利用旋轉變換解決幾何問題

江蘇省常州市外國語學校 黃 韋

一、旋轉全等變換之1：自旋轉模型

例1 已知：在△ABC中，∠BAC＝60°。

（1）如圖1，若AB＝AC，點P在△ABC內，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，則PB的長為 。

圖1

圖2

解析：解題的第一步是認真讀題。要解題，首先得熟悉題目，弄清已知什么、求什么。這道題目條件簡明，但無法將這些條件集中到一起，給解題帶來了困難。如圖2，將△APC繞著點A逆時針旋轉60°到△ADB，由旋轉有AD=AP，BD=PC，∠DAB=∠PAC，所以∠DAP=∠BAC=60°，△ADP為等邊三角形。由此可以得到DP=PA=3，∠ADP=60°，∠ADB= ∠APC=150°，所以∠BDP=90°，在Rt△BDP中，BD=4，DP=3，根據勾股定理得PB=5。

（2）如圖3，若AB＝AC，點P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，則∠APC的度數為 。

圖3

圖4

解析：如圖4，把△APC繞點A順時針旋轉，使點C與點B重合，得到△ADB，連接PD，可得△DAP是等邊三角形，所以PD=3，∠1=60°，由勾股定理逆定理可知△PDB是直角三角形，所以∠PDB=90°，∠APC=30°。

二、旋轉全等變換之2：半角模型

半角模型的基本條件是：（1）共端點且相等的線段；（2）共頂點的倍半角；（3）對角互補。半角模型的解題策略是：在半角的旁邊再構造一個半角，從而得到兩對旋轉全等三角形。

圖5

圖6

三、旋轉全等變換之3：費馬旋轉60°模型

費馬點問題是指解決從同一頂點出發的三條線段和，即“PA+PB+PC”的最小值問題。通常的處理套路是：旋轉60°—構造等邊三角形—三“折”轉一“直”—利用兩點之間線段最短—解決問題。

例3 如 圖7， △ABC中， ∠ACB=30°，BC=6，AC=5， 在△ABC內部有一點P，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為 ___________________。

圖7

圖8

解析：如圖8，∵將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC，

∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，

∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，

∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，

∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°。

旋轉變換是三大幾何基本變換之一，它是解決幾何問題中的重要手段。當題目給的條件較為分散時，可以依據題意，通過旋轉變換，將分散的條件集中起來，從而把復雜問題簡單化，便于求解。