一類具有反應擴散的兩種群競爭的雙穩定性

陳梅香， 謝溪莊

(華僑大學 數學科學學院， 福建 泉州 362021)

1 預備知識

在Lotka-Volterra競爭模型的基礎上,Gilpin等[1-2]通過對果蠅的系列實驗,得到Gilpin-Ayala競爭模型為

(1)

式(1)中：(x1(0)，x2(0))=x0∈R2+.

對于該模型,有下面4種競爭結果(詳見文獻[3],取τ1=τ2=0時):

此外,文獻[4]考慮了具有階段結構和非局部空間效應影響的Gilpin-Ayala競爭模型的全局穩定性;文獻[5]討論了帶有正反饋作用下的Gilpin-Ayala模型的動力學性態;文獻[6-9]則研究了該模型的隨機情形.特別地，Liao等[10]研究了帶有反應擴散項的Gilpin-Ayala模型,并通過構造李雅普諾夫函數,得到正平衡態的全局漸近穩定性.受文獻[11-12]關于單調半流存在雙穩定性的啟發,本文考慮帶有反應擴散項和Neumann邊值的Gilpin-Ayala競爭系統，即

(2)

式(2)中：Ω?Rm(m≥1)是一個有界的，開凸區域；?Ω是一個C2+α(α∈(0，1))流形；v是?Ω的單位外法向量；ui(x，t)，i=1，2是種群i在t時刻x位置的密度；di是種群i的擴散系數；bi是種群i的內稟增長率；aii是種群i的密度制約參數，a12和a21是兩種群競爭系數，且假設θi≥1，i=1，2或θi<1，i=1，2.

2 平衡解的穩定性及其證明

Jiang等[11]給出單調半流和抽象競爭系統的雙穩定性(也稱為“鞍點結構”)理論.假設X1和X2是分別具有正錐X+1和X+2的兩個有序的Banach空間,序關系記為“≤”.令X+=X+1×X+2,則intX+=intX+1×intX+2.記K=X+1×(-X+2),那么,X=X1×X2也是具有正錐K的有序的Banach空間,其中,≤K(

A1) 存在τ>0,使得算子φτ是嚴格α-contraction,即存在0

A3) ?t>0，φt(Cj)?Cj，j=0，1，2,半流φt在X+上是嚴格K-monotone,在C0上是嚴格K-order,且在Ci，i=1，2上是強序保持半流;

引理1(文獻[11]的定理2.4) 假設C1-半流φt滿足A1)～A4),且φt在intX+上是嚴格K-monotone,則Γ=X+(B1∪B2)?C0∪{E0}關于K-order是無序的,且是余維1的正不變流形，其中,B1，B2分別是E1，E2的吸引域.

引理2(文獻[13]的定理2.3.22) 令(μi，φi(x))，i=0，1，2，…，是在Ω上具有齊次Neumann邊界條件的算子-Δ的特征值和特征函數，則0=μ0<μ1<μ2<….

證明:對系統(2)在平衡解做線性化,可得該系統在平衡解的特征方程為

當(u，v)=E0=(0，0)時，系統在E0處的特征方程為(λ+μid1-b1)(λ+μid2-b2)=0.取i=0時，可以看出該方程有兩個實的正根，E0=(0，0)是線性不穩定的.

3 雙穩定性結構及其證明