觀不僅指直接看到的東西，更重要的是借助現在看到的和以前看到的東西進行思考和想象，它的本質是一種通過圖形所展開的想象能力。幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考和想象。幾何直觀是具體的，與數學內容緊密聯系。很多數學內容、概念既有“數”的特征，又有“形”的特征。數形結合包含以數助形和以形助數，“數”與“形”就是數學的左膀右臂，缺一不可。數的嚴謹性與形的直觀性完美結合使復雜問題簡單化，因此解題的道路變得平坦。本節課所有問題就是通過數形結合這種思想方法解決的。教學中，教師要有意識培養學生巧用數形結合解決問題的習慣，培育學生的幾何直觀素養。

劉冬艷? ?江蘇省泰州市明珠實驗學校，一級教師。