回到現象，讓探究更深入

曹慧 孫四周

摘要：“異面直線的距離”的教學可以嘗試運用現象教學的根本觀點——回到更真實、開放的現象上，引導學生展開更自然、深入的探究。具體地，可以讓學生從現象感知開始，先直觀地認識“哪個東西”是異面直線的距離，再嚴格地定義異面直線的距離;并提升到本質認識層面，在嚴格定義的基礎上思考“為什么這樣定義”，聯系之前學習的多個距離概念，歸納出“最短”這個本質特征，抽象出“點集距離”這個更一般的概念。

關鍵詞：現象教學點集距離《異面直線的距離》

通常，“異面直線的距離”的教學（包括教材編寫）是按照“異面直線—公垂線—公垂線段—距離”的順序展開的。其中，“異面直線”之后每一個概念的出現都有一些突兀，只能以教師講授或大量引導為主，很難讓學生自主探究生成;而且，“異面直線的距離”概念也顯得很孤立，沒有和前面的點到點的距離、點到直線的距離、平行直線之間的距離從及后面的點面距離、線面距離、面面距離等概念發生聯系，很難讓學生獲得意義上的理解和認識上的提升。因此，學生學起來很吃力，只能機械記憶，套用解題。在這樣的教學中，學生就像經過長途跋涉，到了一個地方，但對自己走過的路茫然無知，也不知道自己所到的地方是哪里——他們好像是被“綁架”到了那里，而不是主動行至。有鑒于此，教材和考試一直都在弱化這個知識點。

那么，這個知識點真的很難教嗎？有沒有更有效的教學方法呢？我們認為，可以嘗試運用現象教學的根本觀點——回到更真實、開放的現象上，引導學生展開更自然、深入的探究，直至勾連知識的聯系，認識知識的本質。

一、教學過程

（一）異面直線距離的定義

師請大家用兩支筆代表兩條直線，擺出它們在空間中的不同位置關系。

（學生分別擺出相交、平行、異面關系。）

師什么叫異面直線？

（學生回答出異面直線的定義。）

師我們已經知道，兩條異面直線可以形成不同大小的角。那么，除了角以外，還有什么是值得認識的？

（學生活動：擺放不同的異面直線，體會其中的位置關系和數量關系。在交流中，很多學生提到“距離”。）

師大家都認為異面直線之間是有距離的。那么什么是異面直線之間的距離呢？同桌的兩個同學合作，一個擺好一對異面直線，另一個指出哪個東西能代表異面直線之間的距離。

（學生所擺的異面直線基本上有一條或兩條與桌面平行，有的則干脆把一條放在桌面上，另一條平行于桌面。負責指認的學生大多數在兩條直線之間比畫出一條“最近”的線段來。雖然還沒有給出定義和理由，但是他們憑直覺能夠感知到“應該是它”。）

師請移動你的直線，把它們之間的距離擴大為原來的兩倍。

（學生移動一條或兩條直線。大多數學生移動直線的方向就是剛才所比畫的方向，也就是“公垂線”的方向，而移動的距離則把剛才那條“公垂線段”的長度加倍。少數學生移動的方向“不對”，教師示范“正確”的移動方向，并提問：“水平移動一條直線能不能把它們之間的距離加倍？”再讓學生重新嘗試。）

師請依次把它們之間的距離再加倍、再加10厘米、變為原來的三分之一。

（學生活動。）

師請把直線的方向調整一下，使任何一條都不與桌面平行，然后重新考慮上面的問題。

（學生調整兩條直線的方向，然后重新指認它們之間的距離。）

師同樣地，把它們之間的距離加倍。

（學生活動。）

師我們體會了異面直線之間的距離，還對不同的距離進行了指認，遠的近的、歪的斜的都沒關系。那么，究竟什么是異面直線的距離呢？我們需要給它一個嚴格的定義。

（師生合作，給出嚴格定義。然后，教師出示練習“正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為5，求出下列異面直線之間的距離：①AB與B1C1，②DD1與BC”。學生完成。）

（二）距離的本質

師我們用公垂線段的長度定義異面直線之間的距離，那么用直線上其他點的連線行不行？也就是說，在兩條直線上各取另外一點來構造線段，其長度會不會等于剛才所說的公垂線段的長度？

（學生嘗試探究，有的作圖說明，有的繼續擺放筆，在筆上找點。師生合作，得出結論：異面直線的距離是兩條異面直線上點的距離的最小值。）

師讓我們回過頭來看以前學過的幾個距離問題。（1）兩點之間的距離是指線段的長，有什么特征？

生兩點之間的所有連線中，線段最短。

師（2）點到直線的距離是指自點向直線所作的垂線段的長，有什么特征？

生點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短。

師（3）兩條平行線的距離是指夾在兩條直線之間的垂線段的長，有什么特征？

生連接兩條平行線上兩點的線段中，垂線段最短。

師可見，“最短”才是“距離”的本質特征，“垂直”并不是本質特征。我們是不是一直忽視了這一點？這里，我們還能發現，平行線之間的距離其實也是“公垂線段”的長。（稍停）那我們平時所說的距離是什么意思呢？比如，蘇州市和上海市的距離是多少？

生坐火車半個小時。

生開車1小時。

生兩市相鄰，沒有距離。

……

師剛才大家說的可能指的是兩個火車站之間的距離或開車的起點和終點之間的距離，能不能說它們是“兩個市之間的距離”呢？兩個城市不是兩個點，而是兩個區域，怎么考慮距離呢？

（學生討論，取得共識：蘇州市與上海市鄰界，可以說距離為0;其余答案都是某兩點之間的距離，而不是兩市之間的距離。）

師一般地，是不是可以考慮“兩個點集之間的距離”？（出示圖1）比如，兩個圓及其內部作為兩個點集，是不是可以考慮它們之間的距離？

（學生思考，討論。）

師在兩個點集內分別取點，連成線段。這些線段長度的最小值就叫作這兩個點集之間的距離。（稍停）大家一定知道物理上有個“尖端放電”現象，電所走的就是最近距離。（出示圖2）在空中交叉而過的高壓電線，當電勢差足夠大時，就可能擊穿空氣，產生放電現象。如果這種事情發生，將發生在何處？

生它們的公垂線段處。

師是的，不論它們異面還是平行。所以，在設計高壓電線的線路時，一定要考慮這個因素，并不是沒有“尖端”就不放電。“電勢差足夠大”才是放電的本質特征，“尖端”只是放電的一個非本質特征。

二、教學思考

上述教學有兩個優點。

第一，讓學生從現象感知開始，先直觀地認識“哪個東西”是異面直線的距離，再嚴格地定義異面直線的距離。這樣的探究非常自然，沒有限制，也非常符合數學（科學）發現的邏輯，即“大膽猜想，小心求證”，左右腦并用，感性與理性并重。而學生的表現也表明，他們具有這樣的經驗直覺，不難找到異面直線的距離，體會其含義，教師只需幫助他們表述其形式。

第二，讓學生提升到本質認識層面，在嚴格定義的基礎上思考“為什么這樣定義”，聯系之前學習的多個距離概念，歸納出“最短”這個本質特征，抽象出“點集距離”這個更一般的概念。這樣的探究非常深入，沒有懈怠，也非常符合認知追求的規律，即用上位概念整合下位概念，可以讓下位概念變得更深刻，讓上位概念變得更充實。而學生的表現也表明，他們能發現“最短”這個本質特征，也能接受“點集距離”這個更一般的概念。

下面再深入地談一談抽象出“點集距離”這個更一般的概念的必要性和可行性。

關于必要性，一方面，“點集距離”這個更一般的概念的認識功能大大增強。除了在后面學習點面距離、線面距離、面面距離及兩點之間的球面距離時會顯示出極大的優越性之外，也為以后用各種距離求二次函數的最小值及學習最小二乘法、數據擬合等奠定了基礎。比如，已知x2+y2=9，求4x+2y的最大值和最小值。此題除了用三角換元的方法解決之外，還可用類似線性規劃的方法，把它看成動直線與定圓的“點集距離”，或者轉化后看成定點與定圓的“點集距離”[4x+2y=x2+y2+4x+2y-9=（x+2）2+（y+1）2-14，即求點（-2，-1）到圓x2+y2=9上的點（x，y）距離的平方]。

另一方面，抽象出“點集距離”的概念，可以給學生示范一種思考的路徑，幫助他們學會學習。這符合素養培育和可持續發展的原則。理論科學就是分類的學問，而分類之所以能夠進行就是因為有不斷遞進的足夠抽象的概念，用以揭示本質特征并涵蓋有關個例，形成知識結構。我們不應該把每一個個體都認識得非常清楚，卻沒有產生更一般的概念。比如，因紐特人把每一頭麋鹿都認識得非常清楚，卻沒有產生“麋鹿”這個概念，以至于每一頭麋鹿都有不同的稱呼，甚至同一只麋鹿在不同季節也有不同的稱呼。這樣的認識是重復而低效的，這樣的知識學得再多，對提高認識的幫助也是十分有限的。“減負”不是少學或不學，而應該是高效地學。高效地學需要更深入的認識。

關于可行性，首先，“點集距離”比“異面直線的距離”和“平行線的距離”更具有直觀性。人類最基本的感知是對空間的感知，而其中基本的感知之一是對距離的感知。人們在生活中接觸“兩個區域（比如城市）的距離”比接觸“兩條異面直線的距離”機會更多，感知也更清晰，理解也更容易，探究動力也更強。這就具備了抽象“點集距離”的心理基礎。其次，現行高中數學教材的解析幾何部分明確地把曲線看作點的集合，立體幾何部分也暗含著“直線、平面是點的集合”的觀點（從A∈l、aα、α∩β=l等記號中可見），那么，用“點集距離”來理解“異面直線的距離”等概念并不算突兀。最后，此處的抽象只是做一個直觀的描述，并不做細微的分析，對“點集距離”沒有過高的要求，不去操練解題的方法，因而沒有加重學生的負擔，反而帶來了思想的自由和心靈的愉悅，喚醒了學生沉睡的記憶，激活了學生的想象力。

參考文獻：

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