基于非線性模型的全輪轉向重型車輛相平面特性分析

袁磊 史輝 劉洋

（北京特種車輛研究所，北京 100072）

主題詞：全輪轉向 相平面 非線性

1 前言

輪式重型車輛使用環境通常較為惡劣，低附著路面上的轉向制動、轉向加速等極限行駛工況較為常見，這些工況下，車輛輪胎極易進入非線性區域，導致車輛的轉向行為較難控制，容易出現轉向失穩狀況。為提高車輛非線性區域的操縱穩定性，多采用車輛縱向或橫向力的主動控制方法改變車輛機械系統的動力學特性，包括全輪轉向控制、主動制動控制和橫擺穩定性控制等。針對車輛非線性區域的操縱穩定性控制，有別于傳統的線性車輛動力學理論，車輛性能較難分析和預測，車輛穩定性范圍的分析和界定較為困難，且國內針對多軸車輛的該方面研究較少。因此，本文采用相平面分析方法，以某三軸重型車輛為研究對象，對其不同工況下的車輛特性進行分析，以期為車輛的高速穩定性控制提供支撐。

2 相平面概述

相平面是龐加萊提出的一種求解一、二階常微分方程的圖解方法，是時域分析法在非線性系統中的應用和推廣[1]。它可以不必求解非線性方程，而是通過系統的相軌跡分析穩定性、平衡位置、穩定精度以及穩定條件對系統的影響。對于一階非線性系統，有：

式中，xi為狀態變量。

設xi為時間的函數，其初始值可表示為：

式（2）中滿足初始條件的解xi(t)能夠完全確定系統的運動過程。以xi、xj（i≠j）為直角坐標系的平面，稱為系統的相平面。系統每個時刻的狀態對應的點為相點，該點在xi-xj平面上的曲線為相軌跡。軌跡的起始點為初始點(xi(0),xj(0))，系統的相軌跡表示系統在某一輸入激勵和不同初始條件下的響應特性[2]。

相軌跡在xi-xj平面上任一時刻的斜率為：點(xi(t),xj(t))相軌跡的斜率為定值，通過該點的相軌跡不可能多于1 條，即相軌跡不會在該點相交。當fi=fj=0 時，這樣的點稱為相軌跡的奇點，也稱為系統的平衡點。奇點處相軌跡無確定的斜率，因此，沒有軌跡通過該點或者不止1 條曲線通過該點。奇點根據系統穩定性的不同可有多種類型。根據李雅普諾夫的一次近似判斷準則[2]，在滿足一定條件時，非線性系統的穩定性取決于其一次近似微分方程在奇點的穩定性（穩定、漸進穩定或不穩定）。

3 全輪轉向車輛相平面分析模型

3.1 車輛二自由度模型

車輛動力學控制一般分為軌跡保持與穩定性控制2 類任務：軌跡保持主要用質心側偏角來描述，取決于車輪的綜合作用力；穩定性主要用橫擺角速度來描述，取決于所有車輪力對車輛質心的橫擺力矩。質心側偏角與橫擺角速度之間存在一定耦合，因此，在全輪轉向基本轉向特性和控制算法的研究中，多選取這2個變量作為狀態變量，并采用含有車輛橫向和橫擺2個自由度的動力學模型作為控制模型，如圖1所示[3]。圖1中，δi、αi分別為第i軸車輪的轉角和側偏角，li為第i軸到轉向中心的距離，β為質心側偏角，Ψ為車輛偏航角，φ為質心偏航角。

圖1 三軸車輛單軌動力學模型

忽略車輛其他因素引起的耦合項，提取出車輛質心側偏角β和橫擺角速度r，設第i軸車輪的所受側向力和縱向力分別為Fyi、Fxi，則車輛動力學微分方程為：

式中，m為整車質量；vx為車輛縱向速度；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量。

3.2 UA輪胎模型

UA 輪胎模型將輪胎與地面的接觸面積假設為矩形，假設接地線長度l、輪胎自由半徑r0和徑向變形ρ的關系為l=。數學模型分析中忽略輪胎側傾角對其縱向力和側向力的影響，同時忽略輪胎回正力矩和滾動阻力矩。第i軸車輪縱向滑移率sxi和橫向滑移率syi為：

第i軸車輪縱向滑移和側偏聯合作用的合成滑移率為：

車輪與地面之間的附著系數與滑移率的關系為：

式中，μi為第i軸車輪附著系數；μmaxi、μmini分別為第i軸車輪與地面的最大、最小附著系數。

由輪胎摩擦圓特性可得第i軸輪胎與地面的縱向和側向附著系數分別為：

式中，μ為地面實際總附著系數。

UA輪胎模型根據輪胎在地面上的運動狀態隨滑移率的變化而發生滾動和滑動，定義第i軸臨界縱向滑移率為：

式中，Fzi為第i軸垂向力；Cxi為第i軸垂向力。

第i軸臨界側向滑移率為：

式中，Cyi為第i軸側偏剛度。

第i軸無量綱臨界滑移率為：

定義輪胎與路面無量綱接觸長度為lni=1-sni，不考慮輪胎回正力矩特性，可得第i軸輪胎與地面間的縱向力為：

第i軸輪胎與地面的側向力為：

4 全輪轉向車輛相平面特性分析

描述轉向運動的2 個關鍵參數為質心側偏角和橫擺角速度。質心側偏角反映了車輛偏離行駛方向的程度，由各軸車輪側向力共同決定，對于該三軸車輛，選取車速為72 km/h、地面附著系數為0.3，由式（4）可得不同前輪轉角條件下質心側偏角與橫擺力矩的關系曲線如圖2所示。由圖2可知：隨質心側偏角的增大，車輛橫擺力矩逐漸增大并最終趨于飽和；當質心側偏角進一步增大時，車輛橫擺力矩趨于零，這主要是車輪飽和特性導致的。因此，質心側偏角對于判定車輛高速操縱穩定性具有一定意義，特別是在低附著路面高速轉向工況下。

圖2 質心側偏角與橫擺力矩的關系

橫擺角速度反映了車輛繞自身垂直軸旋轉的程度，由各軸車輪合力對質心的橫擺力矩決定。對于該三軸車輛，選取車速為72 km/h、地面附著系數為0.3，可作出不同前輪轉角條件下車輛穩態橫擺角速度的變化曲線和由地面附著系數引起的橫擺角速度最大值變化曲線，如圖3所示。由圖3可知：車輛橫擺角速度隨著車速的提高而逐漸增大，當到達某點時，由于實際橫擺角速度不能超過路面附著條件，因此橫擺角速度只能沿著虛線下降。

圖3 橫擺角速度與車速的關系

綜上所述，車輛高速轉向時容易發生側滑或急轉，質心側偏角將出現較為明顯的飽和，此時質心側偏角更能反映車輛的穩定狀態，而在車速較低時，橫擺角速度隨車速提高而逐漸增大，能夠較好地反映車輛的轉向能力。通常，車輛質心側偏角和橫擺角速度相互聯系、相互耦合，共同決定了車輛的偏航行駛，因此，本文利用與橫擺角速度和質心側偏角2 個狀態變量相關的相平面來分析車輛的高速穩定性，以找出三軸車輛高速轉向的穩定性邊界。

車輛操縱動力學的相平面主要包括以車輛狀態參數為坐標的相平面和具有一定物理意義的能量相平面。在穩定性系統設計中，被廣泛采用的是以車輛狀態參數為坐標的相平面，其主要有2 種，即Inagaki 提出的質心側偏角—質心側偏角速度相平面β-和Sacks 提出的質心側偏角—橫擺角速度相平面β-wz[4]。針對三軸車輛，采用包含車輪非線性特性的車輛模型對其β-wz和β-相平面進行分析?；谝欢ǖ那拜嗈D角δ1和車速vx，給定一組不同初始狀態的(β0,wz0)，利用數值差分方法和參數傳遞的方式可確定車輛相平面。

4.1 β-wz相平面穩定性分析

針對原三軸雙前橋轉向基型車進行β-wz相平面分析，以掌握車輛的相平面特性。取前輪轉角δ1=2°，車速vx分別為80 km/h 和120 km/h，地面附著系數分別為0.8和0.4 的仿真工況，設置車輛初始質心側偏角的范圍為-0.6～0.6 rad，初始橫擺角速度范圍為-0.6～0.6 rad/s，得到三軸雙前橋轉向基型車與三軸全輪轉向車輛的β-wz相平面特性，如圖4、圖5所示。

圖4 三軸雙前橋轉向基型車β-wz相平面

圖5 三軸全輪轉向車輛β-wz相平面

由圖4和圖5可得以下結論：

a.由圖4 和圖5a 可知，第一、第三象限區域都能夠穩定到焦點，而第二、第四象限部分區域出現了發散，即當初始橫擺角速度和質心側偏角同號時，車輛能夠收斂到穩定點，這些區域稱為穩定區域，該工況下雙前橋轉向和全輪轉向車輛的穩定性區域差別不大；

b.由圖4和圖5b可知，低附著路面上的相軌跡收斂區域變窄，且第一象限的穩定區域逐漸消失，即車輛質心側偏角與橫擺角速度同為正號時系統逐漸發散，此時車輛出現過度轉向；

c.由圖4 和圖5c、圖5d 可知，雙前橋轉向車輛難以收斂到一個穩定點，而全輪轉向車輛依然能夠收斂到穩定點，說明全輪轉向能夠在一定程度上提高車輛的高速穩定性。

4.2 β-相平面穩定性分析

由圖6和圖7可得以下結論：

a.由圖6a和圖7a可知，第二、第四象限區域都能夠穩定到焦點，而第一、第三象限的部分區域出現了發散，即當質心側偏角與質心側偏角速度異號時，車輛能夠收斂到穩定區域；

圖6 三軸雙前橋轉向基型車β-相平面

圖7 三軸全輪轉向車輛β-相平面

b.由圖6b 和圖7b 可知，低附著路面上的相軌跡收斂區域變得更狹窄，且第一、第四象限的穩定區域消失；

c.由圖6c、圖6d 和圖7c、圖7d 可知，雙前橋轉向車輛難以收斂到一個穩定點，而全輪轉向控制的車輛依然能夠收斂到穩定點，說明全輪轉向能夠提高車輛的高速穩定性。

另外，從圖4～圖7 中還以看出：隨著車輛初始質心側偏角絕對值的增大，車輛逐漸失穩，駕駛員越來越難以控制車輛；路面附著系數越低，車輛對質心側偏角越敏感，車輛穩定的最大質心側偏角絕對值也越小；三軸車輛β-wz相平面隨車速和地面附著系數的變化較大且規則性差，較難進行穩定區域的界定，而相平面穩定區域形狀變化較為固定，因此本文利用相平面進行車輛高速穩定性區域的劃分。

5 全輪轉向車輛穩定區域影響因素分析

5.1 車速對穩定性區域的影響

選取典型地面附著系數和前輪轉角，分析車速對全輪轉向車輛穩定性區域的影響。選取較低地面附著系數μ=0.4，前輪轉角δ1=0°，車輛縱向行駛速度vx分別為30 km/h、60 km/h、90 km/h和120 km/h的工況，設置車輛初始質心側偏角的范圍為-0.6～0.6 rad，初始橫擺角速度變化范圍為-0.6～0.6 rad/s，得到三軸全輪轉向車輛的相平面如圖8所示。

由圖8可知：當車速為30 km/h時，基于初始條件設置的(β0,wz0)可使車輛在整個區域內都穩定；車速提高后，β-的相平面收斂區域、曲線位置、形狀大致相同，這與兩軸車輛的分析結果類似。

圖8 不同車速下三軸全輪轉向車輛β-相平面

5.2 前輪轉角對穩定性區域的影響

選取典型車速vx和地面附著系數μ，分析車輛不同前輪轉角δ1對全輪轉向車輛穩定性區域的影響。選取車速為120 km/h，地面附著系數為0.8，前輪轉角δ1分別為0°、2°、4°和6°的工況進行仿真分析，結果如圖9所示。

圖9 不同前輪轉角下三軸全輪轉向車輛β-相平面

6 全輪轉向車輛穩定區域確定

由前文分析可知，三軸全輪轉向車輛穩定區域的截距和斜率主要受地面附著系數的影響。進一步確定不同附著系數下相平面的穩定性邊界，即確定邊界的斜率和截距。截距可通過非線性動力學方程組進行鞍點求解，如圖10所示；斜率可采用初始穩定平衡相點分布法，通過鞍點相鄰穩定初始相點斜率平均值進行確定，如圖10 所示。另外，在求解過程中，會出現鞍點絕對值稍有差異的情況，本文采用保守方法，取絕對值較小者進行邊界設計。

圖10 三軸全輪轉向車輛β-相平面

由圖10 可知：系統的穩定性區域關于y軸對稱，因此選取左側邊界進行計算。設其截距為M、斜率為N，選取δ1=2°、vx=120 km/h 的工況進行鞍點求解和斜率確定，可得不同地面附著系數下，穩定性邊界的截距和斜率如表1所示。

表1 穩定性邊界的截距和斜率

由表1 可知：當路面附著系數從0.1 到0.9 變化時，穩定區域邊界斜率和截距的絕對值逐漸增大，意味著穩定性區域逐漸變寬。采用最小二乘法對表1 的數據進行二次多項式擬合，可得車輛穩定性區域的表達式為：

7 結束語

本文通過研究相平面三軸雙前橋轉向重型車輛和全輪轉向重型車輛高速穩定性區域的影響因素，選取了質心側偏角-質心側偏角速度相平面作為其穩定性判定的依據，并采用鞍點求解法構造了穩定性邊界，可為三軸輪式重型車輛全輪轉向穩定性系統提供控制依據，為車輛穩定性分析與評價提供理論參考。后續研究將建立包含車輪旋轉自由度的動力學模型，進一步研究在驅動或制動等縱向力變化工況下，車輛的高速穩定性邊界。