梳理“不等” 整合“類比”

文楊紅萍

方程、不等式和函數(shù)是初中代數(shù)的“鐵三角”。對(duì)于方程和不等式的學(xué)習(xí)，我們通常采用類比的方法。很多同學(xué)礙于不等式的“不等”關(guān)系，對(duì)它望而卻步。其實(shí)我們?cè)谔幚聿坏仁綍r(shí)，只要抓住它的本質(zhì)特征，區(qū)分類型，逐一攻破，就能達(dá)到事半功倍的效果。本文結(jié)合一元一次不等式（組）的考點(diǎn)特征，進(jìn)行分析探究。

一、基本性質(zhì)

例1 若a＜b，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）。

【分析】本題可以從不等式的基本性質(zhì)入手，結(jié)合條件進(jìn)行變形，作出正確的判斷。

【解析】在不等式a＜b的兩邊同時(shí)減去1，或兩邊同時(shí)乘2，不等號(hào)方向不變；在不等式a＜b的兩邊同時(shí)乘

【點(diǎn)評(píng)】遇到有關(guān)考查不等式的基本性質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，我們必須學(xué)會(huì)判斷以下兩個(gè)點(diǎn)：（1）在不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號(hào)的方向；（2）當(dāng)不等式的兩邊要乘（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對(duì)字母是否大于0 進(jìn)行分類討論。

二、不等式（組）的解集的概念、解法及解集表示

1.不等式（組）的解集的概念。

例2 已知x=4 是不等式ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式ax-3a-1＜0 的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

【分析】根據(jù)x=4 是不等式ax-3a-1＜0 的解，說(shuō)明 將x=4 代 入時(shí)“＜”成立；根據(jù)x=2 不是不等式ax-3a-1＜0 的解，說(shuō)明x=2 代入時(shí)，需要將“＜”轉(zhuǎn)變?yōu)椤啊荨薄?/p>

【解析】∵x=4 是不等式ax-3a-1＜0的解，

∴4a-3a-1＜0，解得：a＜1。

∵x=2不是這個(gè)不等式的解，

∴2a-3a-1≥0，解得：a≤-1，

∴a≤-1。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于不等式的解的概念類問(wèn)題，我們必須牢牢抓住不等式的解的定義，即能使不等式成立的未知數(shù)的值，從中尋找突破口，進(jìn)而得到有關(guān)的不等關(guān)系。

2.不等式組的解法及解集的數(shù)軸表示。

例3 解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。

【分析】分別求出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，找出解集的公共部分即可。

【解析】

由①得：x≤1，

由②得：x＞-1，

∴不等式組的解集為-1＜x≤1。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于求不等式組的解集類問(wèn)題，我們有兩類方法去處理。

（1）借助數(shù)軸，把各個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，其公共部分就是不等式組的解集。在這個(gè)過(guò)程中，我們需要注意一些細(xì)節(jié)，如在表示解集時(shí)“≥”“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示，“＜”“＞”要用空心圓點(diǎn)表示。

（2）利用口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小是無(wú)解”求解。

三、由一元一次不等式（組）的解集求參數(shù)

例4 已知關(guān)于x的不等式組

{x＞2a- 3

2x≥3(x- 2) + 5 僅有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）。

【分析】分別求每個(gè)不等式的解集，再利用口訣求出不等式組的解集，最后利用僅有的三個(gè)整數(shù)解列出不等式求解。

【解析】由題知：2a-3＜x≤1。

∵關(guān)于x的不等式組僅有三個(gè)整數(shù)解，

∴-2≤2a-3＜-1，

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于“倒推型”問(wèn)題，我們可以按照這樣的步驟來(lái)操作：（1）分別求出各不等式的解；（2）借助數(shù)軸分析不等式（組）的解集；（3）構(gòu)造關(guān)于待定字母的方程或不等式（組），并且思考分析，構(gòu)造不等式（組）時(shí)是否包含臨界值。

四、一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用

例5 某品牌自行車進(jìn)價(jià)為每輛800 元，標(biāo)價(jià)為每輛1200 元。店慶期間，商場(chǎng)為了答謝顧客，進(jìn)行打折促銷活動(dòng)，但是要保證利潤(rùn)率不低于5%，則最多可打 折。

【分析】設(shè)該自行車能打x 折，則根據(jù)利潤(rùn)率不低于5%，得出不等式，解出解集即可。

【解析】設(shè)該自行車能打x 折，由題意得：

解得：x≥7，即最多可打7折。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一元一次不等式應(yīng)用型問(wèn)題的處理，最為關(guān)鍵的點(diǎn)是能夠建模，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用一元一次不等式（組）解答。所以，這時(shí)候我們可以類比方程，首先找到題目中所隱含的不等關(guān)系，并且區(qū)分已知量和未知量，一般應(yīng)緊緊抓住題中含有“至少”（≥）、“最大”（≤）、“不超過(guò)”（≤）、“不低于”（≥）、“不小于”（≥）、“不大于”（≤）等關(guān)鍵詞，列出不等式進(jìn)而求解。

總之，大家在處理有關(guān)一元一次不等式（組）的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分抓住題目中所包含的不等關(guān)系，然后利用不等式的兩個(gè)基本性質(zhì)、四種基本的解集類型去尋找突破口。雖然“不等關(guān)系”難以理解，但我們可以類比方程，并且借助“數(shù)軸”這一個(gè)有力工具來(lái)求解。相信大家只要敢于嘗試，勤于思考，一定能理出一套屬于自己的解決不等式（組）問(wèn)題的思路來(lái)。