圓柱齒輪齒廓偏差有效長度L_AE的幾何解析及計算公式推導

尹甜甜

（唐山開元自動焊接裝備有限公司，河北 唐山 063000）

新的圓柱齒輪精度國家標準（GB10095.1-2008、GB10095.2-2008，以下簡稱新標準）已發布多年，與老標準（GB10095.1-1988，以下簡稱老標準）相比，變化是很大的。新標準并不是對老標準的簡單修訂，而是更新換代。

在老標準中，代號為ff的齒形誤差，在新標準中稱為齒廓（總）偏差，代號為 Fα，與 ff不同，Fα包括了齒廓形狀偏差和齒廓斜率偏差，并定義為“在計值范圍內，包容實際齒廓跡線的兩條設計齒廓跡線間的距離”，并規定了計值范圍Lα。

1 新標準中的齒廓偏差圖

新標準對齒廓偏差計值范圍Lα作了詳細說明，這部分內容集中體現在第一部分，第3.2節“齒廓偏差”中：

1.1 可用長度LAF

LAF等于“兩條端面基圓切線長度之差。其中一條是從基圓延伸到可用齒廓的外界限點，另一條是從基圓到可用齒廓的內界限點”。“依據設計，可用長度被齒頂、齒頂倒棱或齒頂倒圓的起始點（A點）限定，對于齒根，可用長度被齒根圓角或挖根的起始點（F點）所限定”。

1.2 有效長度LAE

LAE是“可用長度對應于有效齒廓的那部分”。對于齒頂，其界限點與LAF的界限點相同，都是A點，“對于齒根，有效長度延伸到與之配對齒輪有效嚙合的終點E(即有效齒廓的起始點)”。

對于LAF和LAE，新標準以圖文方式進行了詮釋，其中圖形如圖1所示。筆者認為，如果用工程圖的形式進行說明，則更加形象、直觀，文章嘗試用這種方式予以表達。

圖1 新標準中的齒廓偏差圖

2 以工程圖方式表達漸開線圓柱齒輪齒廓

圖2為以工程圖方式表達的漸開線圓柱齒輪齒廓圖（注①）。

漸開線圓柱齒輪的齒廓取決于基圓、根圓、節圓、頂圓的尺寸。為敘述方便，文章假定，齒頂未經倒棱或倒圓加工；齒根未經挖根加工。則A點即為頂圓與齒廓漸開線的交點，并作為可用齒廓的外界限點。

根據漸開線的形成原理，基圓上沒有漸開線，為增加輪齒的齒根彎曲疲勞強度，根圓與齒廓漸開線的交點處有圓弧過度。國家標準《通用機械和重型機械用齒輪標準基本齒條齒廓》（GB/1356-2001）規定，根據不同適用場合，基本齒條齒廓有A、B、C、D四種類別，其齒根圓弧半徑各不相同。如果選用C類齒廓，齒根圓角半徑等于0.25m。圖二齒廓即選用了C類齒廓。齒根圓角與齒廓漸開線的交點，即為“可用齒廓的內界限點”，即F點。

圖2漸開線圓柱齒輪齒廓簡圖

圖2 直觀地說明了可用長度LAF的幾何意義。其中AD、FC分別為齒廓漸開線上F點和A點這兩點的漸開線發生線，根據新標準的定義，LAF=AN-。

3 齒廓上E點的確定

在標準中，有效長度LAE被定義為“可用長度對應于有效齒廓的那部分”，“……對于齒根，有效長度延伸到與之配對齒輪有效嚙合的終點E(即有效齒廓的起始點)。

根據齒輪嚙合圖，可以清晰地確定E點。圖3為漸開線標準齒輪嚙合圖，其中圖3（2）為輪齒嚙合局部詳圖。

圖3 （1）嚙合圖

圖3 （2）輪齒嚙合局部詳圖——起點E1及終點E2

假設現有齒輪副O1、O2，其中O1為主動輪，O2為被動輪。兩輪相切于中心線上C點即分別為兩輪節圓半徑 R1、R2，O1C+O2C=a(兩輪中心距)。由齒輪嚙合原理知，線段為嚙合線，分別與兩輪基圓相切于 N1、N2點，Rb1(O1N1)、Rb2(O2N2)分別為兩輪基圓直徑；Ra1(O1A1)、Ra2(O2E1)分別為兩輪齒頂圓直徑。當其中某一對嚙合輪齒，在由粗線位置轉到細線位置時，在O2輪上與O1輪上A1點接觸的點即為E2點（有效齒廓的終點），這對輪齒的嚙合即將終止。

兩齒輪嚙合自E1(A2)點起始（粗實線輪齒），至E2（A1）點結束（細實線輪齒）。齒廓A1E1、A2E2分別為齒輪O1、O2的有效齒廓。

4 有效長度LAE計算式的推導

在新標準中，雖然對LAE作了詳細介紹，但并未提及計算公式；而有的《機械設計手冊》（如化工出版社，第5版）中，雖對LAE的計算公式有所提及，但只是應用而并未介紹推導過程。以下擬對LAE的計算公式試作推導。

根據標準給出的定義，O2輪輪齒齒廓偏差有效長度即A2、E2兩點漸開線發生線的長度之差。見圖3（2），由幾何關系：

（1）在△O2N2E1中

在△O2N2C 中

結合△O1N1E2和

（3）將式（1）、式（2）代入 LAE=N2E1-N2E2，得：

推導結束。式（3）即為有效長度LAE的計算公式。

5 齒廓計值范圍Lα

新標準規定，除另有規定外，Lα的長度等于“從E點開始的有效長度LAE的92%”。這余下的8%，是“靠近齒頂處LAE與Lα之差這一區段”。

在齒輪副的設計階段，通過式（3）計算齒廓的有效長度LAE，再乘以92%，其數值即為齒廓計值范圍Lα，設計者將其標注在齒輪工程圖中的參數欄中即可。

筆者認為，作為工程技術人員，對公式來源應有所了解，這有助于加深對齒輪傳動，以及計值規定的理解，方能在設計實踐中靈活運用標準，從而使設計結果更趨于完善、合理。