巧用圖解法分析一類含彈簧的力學動態問題

周 勇 袁 寧

(1. 深圳實驗學校高中部,廣東 深圳 518055;2. 惠州市實驗中學,廣東 惠州 516001)

力學動態問題是高中物理中很常見的一種題型,在歷年高考題和各類模擬題中常有涉及,而圖解法在分析力學動態問題時往往可以回避繁瑣的計算,具有方便、直觀的優勢,本文將結合實例介紹一種用于分析一類含彈簧(橡皮筋)的力學動態問題的圖解法．

1 問題引入

圖1

例1.(2014年全國卷Ⅰ)如圖1所示,用橡皮筋將一小球懸掛在小車的架子上,系統處于平衡狀態．現使小車從靜止開始向左加速,加速度從零開始逐漸增大到某一值,然后保持此值,小球穩定地偏離豎直方向某一角度(橡皮筋在彈性限度內)．與穩定在豎直位置時相比,小球的高度

(A) 一定升高.

(B) 一定降低.

(C) 保持不變.

(D) 升高或降低由橡皮筋的勁度系數決定.

1.1 常規分析

圖2

設橡皮筋原長為l0、勁度系數為k,靜止時,橡皮筋長度為l,加速時長度為l′且與豎直方向夾角為θ,如圖所示．由胡克定律可知,靜止時k(l-l0)=mg,加速時小球受力分析如圖所示,由豎直方向受力平衡可知

k(l′-l0)cosθ=mg.

k(l′-l0)sinθ=ma.

則k(l-l0)=k(l′-l0)cosθ.

l′cosθ=l-l0(1-cosθ).

即l′cosθ

所以小球高度一定升高,故選項(A)正確．

1.2 圖解法分析

圖3

如圖3所示,設橡皮筋原長為l0、勁度系數為k,以懸掛點為圓心,以原長l0為半徑做一個圓,那么圓以外的部分長度就是橡皮筋的伸長量,設系統靜止時橡皮筋的伸長量為Δl,由平衡條件可得

mg=k·Δl.

(1)

設系統加速時橡皮筋的伸長量為Δl′,此時作出小球受力的矢量三角形圖并構造一個以Δl′為斜邊、另兩條直角邊分別沿豎直和水平方向的幾何直角三角形,如圖3所示．顯然,兩個三角形具有相似關系,根據對應邊成比例,可得

(2)

聯立(1)、(2)可知Δh=Δl.

所以l0cosθ+Δh

1.3 方法優化

圖4

考慮到這類動態問題往往都只需要作定性分析,因此,我們在分析方法上還可以作進一步的優化．在圖3的基礎上,如果直接以橡皮筋的勁度系數k為力的單位(比例尺),那么直接用橡皮筋的形變量(圓外部分的長度)就可以表示彈力的大小了,在此基礎上作出小球靜止和加速運動時受力的矢量圖如圖4所示,此時力的三角形與圖3中的幾何三角形就“重合”了,該三角形的三條邊長既表示幾何長度又可以反映力的大小．

由于加速時力的三角形豎直邊長表示小球重力,因此跟這條邊對應的幾何長度也等于初始靜止狀態時橡皮筋的伸長量,和初狀態比,小球的高度相當于沿著圓弧提升了l0(1-cosθ),即小球高度一定升高,故選項(A)正確．

與常規的解析法相比,圖解法以形變量為突破口,切入點低便于掌握,計算量小方便分析,在分析這類含彈簧(橡皮筋)的力學動態問題時非常有效．下面再結合實例來談談該方法的應用．

2 應用舉例

圖5

例2.如圖5所示,粗細均勻的光滑直桿豎直固定,輕彈簧一端連接于豎直墻上,另一端連接于套在桿上的小球上,小球處于靜止狀態．現用平行于桿向上的力F拉球,使小球沿桿緩慢向上移動,當彈簧水平時恰好處于原長,則從小球開始向上運動直到彈簧水平的過程中,下列說法正確的是

(A) 拉力F越來越大.

(B) 拉力F先減小后增大.

(C) 桿對球的作用力一直減小.

(D) 桿對球的作用力先增大后減小.

圖6

解析： 因拉力F和小球的重力都在豎直方向,可先將重力Mg與F合成,等效為一個力(Mg-F)．以彈簧原長為半徑作一個圓,以彈簧的勁度系數k為力的單位,那么彈簧在圓外部分的長度就可以表示彈簧彈力大小了,在此基礎上作出小球靜止時受力的矢量圖,如圖6所示．當小球緩慢向上移動時,顯然,桿對球的作用力N一直減小．設彈簧與水平方向的夾角為θ,由矢量圖可得

Mg-F=F彈sinθ.

解得F=Mg-F彈sinθ.

當小球緩慢向上移動時,彈簧彈力F彈減小,θ減小,從而拉力F增大,故選項(A)、(C)正確．

圖7

(A) 移動后滑塊對地面的壓力變小.

(B) 移動后滑塊對地面的壓力不變.

(C) 移動后滑塊將加速運動.

(D) 移動后滑塊仍能靜止.

圖8

解析: 因地面的支持力N和滑塊所受的重力G都在豎直方向,可先將小球的重力G與支持力N合成,等效為一個力(G-N)．因彈性細繩的原長l與小孔O離繩固定端的豎直距離相等,若以勁度系數k為力的單位,那么OA部分的長度就可以表示彈性繩的彈力F大小了,在此基礎上作出滑塊靜止時受力的矢量圖,如圖8(實線)所示．若把滑塊向左移動少許,假設滑塊仍能靜止,此時其受力矢量圖如圖中虛線所示．顯然,重力G與支持力N合力不變,從而可知移動后滑塊對地面的壓力不變;若移動后滑塊仍能靜止,那么地面的摩擦力減小,小于初狀態所受摩擦力,也就小于最大靜摩擦力,說明移動后滑塊確實靜止,故選項(B)、(D)正確．

3 結束語

本文介紹的這種圖解法從相似三角形法演變而來,關鍵思想包括以下兩個方面: (1) 借助輔助圓或輔助線段將彈簧(彈性繩)的原長截去,于是可以通過圓外的部分長度直觀的反映彈簧的伸長量及其變化;(2) 以勁度系數k為力的單位(比例尺),彈簧的伸長量就可以直接表示彈力大小．在此基礎上,再作出物體受力的矢量圖,結合相關長度和角度的變化就可以很方便的看出某些力的變化,可以有效的避免繁瑣的數學計算,快速得出結果．