當AP =λPB 出現時……

楊文金

由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶，因此，在向量與圓錐曲線交匯處設計試題，已經成為高考及各地統考命題的熱點.下面就說說一個常見到的問題：圓錐曲線中給出AP =λPB （A，B為直線與曲線兩交點）條件，眾所周知，兩向量相等當且僅當兩個向量的長度相等、方向相同，由于向量坐標的唯一性，故兩個向量相等的充要條件是坐標對應相等，此時利用向量相等的關系，就可把幾何問題代數化.

此類問題答題的一般過程如下：

1.設（或寫出）直線AB的方程;

2.直線方程與曲線方程聯立，整理成關于x（或y）的一元二次方程（如果P為x軸上的點，則整理成關于y的一元二次方程，反之整理成關于x的一元二次方程.）;

3.寫出根與系數的關系;

4.利用AP =λPB ，找x1，x2（或y1，y2）的關系，代入根與系數的關系中，消去x1，x2（或y1，y2），建立關于參數的方程.

下面舉例說明：

例1? ?已知點P（0，1），橢圓 x2 4 +y2=m（m>1）上兩點A，B滿足AP =2PB ，則當m=? ? ? 時，點B橫坐標的絕對值最大.

分析：? 先根據條件得到A、B坐標間的關系，代入橢圓方程解得B的縱坐標，即得B的橫坐標關m的函數關系，最后根據二次函數性質確定最值取法.

解：? 設A（x1，y1），B（x2，y2），由AP =2PB 得-x1=2x2，1-y1=2（y2-1），∴-y1=2y2-3，

因為A、B在橢圓上，

所以 x21 4 +y21=m， x22 4 +y22=m，

∴ 4x22 4 +（2y2-3）2=m，∴ x22 4 +（y2- 3 2 ）2= m 4 ，

與 x22 4 +y22=m對應相減得y2= 3+m 4 ，

x22=- 1 4 （m2-10m+9）≤4，

當且僅當m=5時取最大值.

點睛： 解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經常出現，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數關系，將目標量表示為一個（或者多個）變量的函數，然后借助于函……