衛(wèi)星定位軌跡最小二乘擬合適應(yīng)性分析

陳志強(qiáng)，鮑鵬宇，寧云轉(zhuǎn)

(北京全路通信信號(hào)研究設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，北京 100070)

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)與其他國(guó)家的衛(wèi)星定位系統(tǒng)兼容共用，為用戶進(jìn)行全天候、全天時(shí)的定位服務(wù)。隨著北斗三號(hào)基本系統(tǒng)的建設(shè)完成，北斗系統(tǒng)的服務(wù)范圍從區(qū)域擴(kuò)展到了全球。近年來衛(wèi)星定位系統(tǒng)快速發(fā)展，世界各國(guó)先后開展了基于衛(wèi)星定位技術(shù)的列控系統(tǒng)研發(fā)工作，美國(guó)通用電氣研發(fā)的增強(qiáng)型列車控制系統(tǒng)（Incremental Train Control System，ITCS）已經(jīng)在我國(guó)青藏鐵路穩(wěn)定運(yùn)營(yíng)十余年[1-5]。軌道的地理坐標(biāo)信息是基于衛(wèi)星定位列控系統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，目前常用的獲取軌道位置的方法包括人工定點(diǎn)采集和曲線擬合兩種方法[6-7]。由于定點(diǎn)采集具有效率低下和容易出現(xiàn)采集錯(cuò)誤的問題，因此本文對(duì)基于最小二乘方法的軌道衛(wèi)星定位軌跡擬合方法展開研究和討論。

1 最小二乘軌道擬合方法

如圖1 所示，裝有衛(wèi)星接收裝置的列車從A 點(diǎn)運(yùn)行到B 點(diǎn)，途中實(shí)時(shí)接收列車的衛(wèi)星信息。經(jīng)過多次往返，采集到軌道的定位數(shù)據(jù)，通過最小二乘擬合的方式實(shí)現(xiàn)軌道定位信息的采集，此方法具有方便快捷，實(shí)施簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。

圖1 衛(wèi)星定位軌跡擬合示意圖Fig.1 Schematic diagram of satellite positioning trajectory fitting

2 最小二乘擬合算法

最小二乘擬合是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小[8]。

待擬合點(diǎn)為 (xi,yi)，其中。欲對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合，可以建立方程如公式（1）所示[9]。

顯然，該方程組一般而言沒有解，為獲取最優(yōu)解，引入最小二乘問題的矩陣形式：

最小化f(a) ：

可得到最小二乘問題的最優(yōu)解：

由于列車軌道具有轉(zhuǎn)彎半徑大，大多數(shù)軌道平直的特點(diǎn)，可對(duì)公式（1）進(jìn)行簡(jiǎn)化，令公式（1）的參數(shù)m 為2，獲得待擬合點(diǎn)的線性擬合數(shù)據(jù)。

3 經(jīng)緯度最小二乘擬合問題分析

經(jīng)緯度坐標(biāo)是基于地理坐標(biāo)系描述的衛(wèi)星定位原始數(shù)據(jù)。基于此描述的各點(diǎn)處于球面上，其進(jìn)行最小二乘擬合時(shí)存在2 個(gè)問題。

1)球面兩點(diǎn)之間的距離不能使用經(jīng)緯度差的2范數(shù)直接進(jìn)行描述。公式（2）～（4）所描述的最小二乘方法的優(yōu)化結(jié)果并非最優(yōu)解。

2)經(jīng)緯度坐標(biāo)與平面坐標(biāo)系是非線性映射的，地理坐標(biāo)系的線性最小二乘的直線映射到平面坐標(biāo)系后會(huì)變?yōu)榍€。

針對(duì)上面兩個(gè)問題，需要對(duì)最小二乘擬合在地理坐標(biāo)系中使用的適應(yīng)性進(jìn)行分析。

3.1 經(jīng)緯度坐標(biāo)距離分析

如圖2 所示，A、B、C、D 為地球表面上的點(diǎn)，線段AD 和BC 上所有的點(diǎn)分別有相同的經(jīng)度，線段AC 和BD 上的點(diǎn)分別有相同的緯度。A、B 兩點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)分別為(a1, β1)和 (a2, β2)。

圖2 經(jīng)緯度坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)映射圖Fig.2 Map of latitude and longitude coordinates and plane rectangular coordinates

為分析最小二乘的適應(yīng)性問題，不失一般性，可簡(jiǎn)化坐標(biāo)系映射關(guān)系。設(shè)地理坐標(biāo)系原點(diǎn)為東經(jīng)0 度，北緯0 度，則存在某點(diǎn)的坐標(biāo)為 (a, β)（單位：度），則該點(diǎn)映射到平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(x, y)，其映射關(guān)系為：

假設(shè)1：A、B 兩點(diǎn)距離很近，公式（6）可化簡(jiǎn)為：

根據(jù)公式（7）可知，線性誤差受到兩個(gè)因素的影響：

2)兩坐標(biāo)點(diǎn)緯度的正切值tanβ2。

根據(jù)上述兩個(gè)因素可知，若控制errl 小于e，則需要滿足假設(shè)2。

引理1：兩坐標(biāo)點(diǎn)2 范數(shù)距離誤差小于其中一個(gè)坐標(biāo)變量之差的誤差。

證明：

設(shè)兩坐標(biāo)點(diǎn)為(x1, y1)和 (x2, y2)，其2 范數(shù)距離為，其中a=x1-x2，b=y1-y2。

根據(jù)誤差傳遞公式， a 的誤差對(duì)l 影響為

因此，有Δl≤ Δa。

同理，有 Δl≤ Δb。

證畢。

綜上，根據(jù)引理1，在滿足假設(shè)1 和假設(shè)2的情況下，可確保兩坐標(biāo)點(diǎn)的距離誤差小于e，從而最小二乘的解為其在誤差e 控制范圍內(nèi)的近似最優(yōu)解。

3.2 經(jīng)緯度坐標(biāo)擬合線性分析

待擬合衛(wèi)星定位點(diǎn)為(αi, βi)，其中。應(yīng)用公式（1），并取公式（1）的m 為2，對(duì)待擬合點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合，可以建立方程如公式（12）所示。

其最小二乘最優(yōu)解為：

為分析地理坐標(biāo)系與平面坐標(biāo)系的線性對(duì)應(yīng)關(guān)系，需將使用公式（5）代入到公式（1）的參數(shù)K和Y 中。

將公式（5）代入最小二乘方法公式（1）的系數(shù)K 中，并取公式（1）的m 為2，可得到：

對(duì)公式（11）進(jìn)行簡(jiǎn)化，有：

將公式（5）代入最小二乘方法公式（1）的Y中，可得到：

對(duì)公式（13）進(jìn)行簡(jiǎn)化，有：

將公式（12）和（14）代入到最小二乘最優(yōu)解公式（4）中，得到經(jīng)緯度坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)平面坐標(biāo)系下的最小二乘最優(yōu)解：

經(jīng)化簡(jiǎn)可得到：

其中，a 和g 分別為平面坐標(biāo)系和地理坐標(biāo)系的最小二乘線性擬合最優(yōu)解。

由此可見，地理坐標(biāo)系的最優(yōu)解g=[g0, g1]和平面坐標(biāo)系的最優(yōu)解a=[a0, a1]存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

假設(shè)3：假設(shè)待擬合點(diǎn)距離很近，其最大與最小經(jīng)度的余弦值之差小于errβ。

在滿足假設(shè)3 的情況下，系數(shù)w1和w2均為恒定值，待擬合衛(wèi)星定位點(diǎn)的最小二乘線性擬合結(jié)果 β=g0+g1α 與其在平面坐標(biāo)系上的映射均為直線，且可經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移得到。

4 結(jié)論

本文針對(duì)人工采集軌道衛(wèi)星定位數(shù)據(jù)存在的問題，提出一種軌道數(shù)據(jù)最小二乘擬合方法。并針對(duì)地理坐標(biāo)系和平面坐標(biāo)系的特點(diǎn)，對(duì)最小二乘的應(yīng)用條件進(jìn)行了分析，提出3 個(gè)假設(shè)。在滿足3 個(gè)假設(shè)的情況下，可直接使用最小二乘方法對(duì)經(jīng)緯度坐標(biāo)進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果與其在平面坐標(biāo)系上的映射具有一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系。使用該擬合結(jié)果可得到軌道地理信息的近似最優(yōu)解。本文提出的最小二乘擬合方法可實(shí)現(xiàn)軌道的實(shí)時(shí)運(yùn)算，提高了擬合效率和軌道數(shù)據(jù)的可靠性，為軌道信息的采集提供了一種切實(shí)可行的方法和理論依據(jù)。