高考中數(shù)列證明題的分類例析與策略

縱觀各省市數(shù)學高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列解答題常常作為壓軸題出現(xiàn)在試卷后兩題，尤其數(shù)列證明題，其難度可想而知.數(shù)列證明題綜合性強，同時具有很大的開放性，這也是受到命題者青睞的主要原因.面對這樣的數(shù)列證明題，即使有一定能力的同學也顯得很吃力，能夠完成的也就鳳毛麟角了.

筆者整理近十年的高考題，發(fā)現(xiàn)數(shù)列證明題的類型并不是太多，解題策略還是有一定的共性和規(guī)律，值得我們研究和反思.作此文，望能給同學們帶來些許幫助.

一、與等式相關(guān)的數(shù)列證明

例1? ? ?（2014新課標1）? 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù).

（1）證明：an+2-an=λ;

（2）是否存在λ，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列？并說明理由.

證明：? （1）由題設，anan+1=λSn-1，an+1an+2=λSn+1-1.

兩式相減得an+1（an+2-an）=λan+1.

由于an+1≠0，所以an+2-an=λ.

（2） 由題設，a1=1，a1a2=λS1-1，可得a2=λ-1.

由（1）知，a3=λ+1.

令2a2=a1+a3，解得λ=4.

故an+2-an=4，由此可得

數(shù)列{a2n-1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n-1=4n-3;

數(shù)列{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n=4n-1.

所以an=2n-1，an-1-an=2.

因此存在λ=4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

例2? ?設數(shù)列{an}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項和.

記bn= nSn n2+c ，n∈ N *，其中c為實數(shù).

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈ N *）;

（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，證明：c=0.

證明：? （1）若c=0，則bn= Sn n ，n∈ N *，

又由題Sn=na+ n（n-1）d 2 ，

∴bn= Sn n =a+ n-1 2 d，∴bn+1-bn= 1 2 d，

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為a，公差為 d 2 ，（d≠0），又b1，b2，b4成等比數(shù)列，

∴b22=b1b4，∴（a+ d 2 ）2=a（a+ 3d 2 ），∴ad+ d2 4 =a（ 3d 2 ），∵d≠0，∴d=2a，∴Sn=n2a，

∴Snk=（nk）2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a，

∴Snk=n2Sk（k，n∈ N *）.

（2）由題bn= nSn n2+c ，n∈ N *，

bn= n2[2a+（n-1）d] 2（n2+c） ，若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

則可設bn=x+yn，x，y是常數(shù)，

n2[2a+（n-1）d] 2（n2+c） =x+yn關(guān)于n∈ N *恒成立.

整理得：

（d-2y）n3+（2a-d-2x）n2-2cyn-2cx=0，

關(guān)于n∈ N *恒成立.

∴d-2y=0，2a-d-2x=0，2cy=0，2cx=0，

∴d=2y≠0，2a-2x=d，cy=0，cx=0，

∴c=0.

點評與反思： 數(shù)列證明題較為簡單的一類就是證明與數(shù)列通項相關(guān)的等式證明，例1的策略是針對題中給的遞推關(guān)系利用賦值法得到另外一個或者多個類似方程，然后運算（一般是作差或作商）獲得目標等式.例2的策略是將目……