利用數(shù)學思想方法解決方程類問題

文吳 葉

一、整體思想

整體思想方法在解方程（組）等方面有廣泛的應用，整體代入、整體運算、整體設元、整體處理等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體體現(xiàn)。

例1 閱讀下面的材料，解決問題：

解方程x4-5x2+4=0。這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：

設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4。

當y=1時，x2=1，∴x=±1；

當y=4時，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四個根：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2。

請參照例題，解方程（x2+x）2-4·（x2+x）-12=0。

【分析】根據(jù)閱讀材料中的例子和換元法可以解答本題。

解：設x2+x=y，原方程可變?yōu)閥2-4y-12=0，解得y1=6，y2=-2。當y=6 時，x2+x=6，得x1=-3，x2=2；當y=-2 時，x2+x=-2，得方程x2+x+2=0，∵Δ=b2-4ac=12-4×2=-7＜0，此時方程無實根。所以原方程有兩個根：x1=-3，x2=2。

【點評】本題考查用換元法解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂材料，明確題意。

二、轉(zhuǎn)化思想

解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式；解二元一次方程組，是把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似地，解三元一次方程組，是把它轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來解；解一元二次方程，是把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想，那就是轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知。

例2 一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x-2）=0，解方程x=0 和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解。

（1）問題：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2=，x3=；

【分析】（1）把左邊的多項式進行因式分解，就達到了轉(zhuǎn)化的目的，然后求解；

（2）對方程兩邊進行平方，就能把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但要注意，由于出現(xiàn)了二次根號，所以要進行驗根。

解：（1）x3+x2-2x=0，x（x2+x-2）=0，

x（x+2）（x-1）=0，所以x=0 或x+2=0 或x-1=0，∴x1=0，x2=-2，x3=1。

即x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，∴x-3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=-1。

當x=-1 時所以-1 不是原方程的解。所以方程的解是x=3。

【點評】本題表面上看是考查一元二次方程的解法，實際上主要考查轉(zhuǎn)化的思想方法。特別注意，我們在遇到解無理方程時需要驗根。

三、分類思想

分類討論思想是中學階段必須掌握的重要思想方法，在中考中經(jīng)常會出現(xiàn)帶有這種思想的考題。

例3 已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10 噸；用1輛A型車和2 輛B型車載滿貨物一次可運貨11 噸。某物流公司現(xiàn)有31 噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物。

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）1 輛A型車和1 輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？

（2）請你幫該物流公司設計租車方案；

（3）若A型車每輛需租金100 元/次，B型車每輛需租金120 元/次。請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費。

【分析】（1）根據(jù)“用2 輛A型車和1 輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸”和“用1 輛A型車和2 輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸”可以分別列出方程，組成方程組后進行求解；

（2）由題意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整數(shù)解，得到三種租車方案；

（3）根據(jù)（2）中所求方案，利用A型車每輛需租金100 元/次，B型車每輛需租金120 元/次，分別求出租車費用即可。

解：（1）設每輛A型車、B型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，依題意列方程組得：

答：1 輛A型車裝滿貨物一次可運3 噸，1 輛B型車裝滿貨物一次可運4噸。

（2）結(jié)合題意和（1）得：3a+4b=∵a、b都是正整數(shù)或

答：有3 種租車方案。A型車9輛，B型車1 輛；A型車5 輛，B型車4輛；A型車1輛，B型車7輛。

（3）∵A型車每輛需租金100 元/次，B型車每輛需租金120 元/次，

∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）；方案二需租金：5×100+4×120=980（元）；方案三需租金：1×100+7×120=940（元）。

∴最省錢的租車方案是方案三：A型車1 輛，B型車7 輛，最少租車費為940元。

【點評】本題主要考查了分類的思想方法，對可能出現(xiàn)的結(jié)果需要加以分類討論，并歸納總結(jié)得出答案。

如果我們對數(shù)學進行簡單的理解，那么數(shù)學就可以看成由顯性的數(shù)學知識技能和隱性的數(shù)學思想方法兩部分組成。對于方程這一板塊來說也是如此。所以，學好方程這一板塊的知識體系是基礎和前提，利用方程這一板塊的數(shù)學思想方法來解決問題是關(guān)鍵和目標。