考慮初始空隙閉合及其影響的脆性巖石變形破壞全過程模擬

張 超，陳秋南，楊期君，雷 勇

(1.湖南科技大學 巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201; 2.湖南科技大學 土木工程學院，湖南 湘潭 411201)

全應力應變關系是開展巖體工程變形與應力分析的基礎，統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型已被廣泛應用于模擬脆性巖石變形破壞全過程。由于脆性巖石內(nèi)部含有大量微裂隙或微孔隙等初始空隙，導致當前模型理論尤其是能夠反映脆性巖石峰前變形力學特性的統(tǒng)計損傷模型理論仍是巖體變形力學研究中的熱點和難點之一。

自從提出全應力應變關系曲線概念并在巖石剛性伺服試驗機上得到完全體現(xiàn)以來，國內(nèi)外學者[1-3]對脆性巖石變形破壞全過程模擬方法進行了大量探索并取得了豐碩的研究成果。由于脆性巖石變形破壞過程本質(zhì)上屬于空隙孕育、擴展及相互貫通的過程，而損傷理論正是用來研究巖石材料變形破壞及其空隙的形成演化過程，其中，基于連續(xù)損傷理論和統(tǒng)計強度理論建立的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型是除經(jīng)典彈塑性模型以外受到廣泛應用的脆性巖石變形破壞全過程模擬方法之一。近年來，統(tǒng)計損傷模型理論研究內(nèi)容主要集中在應力狀態(tài)和損傷閾值的影響[4]、微元強度的度量方式及其隨機分布形式[5]、模型參數(shù)的確定方法以及殘余強度變形特性模擬[6]等方面，從而使其能夠較好地反映脆性巖石變形破壞全過程。然而，該類模型理論仍然存在一定缺陷或不足，尤其在反映脆性巖石峰前變形力學特性方面，主要體現(xiàn)在如下幾點:① 當前理論提出普適的損傷模型將脆性巖石視為無初始損傷巖塊，而實際上脆性巖石在地質(zhì)演化形成或人為擾動作用過程中不可避免地產(chǎn)生大量的初始空隙，這些既有缺陷使脆性巖石含有初始損傷，從而影響其宏觀變形力學性質(zhì);② 當前本構(gòu)模型難以模擬出脆性巖石變形破壞全過程中的初始空隙壓密變形階段，然而對于某些脆性巖石，如煤巖，很多情況下其初始宏觀應力應變關系表現(xiàn)出強烈的非線性行為，且其非線性變形曲率隨著脆性巖石所處的應力水平變化而變化;③ 當前本構(gòu)模型在推導過程中將脆性巖石彈性模量視為常數(shù)，雖然這與其事先假定脆性巖石為致密巖塊相符合，但眾多試驗表明脆性巖石彈性模量與初始空隙閉合變形緊密相關并隨著應力水平變化而變化。由此可見，脆性巖石峰前變形力學特性與其內(nèi)部初始空隙及應力水平密不可分，為此，曹文貴等[7]將脆性巖石抽象為由巖石骨架和空隙兩部分組成，采用宏觀與微觀相結(jié)合的分析方法建立了能夠反映脆性巖石初始宏觀非線性變形力學行為的模擬方法。LIU等[8]基于傳統(tǒng)Hooke定律提出了一種能夠考慮巖石非線性彈性行為的雙應變Hooke模型，李連崇等[9]利用該模型進行有效的數(shù)值驗證，并在大尺度巖石工程中進行了可行性分析。郝憲杰等[10]在分析煤體非線性彈性特征基礎上提出了描述非線性彈性力學行為的彈塑性本構(gòu)方程，并進行了數(shù)值編程。上述研究結(jié)果均很好地推動了對于脆性巖石峰前變形力學特性的認識，但是不難發(fā)現(xiàn)，其獲得的理論模型曲線與試驗曲線仍有較大差距，且未探討初始空隙閉合與脆性巖石力學性質(zhì)之間的聯(lián)系，僅將初始空隙閉合籠統(tǒng)地視為引起初始宏觀非線性變形特征的原因欠妥，因此，探究應力作用下初始空隙閉合變形進而提出一種能夠很好地反映脆性巖石變形破壞全過程尤其是峰前變形力學特性的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型正是本研究的核心內(nèi)容。

為此，筆者在脆性巖石變形力學特征基礎上探討初始空隙閉合對脆性巖石峰前變形力學性質(zhì)產(chǎn)生的影響，利用當前脆性巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型理論的優(yōu)點，對考慮初始空隙閉合影響的脆性巖石非線性變形破壞全過程模擬方法進行探索，以期完善統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型研究內(nèi)容與方法。

1 脆性巖石變形力學特征

脆性巖石變形力學特征是分析初始空隙在閉合變形過程中脆性巖石變形力學參數(shù)演化的基礎。國內(nèi)外學者[11-13]基于巖石剛性伺服試驗機開展三軸壓縮試驗，普遍認為不同圍壓作用下脆性巖石變形破壞全過程如圖1所示，簡要分析如下。

(1)不同圍壓作用下脆性巖石階具有階段性變形特征，一般可分為初始壓密、線性、屈服硬化、軟化和殘余強度等變形階段，其全應力應變過程中的關鍵特征點如屈服應力、峰值強度和殘余強度均隨圍壓增大而增大。

(2)對于含有大量初始空隙的脆性巖石，在偏應力作用下將表現(xiàn)出非常明顯的初始壓密變形階段，隨著圍壓逐漸增大，初始宏觀非線性變形曲率不斷減小直至幾乎為零，隨著圍壓再次遞增，脆性巖石在偏應力作用下初始壓密變形階段可忽略不計，其變形破壞全過程與致密巖塊表現(xiàn)一致。

(3)隨著圍壓逐漸增大，脆性巖石彈性模量不斷增大直至保持為常數(shù)，體現(xiàn)出脆性巖石抵抗彈性變形的能力隨著應力水平的改變而發(fā)生變化，顯然這與將彈性模量視為常數(shù)的致密巖塊有顯著區(qū)別。

由此可以看出，初始空隙閉合對初始壓密變形階段、初始宏觀非線性變形曲率及彈性模量等脆性巖石峰前變形力學特性產(chǎn)生顯著影響。因此，筆者將基于脆性巖石變形力學特征探討不同應力水平作用下初始空隙閉合與脆性巖石峰前變形力學特性之間的聯(lián)系。

2 初始空隙閉合及其影響

由于初始空隙能否發(fā)生閉合變形取決于脆性巖石所處的應力狀態(tài)[14]，因此探討初始空隙閉合及其影響即為探討應力狀態(tài)及其相應的變形力學特性。基于三軸壓縮試驗規(guī)程可知脆性巖石先被施加圍壓待變形穩(wěn)定后，再被施加軸向壓力直至發(fā)生變形破壞。于是基于不同應力狀態(tài)下脆性巖石變形力學特征將初始空隙分為兩類:僅能夠在靜水壓力狀態(tài)下發(fā)生閉合的初始空隙(第1類初始空隙)和能夠在靜水壓力狀態(tài)和偏應力狀態(tài)下均發(fā)生閉合的初始空隙(第2類初始空隙)，下面分別對其探討。

2.1 第1類初始空隙

為了能夠探討第1類初始空隙閉合及其影響，假設其形狀為半長度等于a的硬幣形橢圓[15]，由于初始空隙張開度與其縱橫比λ呈正相關，可得圍壓σ3與λ之間的關系[15]，即

σ3=πEs(λ0-λ)/[4(1-μ2)]

(1)

(2)

(3)

其中，λi為第i條第1類初始空隙的初始縱橫比。隨著圍壓σ3逐漸增大，第1類初始空隙未閉合總條數(shù)N不斷減少直至為0，忽略第1類初始空隙各條數(shù)之間的相互作用[15]可得

(4)

其中，E2為脆性巖石彈性模量;V為巖石基質(zhì)體積。為了簡單起見，假設λi服從均勻分布，則其可表示為

λi=iλm/N0

(5)

其中，N0和λm分別為第1類初始空隙的總條數(shù)和初始縱橫比最大值。由式(3)和式(5)可得第1類初始空隙已閉合條數(shù)i與圍壓σ3之間的關系，即

(6)

(7)

將式(7)代入式(4)可得脆性巖石彈性模量E2與圍壓σ3之間的關系，即

(8)

其中，

η=Es/E0-1

(9)

E0=Es/(1+ωN0)

(10)

ω=16a3(1-μ2)/[9V(1-2μ)]

(11)

(12)

式(12)中參數(shù)可基于脆性巖石三軸壓縮試驗資料并采用最小二乘法方法獲取。由此可見，隨著第1類初始空隙在靜水壓力狀態(tài)下發(fā)生閉合的條數(shù)逐漸增多，脆性巖石彈性模量不斷增大，當?shù)?類初始空隙完全閉合時脆性巖石彈性模量將保持為常數(shù)即致密巖塊彈性模量，顯然第1類初始空隙閉合將直接影響著脆性巖石彈性模量的變化。

2.2 第2類初始空隙

由脆性巖石變形力學特征可以看出，隨著圍壓逐漸增大，脆性巖石初始宏觀非線性變形曲率不斷減小，表明某特定靜水壓力狀態(tài)下脆性巖石內(nèi)部有一定數(shù)量的第2類初始空隙發(fā)生閉合。當?shù)?類初始空隙在某特定靜水壓力狀態(tài)下全部發(fā)生閉合時，脆性巖石在偏應力作用下將直接進入線性變形階段;若某特定靜水壓力狀態(tài)下脆性巖石變形穩(wěn)定后仍有一定數(shù)量的第2類初始空隙未發(fā)生閉合，則脆性巖石繼續(xù)在偏應力狀態(tài)作用下發(fā)生閉合，且隨著偏應力逐漸增大，第2類初始空隙發(fā)生閉合的條數(shù)不斷增多直至全部閉合，從而使脆性巖石表現(xiàn)出初始壓密變形階段并進入線性變形階段。由此可見，第2類初始空隙閉合將直接影響著脆性巖石初始宏觀非線性變形曲率以及偏應力作用下脆性巖石是否表現(xiàn)出初始壓密變形階段。值得注意的是，由于脆性巖石在偏應力作用下必將進入線性變形階段，因此第2類初始空隙能夠全部發(fā)生閉合。

綜上分析，初始空隙閉合使脆性巖石內(nèi)部初始缺陷得到了改善，從而使脆性巖石峰前變形力學性質(zhì)得到了強化，因此將處于線性變形階段的脆性巖石可視為由巖石骨架和未發(fā)生閉合的第1類初始空隙兩部分組成，于是在此基礎上可建立考慮初始空隙閉合影響的脆性巖石變形分析方法。

3 脆性巖石變形分析方法

由于低初始空隙率的脆性巖石初始壓密變形階段很不明顯，眾多學者在研究脆性巖石峰前變形力學性質(zhì)時往往將其忽略，但對于高初始空隙率的脆性巖石，其初始壓密變形階段在峰前變形全過程中的占比較大，不能忽略[10]。無論何種脆性巖石，其內(nèi)部都含有初始空隙，故筆者將零應力狀態(tài)下脆性巖石構(gòu)成要素即巖石骨架和初始空隙作為分析出發(fā)點來研究脆性巖石變形分析方法。

(13)

圖2 脆性巖石變形分析Fig.2 Sketch for brittle rocks deformation analysis

3.1 裂隙材料變形分析方法

研究表明裂隙材料服從負指數(shù)變形規(guī)律[16]，即

(14)

其中，E1為裂隙材料彈性模量。由于裂隙材料彈性模量較低[17]，當脆性巖石進入線性變形階段時，exp(-σ/E1)趨向于0，裂隙材料變形基本結(jié)束，此時第2類初始空隙已全部閉合，從而驗證了前述對第2類初始空隙閉合及其影響探討的合理性。

3.2 骨架材料變形分析方法

骨架材料變形破壞全過程必然伴隨著空隙的孕育、擴展及相互貫通。根據(jù)空隙成因及演化特征，空隙可分為由第1類初始空隙和附加空隙組成。第1類初始空隙是地質(zhì)演化或人為擾動所形成，在靜水壓力狀態(tài)下發(fā)生閉合使脆性巖石彈性模量不斷增大，起到增強巖石抵抗彈性變形能力的作用，因此，可認為第1類初始空隙閉合實際上使脆性巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生自愈合行為;附加空隙是骨架材料所受應力超過屈服應力產(chǎn)生的新空隙，并在應力持續(xù)作用下不斷擴展及貫通，使脆性巖石強度發(fā)生破壞，起到弱化巖石抵抗變形能力的作用。由于微空隙是損傷的典型表現(xiàn)，于是可將未閉合第1類初始空隙和附加空隙分別視為骨架材料的初始損傷和附加損傷，因此，獲得骨架材料變形分析方法的關鍵在于建立骨架材料損傷模型。

當前損傷理論提出的損傷模型大都基于應變等價性假設[18]建立起來的，它們在模擬無初始損傷巖塊變形破壞全過程方面取得了較好效果，但無法反映初始損傷對巖石變形力學性質(zhì)的影響，然而無論如何為本文建立含初始損傷的骨架材料損傷模型奠定了基礎。

靜水壓力狀態(tài)脆性巖石內(nèi)部第1類初始空隙發(fā)生閉合，其中，閉合部分改善了骨架材料變形力學性質(zhì)，未閉合部分構(gòu)成了骨架材料初始損傷。骨架材料所受應力達到屈服應力時發(fā)生附加損傷并隨著變形逐漸增大，附加損傷不斷提高并達到上限值，但此時骨架材料仍具有一定的承載能力。于是，基于幾何損傷理論將骨架材料抽象為未損傷部分、損傷部分和未閉合第1類初始裂隙3部分組成，如圖3所示。

圖3 骨架材料損傷模型Fig.3 Damage model for skeleton material

(15)

其中，

Dt=D0+Dn

(16)

其中，D0為初始損傷變量，D0=A0/A;Dn為附加損傷變量，Dn=A2/A;Dt為骨架材料損傷變量。當D0=0時，Dt=Dn，式(15)即為當前提出普適的巖石損傷模型。

考慮到骨架材料損傷部分和未損傷部分緊密混在在一起，因此，對于骨架材料宏觀與微觀各部分應變的關系可利用文獻[19]思路確定出骨架材料宏觀軸向應變與未損傷部分材料軸向應變相同，由于σ′i是未損傷部分材料的微觀應力，可認為未損傷部分骨架材料變形服從廣義胡克定律，即

(17)

其中，μs為骨架材料泊松比;σ′j和σ′k分別為未損傷部分材料在j和k方向的微觀應力。由于裂隙材料在脆性巖石線性變形階段變形已基本結(jié)束，骨架材料彈性模量及其泊松比可近似認為與致密巖塊相同。設骨架材料損傷沿著最大主應變方向發(fā)生[6]，于是結(jié)合式(15)和式(17)可獲得骨架材料變形分析方法，即

(18)

式中，σj和σk為骨架材料在j和k方向的名義應力。

4 脆性巖石變形模擬方法

將式(14)和式(18)分別代入式(13)則建立出三軸壓縮條件下脆性巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，即

σ1=(1-Dt)Es[ε1-γ0exp(-σ1/E1)]/(1-γ0)+

(19)

4.1 D0的確定方法

由骨架材料變形分析方法可知，隨著圍壓不斷增大，第1類初始空隙閉合條數(shù)逐漸增多，D0不斷減小，E2不斷增大;當?shù)?類初始空隙全部閉合時，D0變?yōu)?，E2保持為常數(shù)。由此可見，D0和E2與圍壓的變化關系類似，D0可表示為脆性巖石彈性模量劣化程度，即

D0=1-E2/Es

(20)

4.2 Dn的確定方法

由于骨架材料變形破壞過程可視為一個發(fā)生連續(xù)損傷的過程，且微元強度的破壞具有隨機性，其破壞概率與應力狀態(tài)緊密相關，于是，為了考慮附加損傷閾值和應力狀態(tài)對骨架材料微元強度的影響，基于Mohr-Coulomb強度準則將微元強度度量方法F表示為

F=σ′1-ασ′3-k0

(21)

α=(1+sinφy)/(1-sinφy)

(22)

k0=2cycosφy/(1-sinφy)

(23)

其中，σ′1和σ′3分別為未損傷骨架材料在i=1和j=k=3方向的微觀應力;α和k0分別為與骨架材料發(fā)生附加損傷時的黏聚力cy和內(nèi)摩擦角φy有關的常數(shù)。將式(17)代入式(21)可得微元強度的另一度量方法，即

(24)

由式(24)可知，F(xiàn)取值有3種情況:當骨架材料未達到附加損傷閾值時，F(xiàn)<0;恰好發(fā)生附加損傷時，F(xiàn)=0;已經(jīng)發(fā)生附加損傷時，F(xiàn)>0。引入統(tǒng)計損傷理論常用的Weibull概率密度函數(shù)以表征骨架材料微元強度破壞的隨機性，隨著微元強度破壞數(shù)目不斷增多，其分布函數(shù)Dn由0逐漸遞增。由于D0是由未閉合第1類初始裂隙引起的，當骨架材料完全損傷時Dt等于1，則由式(16)可知Dn上限值為1-D0。于是，Dn的確定方法可表示為

式中，F(xiàn)t為Dn等于1-D0時F度量值，可基于損傷函數(shù)連續(xù)性確定;m和F0為隨機分布參數(shù)。

當骨架材料發(fā)生附加損傷時裂隙材料變形已基本結(jié)束，即exp(-σ1/E1)趨向于0。于是，將式(25)代入式(19)可得考慮初始空隙閉合及其影響的脆性巖石變形破壞全過程模擬方法，即

(26)

5 參數(shù)的確定方法

參數(shù)cy和φy可基于常規(guī)力學試驗確定，參數(shù)Es,μ,E0,E2和D0的確定方法已于前述介紹，參數(shù)γ0和E1可采用文獻[7]方法確定。因此，還需給出參數(shù)m和F0的確定方法。

脆性巖石具有應變軟化特性，其應力應變關系曲線在峰值點(σ1=σsc，ε1=εsc)處具有極值特性，即

(27)

式中，σsc和εsc分別為峰值點的應力和應變。

同時，峰值點又需滿足式(26)中的第2式。于是聯(lián)立方程即可確定參數(shù)m和F0：

m=(1-D0-Dnsc)(1-γ0)Fsc/{(1-Dnsc)×

(28)

F0=Fsc[-ln(1-Dnsc)]-1/m

(29)

其中，

Fsc=Es(εsc-γ0)/(1-γ0)+(2μ-α)σ3-k0

(30)

(31)

值得注意的是，在參數(shù)m和F0求解過程中需弄清兩個問題:

(1)F的求導。

當脆性巖石處于峰值強度時，F(xiàn)>0，exp(-σ1/E1)趨近0，于是，將式(13)代入式(24)可得F另一表達式:

F=Es(ε1-γ0)/(1-γ0)+(2μ-α)σ3-k0

(32)

于是，基于式(32)求得F關于ε1的導函數(shù)，即

?F/?ε1=Es/(1-γ0)

(33)

(2)峰值點的取值。

σsc=σ′sc+σ3

(34)

εsc=ε′sc+εc

(35)

由于靜水壓力狀態(tài)下脆性巖石在僅具有初始損傷，于是，基于式(26)中第1式可得εc，即

γ0[1-exp(-σ3/E1)]

(36)

至此，已建立考慮初始空隙閉合及其影響的脆性巖石變形破壞全過程模擬方法并給出了參數(shù)的確定方法，但其合理性與可行性有待驗證，下面進行分析。

6 模型驗證

文獻[20]給出了紅砂巖在圍壓分別為0,10,20,30和40 MPa條件下偏應力應變試驗曲線，如圖4所示。采用本文方法可確定參數(shù)α=4.60,k0=51.47 MPa，γ0=0.001，E0=14.62 GPa,Es=22.52 GPa,μ=0.25，不同圍壓下脆性巖石相關模型參數(shù)見表1。值得注意的是，這些參數(shù)是基于三軸壓縮條件下脆性巖石變形力學參數(shù)的變化規(guī)律以及前述參數(shù)的確定方法進行確定。于是，可獲得不同圍壓作用下紅砂巖模型理論曲線，并將其與試驗曲線進行比較，如圖5所示。

圖4 紅砂巖偏應力應變試驗曲線Fig.4 Deviatoric stress-axial strain test curves of red sandstone

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

為了進一步驗證本文理論模型和方法的合理性與可行性，分別根據(jù)文獻[6]和文獻[7]中同類型脆性巖石本構(gòu)模型，采用相同試驗資料獲取相應的模型理論曲線，并將它們分別與試驗曲線進行比較，如圖6，7所示。

圖6 文獻[6]理論模型曲線與試驗曲線的比較Fig.6 Comparison of theoretical model curves in reference[6] and test curves

圖7 文獻[7]理論模型曲線與試驗曲線的比較Fig.7 Comparison of theoretical model curves in reference[7] and test curves

由此可以看出:

(1)文獻[6]理論模型能夠反映線性、屈服硬化、軟化和殘余強度等變形階段，但不能反映初始空隙壓密變形階段及彈性模量變化特征，這是由于該理論將脆性巖石視為致密巖塊且其內(nèi)部不含有初始空隙，顯然其理論模型應用范圍受到了一定限制。

(2)文獻[7]理論模型能夠反映初始空隙壓密、線性、屈服硬化和軟化等變形階段，但不能反映脆性巖石殘余強度變形階段，這是該理論認為損傷部分材料不能承受載荷所致，同時，該理論模型不能反映初始宏觀非線性變形曲率及彈性模量變化特征。盡管該理論認為脆性巖石存在初始空隙，但其忽視了初始空隙閉合與其應力狀態(tài)有緊密關系從而無法考慮初始空隙閉合及其影響，因此其理論模型仍然存在一定缺陷。

(3)本文理論模型不僅能夠很好地反映脆性巖石變形破壞全過程5個變形階段，也能夠很好地反映初始宏觀非線性變形曲率及彈性模量變化特征。

為了進一步反映初始空隙閉合及其影響，根據(jù)本文模型和方法可得紅砂巖損傷演化規(guī)律以及附加損傷演化規(guī)律，分別如圖8,9所示。

圖8 紅砂巖損傷演化規(guī)律Fig.8 Evolution law of damage for red sandstone

由此可以看出:

(1)隨著圍壓逐漸增大，初始損傷變量不斷減小，表明靜水壓力狀態(tài)下紅砂巖內(nèi)部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生自愈合行為，由初始空隙引起的初始損傷不斷降低;當?shù)谝活惓跏伎障对陟o水壓力狀態(tài)下完全閉合時，初始損傷變量為0，其損傷演化規(guī)律與致密紅砂巖塊相同，闡釋了增大圍壓具有消除紅砂巖內(nèi)部初始缺陷的作用[21]。

(2)當紅砂巖所受應力未達到附加損傷閾值時，紅砂巖將維持恒定的初始損傷程度，一旦所受應力達到附加損傷閾值時，隨著軸向變形逐漸增大，紅砂巖損傷變量及附加損傷變量不斷增大;隨著圍壓逐漸增大，紅砂巖附加損傷速率不斷降低，闡釋了增大圍壓具有抑制紅砂巖附加損傷的作用[21]。

(3)紅砂巖損傷及附加損傷演化規(guī)律呈S型，隨著軸應變不斷增大，損傷變量由D0遞增至1，附加損傷變量由0逐漸遞增至1-D0，表明初始空隙引起的初始損傷在紅砂巖損傷演化規(guī)律中起著重要作用。

7 結(jié) 論

(1)初始空隙可分為2類:第1類初始空隙和第2類初始空隙，前者閉合引起脆性巖石彈性模量發(fā)生變化，后者閉合引起脆性巖石具有初始壓密變形階段以及初始宏觀非線性變形曲率發(fā)生變化，且在初始宏觀變形過程中能夠完全閉合。

(2)脆性巖石損傷可分為2類:初始損傷和附加損傷，前者由未閉合第1類初始空隙引起，后者由脆性巖石達到附加損傷閾值時產(chǎn)生附加空隙引起。

(3)建立了考慮初始空隙閉合及其影響的脆性巖石變形破壞全過程模擬方法并給出其參數(shù)的確定方法。通過分析本文以及同類理論模型曲線分別與試驗曲線并探討紅砂巖損傷演化規(guī)律，表明本文理論模型能夠很好地反映紅砂巖變形破壞全過程，并能闡釋圍壓、初始空隙和峰前變形力學特性3者之間的關系，從而驗證了本文模型和方法的合理性與可行性。