用表格法分析數量關系解決問題

文茅莉萍

方程是解決實際問題中“數量相等關系”的有效模型。利用方程知識解決實際問題的關鍵是從研究問題中的數量關系入手，將問題中的已知量與未知量之間的數量關系找出來，通過適當設元，進而建立方程。在七年級上冊“用一元一次方程解決問題”中，教材結合具體例題介紹了表格法、線形示意圖法、圓形示意圖法、柱狀示意圖法等常見的數量關系分析法。其中表格法能夠使問題中復雜的數量關系變得簡單明了，因此其應用也最為廣泛，在七年級下冊“用二元一次方程組解決問題”，八年級下冊“分式方程”，九年級上冊“用一元二次方程解決問題”中均又出現用表格法進行數量關系分析的例題，可見，表格法是解決實際問題非常有用的方法之一。

例1 （2019·安徽）為實施鄉村振興戰略，解決某山區老百姓出行難的問題，當地政府決定修建一條高速公路。其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工。甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯合工作了1 天，這3 天共掘進26 米。已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2 米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯合工作多少天？

【分析】這個問題中數量之間的相等關系是：甲完成的米數+乙完成的米數=26米。

可以列出表格：

工程隊名甲隊乙隊工作效率（米/天）x x-2工作時間（天）工作量3x x-2 3 1

解：設甲工程隊每天掘進x米，則乙工程隊每天掘進（x-2）米，

由題意，得3x+（x-2）=26，

解得x=7，所以甲工程隊每天掘進7米，乙工程隊每天掘進5 米10（天）。

答：甲乙兩個工程隊還需聯合工作10天。

【點評】本題涉及的是兩個隊的工作效率、工作時間、工作量這三個量之間的數量關系?？梢岳谩肮ぷ餍省凉ぷ鲿r間=工作量”這個關系輔助列表，分析數量關系，利用一元一次方程解決問題。本題還可以利用“前兩天的工作量+后一天的工作量=26米”來列表分析。

例2 （2019·遼寧朝陽）佳佳文具店購進A、B兩種款式的筆袋，其中A種筆袋的單價比B種筆袋的單價低10%。已知店主購進A種筆袋用了810元，購進B種筆袋用了600 元，且所購進的A種筆袋的數量比B種筆袋多20個。請問：文具店購進A、B兩種款式的筆袋各多少個？

【分析】這個問題中數量之間的相等關系是：A種筆袋的單價=B種筆袋的單價×（1-10%）。

可以列出表格：

總價（元）810 600品種單價（元/個）A款B款810 x + 20 600 x數量（個）x+20 x

解：設文具店購進B種款式的筆袋x個，則購進A種款式的筆袋（x+20）個，

經檢驗，x=40 是所列分式方程的解，且符合題意，∴x+20=60。

答：文具店購進A種款式的筆袋60個，B種款式的筆袋40個。

【點評】本題涉及的是兩個款式的單價、數量、總價這三個量之間的數量關系?？梢岳谩皢蝺r=總價÷數量”這個關系輔助列表，分析數量關系，利用分式方程解決問題。本題還可以利用“數量=總價÷單價”來列表分析解決。

例3 （2019·四川宜賓）某產品每件的生產成本為50 元，原定銷售價65 元，經市場預測，從現在開始的第一季度銷售價格將下降10%，第二季度又將回升5%。若要使半年以后的銷售利潤不變，設每個季度平均降低成本的百分率為x，根據題意可列方程為______。

【分析】這個問題中數量之間的相等關系是：變化前利潤=變化后利潤。

可以列出表格：

成本價（元）50利潤（元）65-50 65（1-10%）×（1+5%）-50（1-x）2變化前變化后售價（元）65 65（1-10%）×（1+5%）50（1-x）2

解：設每個季度平均降低成本的百分率為x，

依題意，得：65×（1-10%）×（1+5%）-50·（1-x）2=65-50。

【點評】本題涉及的是變化前后的售價、成本價、利潤三個量之間的數量關系。可以利用“售價-成本價=利潤”這個關系輔助列表，分析數量關系，利用一元二次方程解決問題。

由以上的幾個例題我們可以看到，表格分析法是一種有效的分析數量關系的方法，其主要針對兩種情況（如A款、B款；變化前、變化后……），含有三個關聯量（如售價、成本價、利潤……）的問題，這樣的問題在現實生活中大量存在。對以上三例的解法步驟進行歸納，我們就可以得出用表格法分析數據解決問題的基本步驟：一是采用三行四列制表格；二是把題目中的已知量填寫進表中；三是設好未知數，由三個量的基本關系，用含有未知數的代數式表示出表中剩下的量；四是根據題目條件中尋找到的等量關系列出方程，解決問題。