“小游戲”有“大學問”

臧楠楠

摘要：發展學生的應用意識，需要關注“學以致用”和“用以促學”的關系。“學以致用”講的是先學而后以致用;“用以促學”講的是在反復應用中促進更深刻的學習，從而達到“學用相長”的效果。特級教師王凌在學生已經學習了“和與積的奇偶性”的基礎上，創造性地運用教材，把學生應用意識的培養貫穿在整個教學過程中，促使學生在反復應用“和與積的奇偶性”的過程中，逐漸提升運算技能和思維能力。

關鍵詞：數學游戲應用意識《結果為0的秘密》

弗賴登塔爾指出：“數學根植于現實，在現實中成長，最終應用于現實。”培養學生的數學應用意識是數學課標中明確提出的要求。要發展學生的應用意識，需要讓學生所學的數學知識有用武之地。不同版本的小學數學教材除了編排解決簡單的實際問題與綜合實踐活動之外，也都有所拓展，如蘇教版的《動手做》欄目與人教版的《數學廣角》欄目，都提供了有趣的數學問題，讓學生依據所學的數學知識開展探索。教師應在發展學生數學應用意識上有所建樹，可結合教學內容開發相應的學習素材，真正讓學生在做中學，學后用，學用結合。

近日，聽了特級教師王凌執教的《結果為0的秘密》一課，感觸頗深。王老師在學生學習了“和與積的奇偶性”之后，進一步引導學生應用和與積的奇偶性去破解“結果為0的秘密”，在游戲中發展學生的應用意識，提升學生的數學學力。

一、教學過程

（一）游戲引入，滲透分類思想

1.簡單算式引入。

師今天我們來玩一個數學游戲，游戲的名稱叫作“結果為0的秘密”。

（教師出示題目：不改變數的順序，在算式“1□2□3□4=0”的□中填上“+”或者“-”，使算式成立。學生嘗試后展示做法。）

生1-2-3+4=0。

師這里的“1-2”不好算呀？

生先算1+4=5，再算2+3=5。

（教師同步板書。）

師這樣，數就自然分成了2類：加的一類，減的一類。這里，1+4=5，2+3=5，5和5相等，抵消為0。這用的其實就是“搭小橋”的方法。

生我用的是求和的方法，我先算1+2+3+4=10，10÷2=5，那就表示要加上5，也要減去5。

引入新課的第一道題，選材精當，填寫符號的方法唯一，數的量少，便于學生探究。同時，唯一的填法有助于學生將其合理分類，為后續自主想到將更多數字分成和相等的兩部分做鋪墊。這里，教師還注意引導學生勾連已有的學習經驗——“搭小橋”的方法。

2.提高游戲難度。

（教師出示題目：不改變數的順序，在算式“1□2□3□4□5□6□7□8=0”的□中填上“+”或者“-”，使算式成立。學生嘗試后展示做法，主要有“搭小橋”和“分成相等的兩部分”兩種方法，如圖1、圖2。）

師我們來看看對不對，要算兩個括號嗎？

生算出一個括號是18，另一個括號肯定也是18。

師看來填符號的方法很多，不管是用什么方法，都把這8個數自然地分成了2類：填加號的一類，填減號的一類。

面對難度升級的題目，多數學生不再毫無方向地嘗試，而是進一步熟悉“分成相等的兩部分”的方法，部分學生還會想到先求和的方法。每個學生都在各自的“最近發展區”有所提升。

（二）延伸探究，引發數學猜想

1.“無解”的難題。

師有了前面的經驗，我們來填一填：1□2□3□4□5=0。

（有些學生選擇“搭小橋”的方法，失敗后就一直靠碰運氣在嘗試;有些學生用求和的方法很快就發現本題“無解”。）

生我不用填就知道不行，因為1+2+3+4+5=15，15÷2=7.5，不能分成相等的兩個整數，所以不行。

（其他學生恍然大悟，紛紛鼓掌。）

師看來要使結果等于0，必須能夠分成相等的兩個整數。判斷行不行，我們得用“求和”的方法，如果不行，“搭小橋”就沒有作用了。

借助一個“無解”的難題，巧妙地把學生對“算法”的關注，聚焦到本節課的核心——分成相等的兩部分。

2.引發數學猜想。

師（出示下頁圖3）同學們，觀察這三個例子，你有什么發現？

生我發現它們都是從1開始的連續自然數。

生我發現只要是雙數結尾的就行，比如“1—4”和“1—8”，結果就可以為0;單數結尾的就不行，比如“1—5”。

（很多學生表示贊同。）

師這是一個有趣的猜想！要看猜想是否成立，我們還需要想辦法加以驗證，你打算怎樣驗證呢？

（學生表示可以舉例，先獨立舉例驗證后匯報交流。）

生我不同意他的發現。“1—2”也是雙數結尾，結果無法為0;“1—3”是單數結尾，1+2-3=0;“1—6”也是雙數結尾，它們的和是21，也不行。

（其他學生紛紛點頭表示贊同。）

生我發現不管是哪道題，我們都應該先求和來判斷結果能不能為0，不然做的就沒有意義了。

師大家都好厲害啊，敢于去猜想，更懂得用舉例子的方法去驗證猜想！結果能不能為0，與結尾是單數和雙數無關，那到底看什么？

生應該判斷和的奇偶性，如果和是偶數，就可以分成相等的兩部分，抵消為0;如果和為奇數，就不能分成相等的兩部分。

（教師引導學生檢驗黑板上的例子。）

師那“1—7”行不行呢？

（學生嘗試后呈現如圖4—圖6的3種填法。）

師誰來說一說填符號的方法是什么？

生先求和;然后找和的一半，是14;接著，把要加的數湊出14，其他的數前面填減號就行了。

回顧以往的公開課，學生提出的猜想都是正確且趨同的——這可能也是小學生往往缺乏驗證意識的一個原因。真實的猜想一定是有對有錯的。這組素材，既有利于學生觀察比較，提出猜想，也便于通過驗證猜想，進一步體會驗證的重要性。這就可以很好地幫助學生養成科學思維，將批判精神和求真意識融入數學學習中。學生在豐富的素材中進一步弱化了對“算法”的關注，聚焦核心知識“分成相等的兩部分”。

（三）反復應用，豐富解題路徑

師“1—7”和“1—8”都做過了，那“1—9”行不行呢？

生肯定不行，“1—8”行，說明和是偶數，再加1個9，和就是奇數了不行。

師那“1—10”行不行？

生不行，“1—9”和是奇數，再加1個10，和還是奇數。

師“1—11”行不行？

生行，“1—10”和是奇數，再加1個11，奇數加奇數，和是偶數。

師大家填填看。

（學生匯報多種填法。）

生我有發現，算式結果為0總是2個行2個不行這樣交替出現的。

生我來補充：不行的情況肯定是和為奇數，如果后面再來的一個數是奇數，奇數+奇數=偶數，就行;接著再來一個數那就是偶數，偶數+偶數=偶數，比如“1—6”的和是21，為奇數，那么它后面再來一個7也可以，再來一個8還是可以。

生其實這種2個行2個不行的規律，還是由于和的奇偶性導致的，因為奇數個奇數的和還是奇數，偶數個奇數的和才是偶數。

師真厲害！原來和的奇偶性的知識在解密這個數學游戲時有這么大的作用，我們只要綜合運用和的奇偶性的知識，就能很快判斷出結果是否為0了。今年是2020年，“1—2020”行不行？

生我是用求和公式算的，（1+2020）×2020÷2=2021×2020÷2=2041210，結果是偶數，可以為0。

生我覺得不需要完全算出來。2021是奇數，2020是偶數，在乘法算式中，偶數乘奇數，結果還是偶數，所以“1—2020”的和一定是偶數。

師又用到了積的奇偶性判斷。那么去年呢，“1—2019”行不行？

生行，“1—2020”行，說明和是偶數，“1—2019”比“1—2020”只少了一個2020，偶數減偶數還是偶數，所以“1—2019”的和一定也是偶數。

生我們可以看“1—2019”里面奇數的個數，它一定是奇數多一個的——1010個奇數和1009個偶數，奇數的個數是偶數，和一定是偶數。

生也可以用求和公式，（1+2019）×2019÷2=2020×2019÷2=1010×2019，結果一定是偶數。

課堂因生成而精彩。在這個教學片段中，教師真正做到了將兒童“歸還”到課堂中央，學生在這種自由對話中完成提煉、概括，規律背后的本質內核越辨越明。經過這樣的過程，學生不僅深化了對“結果為0的秘密”的認識，也提升了思維能力。教師在其中只是一位觀望者，也表明充分放手才能聆聽到學生譜寫出的自由快樂的樂章。

（四）回顧反思，感受數學方法

師現在你知道“結果為0的秘密”了嗎？

生用的就是書上的和與積的奇偶性，這些數相加的和是偶數就行，和是奇數就不行。

師這節課，你有什么收獲嗎？

生書本上學習的方法我們要靈活應用。

生我們研究問題時，要先從簡單的想起。

生復雜的問題，我們可以運用分類的方法。

生當我們有了猜想要去驗證時，如果不能嚴謹地推理證明，可以嘗試舉例子。

課末，教師引領學生回顧反思，幫助學生體驗探究帶來的成就感的同時，進一步鞏固、加強數學應用意識。原來，探究課依然可以“有法可依”。

二、幾點感悟

王凌老師將數學游戲開發成一節應用數學知識開展數學探究的活動課，它有這樣幾個明顯的特征：首先，游戲任務在開始時是沒有一個可預料的、預演好的方法或路徑可借鑒的;其次，要求學生探索和理解數學觀念、過程和關系的本質;再次，要求學生對自己的認知過程進行自我調控，真正學會猜想;最后，要求學生啟用相關知識和經驗，并在任務完成過程中恰當使用，發展應用意識。

這節課的重點在于引導學生尋找問題內隱的數學結構。《結果為0的秘密》是一節典型的“做數學”課例，它源于課本又生長出課本外。學生已經學習了“和與積的奇偶性”，如何讓課本內的“奇偶性”與課外的巧填符號“做數學”實現更好的對接和應用？學生是否可以自己尋找到問題內隱的數學結構，在認知過程中不斷自我調控，探得“結果為0的秘密”的有效路徑？本節課教學亮點紛呈，集中體現為以下三點：

（一）經驗先行，讓新舊知識對接有意義

教師在教學中要關注學生的認知起點，以便幫助他們更好地將新知納入到原有的知識體系中去。那么，本節課的學生認知起點在哪里？王老師這樣理解：其一，學生明白結果為0就是要填加號的數字和與填減號的數字的和相等;其二，學生在混合運算的學習中已經充分掌握類似于“1+3-4+5-6=1+3+5-4-6”這樣“帶著符號搬家”的運算技巧;其三，學生知道和的奇偶性與積的奇偶性的判別方式。

基于這樣的理解，王老師設計了在學生經驗基礎上，運用計算技巧讓新知自然生長的教學思路。教學中，王老師緊緊抓住了“遞等式”這個“腳手架”，一次次讓學生感受不同題組結果為0都是分成相等的兩部分的數學現實。當探尋出“結果為0的秘密”時，學生自然產生了對和的奇偶性的判斷需求。連續自然數求和，這里既可以數形結合巧妙地勾連梯形面積公式，也可以看奇數的個數，還可以用積的奇偶性找求和公式中的偶數。學生一系列的已有知識經驗就像一顆顆種子，在動腦想、動手做、動口說中開出了美麗的花朵。

（二）問題驅動，讓新知創生有意義

本節課的新知生長處為“分成相等的兩部分”，于是，王老師緊緊抓住“1—4”和“1—8”兩個問題的解題經驗，再以“1—5怎么填”這一問題殺了一個回馬槍。此時，學生用已有的知識儲備解決“1—5”遇到了瓶頸：“搭小橋”方法失靈了。學生在觀察、比較中感受到：“搭小橋”只是一種方式，結果能不能為0還是得看能不能分成相等的兩部分。

提出問題“觀察（‘1—4‘1—8和‘1—5）這三個例子，你有什么發現？”后，教師放手讓學生去說、去思辨。這其實就是已有經驗在生長處所經歷的荊棘和坎坷，越是磨礪越是美麗。因為有這樣的生長點，所有錯誤的猜想都可以在舉反例中“夭折”，比如1+2-3，它不滿足奇數結尾，但是只要保證“分成相等的兩部分”，就可以使結果為0;因為有這樣的生長點，才讓原有經驗“先破后立”成為可能，“1—5”不行的實質是不能分成相等的兩部分，學生在看到“分成相等的兩部分”表象的同時，深刻理解了內在的本質“和為偶數”，進一步實現了有意義的知識創生。

（三）道理解讀，讓秘密看破不說破

“結果為0的秘密”其實不止1個“秘密”：（1）當數的個數是4的倍數或數的個數除以4余數為3時，結果一定可以為0;（2）當和為偶數時，結果一定可以為0。二者是從特殊到一般的關系，前者是后者的表象，后者可以用來解釋前者。二者的關系是應該“捅破”還是應該“淡化”？顯然，王老師的做法是淡化，學生在“1—4”和“1—8”這兩組題目中用的“搭小橋”的方法，其實就是在潛移默化地運用每4個一組抵消為0，在一組一組中分成相等的兩部分。在填寫“1—8”時，王老師特意把學生的不同思考成果呈現在黑板上，其實也是進一步讓學生明確：“搭小橋”的方法必定會使數的個數分成相等的兩份，4個填加號，4個填減號。但有一個學生的方法卻是5個數填加號，3個數填減號，在一題多解中揭示了分成相等的兩部分指的是“和”而不是“數的個數”，當學生遇到“1—5”“搭小橋”遇到困難時自然會選擇求和的判斷方法。學生逐漸感受到“求和”的合理性以及什么時候“搭小橋”、什么時候求和的關系轉變為“手段和依據”。

發展學生的應用意識，需要關注“學以致用”和“用以促學”的關系。“學以致用”講的是先學而后以致用;“用以促學”講的是在反復應用中促進更深刻的學習，從而達到“學用相長”的效果。王老師在學生已經學習了“和與積的奇偶性”的基礎上，創造性地運用教材，把學生應用意識的培養貫穿在整個教學過程中。學生在反復應用和與積的奇偶性的過程中，逐漸提升運算技能和思維能力。整堂課，王老師創設的民主開放的教學氛圍，也是學生在“做數學”中體會數學的應用價值、提高自身應用意識的一大利器。診斷有道