元認(rèn)知——數(shù)學(xué)解題加速器

安徽大學(xué)高等教育研究所 劉 芳

在數(shù)學(xué)教育改革中，如何提高數(shù)學(xué)解題效率是重點(diǎn)，也是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育工作者研究的重點(diǎn)內(nèi)容。數(shù)學(xué)解題順利與否需要從其影響因素角度進(jìn)行分析，元認(rèn)知水平作為重要的因素之一，有重要的研究意義。認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)的過(guò)程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化過(guò)程，是從初步形成到完善再到最終定型的一系列過(guò)程。其中最具代表性的，也最具權(quán)威性的則是弗拉維爾在《認(rèn)知發(fā)展》中對(duì)“元認(rèn)知”所做的明確定義：“元認(rèn)知就是個(gè)體對(duì)自身認(rèn)知過(guò)程的認(rèn)知，包含對(duì)認(rèn)知過(guò)程的認(rèn)知和個(gè)體認(rèn)知特點(diǎn)的認(rèn)知，同時(shí)也包含個(gè)體對(duì)認(rèn)知過(guò)程的主動(dòng)調(diào)節(jié)。”簡(jiǎn)而言之，元認(rèn)知是以“認(rèn)知”為對(duì)象進(jìn)行的“認(rèn)知”，它以人的認(rèn)知過(guò)程為研究對(duì)象，并對(duì)人的認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行監(jiān)測(cè)、調(diào)節(jié)等活動(dòng)。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，問(wèn)題解決是一種企圖達(dá)到目標(biāo)的嘗試活動(dòng)，被定義為任何受目標(biāo)指引的認(rèn)知性操作序列。可以看出，元認(rèn)知與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程有著很大的聯(lián)系。研究表明，數(shù)學(xué)活動(dòng)中的元認(rèn)知水平對(duì)數(shù)學(xué)解題有著重要影響，良好的元認(rèn)知是數(shù)學(xué)解題的有效加速器。

一、元認(rèn)知對(duì)數(shù)學(xué)解題的影響

當(dāng)前國(guó)內(nèi)在元認(rèn)知對(duì)數(shù)學(xué)解題的影響的研究中，較為權(quán)威的觀點(diǎn)是：元認(rèn)知作為一種認(rèn)知機(jī)構(gòu)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中是以計(jì)劃、監(jiān)控、調(diào)節(jié)、總結(jié)反思等來(lái)達(dá)到解題目標(biāo)，指引解題者通過(guò)對(duì)問(wèn)題外部表征的總結(jié)、解題策略的選擇、解題思路的變換，最終達(dá)到順利解決問(wèn)題的目的。

元認(rèn)知作用表現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程當(dāng)中，主要體現(xiàn)在從最開(kāi)始的審題階段，解題者根據(jù)題目的表征方式在頭腦中分析題目的含義并初步建構(gòu)出具體的解題方案，并根據(jù)原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)分析解題方案的可行性，為進(jìn)一步實(shí)施方案做充分的準(zhǔn)備。在這個(gè)過(guò)程中，元認(rèn)知思想發(fā)揮了監(jiān)控、計(jì)劃、統(tǒng)領(lǐng)的作用。到最后的總結(jié)反思階段，都能夠看出元認(rèn)知思想的重要作用。元認(rèn)知過(guò)程實(shí)際上就是指導(dǎo)、調(diào)節(jié)認(rèn)知的過(guò)程 ，選擇有效認(rèn)知策略的控制執(zhí)行過(guò)程 ，其實(shí)質(zhì)是人對(duì)認(rèn)知活動(dòng)的自我意識(shí)和自我控制。

二、元認(rèn)知在數(shù)學(xué)解題中的案例分析

例1：現(xiàn)有16 個(gè)完全一樣的正方體，請(qǐng)依據(jù)要求搭一搭，以符合下面的條件。

（1）搭出兩個(gè)體積一樣的立體圖形；

（2）搭出兩個(gè)立體圖形，使一個(gè)的體積是另一個(gè)的三分之一。

分析：

（1）若要兩個(gè)立體圖形的體積一樣，利用元認(rèn)知知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)知道只要組成兩個(gè)立體的正方體的個(gè)數(shù)一樣就可以了（對(duì)認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行控制和調(diào)節(jié)），所以?xún)蓚€(gè)立體圖形均是由8 個(gè)小正方體構(gòu)成的，立體圖形的形狀不唯一。

（2）首先要算出這兩個(gè)立體圖形是由幾個(gè)立方體組合而成的。共有16 個(gè)正方體，要使其中一個(gè)的體積是另一個(gè)體積的三分之一，則使其中一個(gè)立體圖形由12 個(gè)正方體組合而成，另一個(gè)立體由4 個(gè)小正方體組合而成就行了。這樣的解題過(guò)程會(huì)形成新的經(jīng)驗(yàn)，在下一次解題過(guò)程中起到作用，在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平得到了提高。

分析：聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和此類(lèi)題目解決的經(jīng)驗(yàn)，可將x4+x3-4x2+6x-25 分 拆 成：a（x-2）4+b（x-2）3+c（x-2）2+d（x-2）+e的形式。可得具體操作方式：待定系數(shù)法。

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，元認(rèn)知其實(shí)是相對(duì)獨(dú)立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是通過(guò)各種認(rèn)知對(duì)應(yīng)的行為活動(dòng)，引領(lǐng)解題者對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的表達(dá)，對(duì)策略進(jìn)行采用，對(duì)思路進(jìn)行更正，最終順利解決問(wèn)題。首先，學(xué)生在理解題目的初步階段，利用元認(rèn)知知識(shí)來(lái)引領(lǐng)其積極主動(dòng)地和原來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和解題模式建立關(guān)系，建構(gòu)正確的表征，并再一次重新審視該問(wèn)題的內(nèi)在特征和結(jié)構(gòu)，給予其新的意義，為選擇解題方案做準(zhǔn)備。其次，在擬定解題方案階段，利用元認(rèn)知知識(shí)來(lái)使解題者找到合適的解題方法，同時(shí)，此過(guò)程的解題思想會(huì)遷移到以后的解題過(guò)程中。再次，在總結(jié)反思階段，元認(rèn)知思想則是讓解題者積極對(duì)原來(lái)的行為進(jìn)行總結(jié)，從成功和失敗中學(xué)習(xí)，并將其歸入現(xiàn)在的認(rèn)知中，原有的經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)在新的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)結(jié)合在一起。與此同時(shí)，思考其他更加有效的解決方法并總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，以此提升個(gè)體的元認(rèn)知水平，為遇見(jiàn)新的問(wèn)題提供服務(wù)，以進(jìn)一步形成正遷移。

三、教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生元認(rèn)知水平的方法

第一，培養(yǎng)學(xué)生的自我意識(shí)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的發(fā)生以及意義，體會(huì)運(yùn)用不同方法學(xué)習(xí)的差異，讓他們意識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)包含有認(rèn)知以及元認(rèn)知過(guò)程，能夠讓他們自覺(jué)積極地去提升數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平來(lái)開(kāi)展相應(yīng)的元認(rèn)知活動(dòng)。第二，傳授整合元認(rèn)知知識(shí)，提升學(xué)生元認(rèn)知水平。為讓學(xué)生能夠使用系統(tǒng)的知識(shí)為自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供便捷，為順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題打基礎(chǔ)，教師應(yīng)該傳授完善的元認(rèn)知知識(shí)，盡力豐富學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí)。