圖示法巧解變質(zhì)量鏈條運動做功問題

唐忠敏

(西北民族大學預科教育學院理科教研室，甘肅 蘭州 730030)

在高中物理和大學基礎物理中經(jīng)常會有變力做功問題,但由于學生不具備或不熟悉微積分計算知識,通常會用能量守恒定律、動能定理等間接方法進行求解．但這些方法有時并非簡便,圖示法卻能化繁為簡、化難為易,取得出乎意料的效果,變質(zhì)量鏈條運動的做功問題就是其中一例．

圖1 水平桌面下滑的鏈條

題目.一質(zhì)量為m、長為L的勻質(zhì)鏈條,放在摩擦因數(shù)為μ的水平桌面上,其長為a的一端下垂,如圖1所示．鏈條與桌邊緣的相互作用忽略不計,當鏈條由靜止開始沿桌邊向下滑動至剛剛?cè)侩x開桌邊的過程中,重力與摩擦力各做多少功?

解析： 以鏈條為研究對象,選桌邊為坐標原點O,鏈條運動徑跡豎直向下為坐標軸正方向,某時刻坐標為s,鏈條受力如圖1所示．因此在鏈條下滑過程中,下垂部分鏈條的重力大小為

(1)

桌面上的鏈條所受的摩擦力為

f=μN′.

(2)

桌面對鏈條的支持力為

(3)

由牛頓第三定律知

N=N′.

(4)

由(2)～(4)式得鏈條所受摩擦力大小為

(5)

方法1:積分法.

由于桌面上的鏈條質(zhì)量時刻在變化,受到的摩擦力也時刻在變化,嚴格來講,變質(zhì)量物體運動問題較適合用積分方法來分析.

下垂部分鏈條重力做功滿足

(6)

將(1)式代入(6)式得

(7)

桌面上鏈條所受摩擦力做功滿足

(8)

將(5)式代入(7)式得

(9)

以上涉及到變質(zhì)量物體的受力與做功的計算,積分方法是較為常見的方法,但對于積分計算不熟悉的學生而言,這種方法顯得頗有難度．下面將運用圖示法巧妙化解這一難度問題．

方法2:圖示法.

(10)

建立桌面剩余鏈條所受摩擦力隨s變化圖像,如圖2(b)所示,陰影部分三角形面積數(shù)值上等于摩擦力做功大小,則有

(11)

圖2 重力、摩擦力

由上述結(jié)果可知,運用圖示法計算結(jié)果與積分運算結(jié)果完全一致,且圖示法顯得更為巧妙和簡約,方便學生理解和計算．

對于變力做功的問題,適當建立坐標系,找出該力隨坐標而變化的函數(shù)關(guān)系,然后采用積分法和圖示法均可求得此變力對物體的功．使用圖示法需要確定圖像具體的物理意義，可通過圖像與坐標軸圍成的面積來反映某一物理量,從而用圖示法進行直觀地分析,例如“速度—時間”圖像求解勻變速直線運動的位移、“加速度—時間”圖像求解某一過程的速度等,以及在變力做功問題中尤其是變力大小是坐標的線性函數(shù)時,則運用圖示法分析就顯得更為簡便．當然,變質(zhì)量鏈條運動類問題的求解方法并不限于此,如利用能量守恒、功能原理等也可求解速度、重力和摩擦力做功問題[1，2],但過程稍遜復雜．本文提供的圖示法解決此類變力做功問題旨在拋磚引玉,以期促進學生在相似問題解決中能夠觸類旁通、舉一反三地遷移應用,促進學生科學思維、物理觀念水平[3]等提升,從而增進物理學科核心素養(yǎng)．