柔性繩網展開過程的多元回歸模型的優化

王 全， 陳 曦， 石益建， 付 杰

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

目前，針對柔性繩網系統的研究，主要方法是建立柔性繩網的仿真模型，用于分析其展開過程的動力學特性。G?rdsback等[1]開發了一個解析三自由度模型和一個全三維有限元模型，用以分析折疊后的柔性繩網展開過程的動力學特性。李京陽等[2]建立了空間飛網系統的柔性模型和松弛模型，并進行對比研究，以使模型的動力學特性更逼近于真實飛網。張青斌等[3]基于離散化模型，研究了柔性繩網展開過程中展開面積、空間位形和飛行距離等方面的動力學機理。劉海濤等[4]基于正交試驗，對柔性繩網展開過程的影響因子進行靈敏度分析。劉昊等[5]利用絕對節點坐標法，建立柔性繩網捕獲過程的動力學模型，驗證靜力學和振動分析提供參數選型的有效性，并分析了影響收口過程的關鍵指標。甄明等[6]設計了地面環境下的柔性繩網碰撞試驗，通過對比試驗結果與仿真結果，分析碰撞過程中的碰撞力和繩段內力，及對包裹目標的影響。

在柔性繩網展開過程中，通常需要柔性繩網在一定距離上展開到最大，但由于柔性繩網仿真中選擇的參數無法包含所有的數值，即使進行大量仿真，對比所獲得的數據，也無法使該指標達到最佳。Design-Expert可對試驗后的數據進行回歸分析，擬合多項式曲線，建立擬合因素與響應值間之間的數學模型，并進一步求得最優參數。陶有俊等[7]通過Design-Expert中的 Box-Behnken 試驗設計粉煤灰摩擦電選脫炭試驗方案，二次方修正模型，并以脫炭效率為優化指標，得到最佳試驗條件。Qian等[8]針對軟土加固，利用Box-Behnken試驗方法，設計室內無側限抗壓強度試驗，并獲得高爐渣、石膏、激發劑CaO的最佳配比。

圖1所示為柔性繩網示意圖，現采用集中質量阻尼彈簧[3]建立柔性繩網的動力學模型，并由Design-Expert 11軟件設計仿真方案，進而獲得充足的仿真數據，同時建立展開位移和展開面積的多元回歸模型，此外，對多元回歸模型進行優化，得到滿足設計標準的理想參數組合，以及討論發射速度和旋轉角對展開效果的影響。

圖1 柔性繩網示意圖

1 動力學模型

采用離散化思路，將柔性繩網離散為一系列節點，相連兩節點僅考慮張力與阻尼力，且柔性繩網質量均勻分配到所有節點上，即將柔性繩網處理為大量集中質量阻尼彈簧的組合，如圖2所示。

圖2 柔性繩網離散化示意圖

柔性繩網離散后任一節點的運動公式為

(1)

中央差分法是一種常用的顯式時間積分方法，經常用于求解運動公式[9]，由中央差分法可得：

(2)

(3)

將式(3)代入式(1)，可得位移迭代公式為

(4)

(5)

(6)

2 多元回歸模型

2.1 仿真設計

響應曲面法是正交試驗的一種常用方法，將給定的數據擬合為多元二次回歸方程，表示影響因子與響應值之間關系[10]。柔性繩網展開過程中的研究對象為展開面積與展開距離，其主要影響因子為發射速度V、旋轉角α和時間t，同時各影響因子的取值范圍為：發射速度10～30 m/s，旋轉角10°～22° ，時間1～1.4 s，最后按正交表對各影響因子進行排序，并進行水平編碼，其值見表1。

通過C++編制柔性繩網動力學模型的計算程序，并將表1中各影響因子數值帶入進行仿真，得到50組仿真數據，其部分數據見表2。

表1 三因子五水平編碼

表2 部分仿真數據

2.2 響應模型選擇

影響因子與響應值之間的多元二次回歸公式可以表示為

(7)

式(7)中：y為響應值，即展開位移L和展開面積S；xi為影響因子，即發射速度V、旋轉角α和時間t；bi是第i個影響因子的線性影響系數；bii是第i個影響因子的非線性影響系數；bij是第i、j兩個影響因子交互作用的非線性影響系數；k為影響因子的個數，k=3。

實驗數據采用軟件Design-Expert 11進行分析[11-12]，應用多重模型對仿真數據進行擬合，得到展開位移L和展開面積S各響應模型R2綜合分析和方差分析比較見表3～表6。由表3～表6綜合分析可得，展開位移L最優的響應模型是二次方程模型，展開面積S最優的響應模型是2FI模型。

表3 R2綜合分析(展開位移)

表4 方差分析比較(展開位移)

表5 R2綜合分析(展開面積)

表6 方差分析比較(展開面積)

注：R2表示決定系數；vs表示對比；F表示擬合缺陷；prob表示概率。

2.3 顯著性分析及多元回歸模型建立

展開位移L和展開面積S及其影響因子的顯著性分析[13]，見表7和表8。P用于表示對模型影響的顯著性，由表7可知，展開位移L模型的F為5 115.04，對應的P<0.000 1，說明展開位移L的回歸方程為最高顯著：發射速度V、旋轉角α、時間t、發射速度和旋轉角的交互(Vα)、發射速度和時間的交互(Vt)以及發射速度平方項(V2)呈最高顯著，說明這些項對展開位移L起主要影響作用；旋轉角和時間的交互(αt)、旋轉角平方項(α2)以及時間平方項(t2)顯著性較小，對展開位移L的影響較小。

由表8可知，展開面積S模型的F=154.06，對應的P<0.000 1，說明展開面積S的回歸方程為最高顯著：發射速度V、旋轉角α、時間t以及發射速度和旋轉角的交互(Vα)呈最高顯著，說明這些項對展開面積S起主要影響作用；旋轉角和時間的交互(αt)以及發射速度和時間的交互(Vt)顯著性較小，對展開面積S的影響較小。

表7 展開位移L及其影響因子的顯著性分析

表8 展開面積S及其影響因子的顯著性分析

展開位移L和展開面積S對應的多元回歸模型如式(8)、式(9)所示。

L=-7.706 05+0.075 362V-0.078 992α-

1.954 23t+0.008 589Vα+0.769 141Vt+

0.137 111αt-0.003 757V2-0.003 995α2+

0.239 183t2

(8)

S=45.503 59-4.728 79V-4.937 79α-

38.936 54t+0.312 435Vα+3.042 06Vt+

2.393 17αt

(9)

2.4 多元回歸模型驗證

為了驗證多元回歸模型的準確性，進行了8個仿真驗證，并為下面的優化提供仿真依據。這 8個仿真驗證中各影響因子的取值與表1中的五水平數值不同，但取值均位于正交試驗各影響因子的數值范圍內，其具體取值見表9。

由表9可知，展開位移L和展開面積S對應的多元回歸模型的計算結果與仿真結果的誤差均在10%以內，說明多元回歸模型的可信度較高，其優化分析結果可靠。

表9 多元回歸模型的仿真驗證

注：展開位移L和展開面積S為仿真值，展開位移計算值L′和展開面積計算值S′為式(8)、式(9)的計算結果。

3 模型優化結果與討論

3.1 數值優化

基于以上多元回歸模型，軟件Design-Expert 11可以對各影響因子進行優化，即在保證展開位移L在一定范圍內，展開面積S達到最大值時的各個影響因子的取值，具體優化條件見表10。

表11為按照表10中的優化條件進行優化所得到的柔性繩網展開優化方案。由優化結果可知，當發射速度為29.481～30.000 m/s、旋轉角度為21.916°～22°和展開時間為1.092～1.115 s 時，可以得到展開位移為19.824～20.000 m 和展開面積為115.741～116.644 m2的較好展開效果。

表10 優化條件

表11 柔性繩網展開優化方案

圖3 柔性繩網展開過程(V=30 m/s，α=21.916°)

從以上10組柔性繩網展開優化方案中，選取第5組參數V=30 m/s和α=21.916° 進行仿真，得到柔性繩網展開過程示意圖以及展開面積S隨展開位移L和時間t的變化圖，如圖3、圖4所示。由圖3、圖4可知，在t=0～1.1 s內，柔性繩網逐漸展開，當t=1.1 s 時，展開位移仿真值L′=19.85 m ，展開面積仿真值S′=115.8 m2，此時柔性繩網在優化條件下展開效果最好，當t繼續增加時，柔性繩網逐漸張開到最大，之后由于自身張力和慣性作用，外圍逐漸向中心收縮，展開面積S逐漸減小，但由于展開位移L>20 m ,超出優化條件范圍，不滿足設計要求。由此可知，在給定的設計方案下，通過軟件Design-Expert 11，多元回歸模型能夠得到較為準確理想的優化方案。

圖4 展開面積S隨展開位移L和時間t的變化圖

3.2 圖形優化

圖5(a)～圖5(d)所示為不同發射速度條件下所獲得的旋轉角和展開時間的最佳匹配圖，隨著發射速度從30 m/s變化到21.8 m/s,最佳匹配區域從右下角逐漸移動到右上角，展開位移L=18 m、20 m 和展開面積S=80 m2、125 m2四條邊界線均上移，以及四條邊界線逐漸消失，整個區域面積大小首先近似保持不變，之后逐漸變小，最終消失。這是由于發射速度減小，相同旋轉角條件下到達展開位移L=10、15 m 以及展開面積S=80 m2、115 m2所需的展開時間增加，因而最佳匹配區域以及A、B、C和D四條邊界線向上移動，當A、B邊界線都在取值范圍內時，最佳匹配區域由邊界線A、B、C及α=22° 構成，面積近似保持不變，當B邊界線不在取值范圍內時，最佳匹配區域面積逐漸變小，當A、B邊界線不在取值范圍內時，最佳匹配區域消失，即發射速度V減小到21.8 m/s及以下時, 沒有達到優化條件的參數組合。

圖5(e)～圖5(h)所示為不同旋轉角條件下所獲得的發射速度和展開時間的最佳匹配圖，隨著旋轉角從22° 變化到16.2°，A和B邊界線變化較小，C和D邊界線逐漸上移，最佳匹配區域面積逐漸減少，起初為傾斜帶狀區域，之后逐漸消失。隨著旋轉角的逐漸變小，相同發射速度的條件下到達展開面積S=80 m2、115 m2需的展開時間增加，因而C、D邊界線逐漸上移，由于旋轉角在給定值范圍內對展開位移L影響較小，因而A、B邊界線變化較小。由C、D與A、B邊界線變化可知，區域面積逐漸減少，并且旋轉角減小到16.2° 及以下時，最佳匹配區域消失，即沒有達到優化條件的參數組合。

A為展開位移L=18 m；B為展開位移L=20 m；C為展開面積S=80 m2；D為展開面積S=125 m2

4 結論

采用Design-Expert 11軟件對柔性繩網展開過程中的展開位移和展開面積的研究進行設計、結果分析和優化，得到以下結論。

(1)通過仿真驗證所建立的多元回歸模型的準確性，模型計算結果與仿真結果的誤差均在10%以內，說明多元回歸模型進行優化分析，其結果較為可靠。

(2)當發射速度為29.481～30.000 m/s、旋轉角度為21.916°～22°和展開時間為1.092～1.115 s時，可以得到展開位移為19.824～20.000 m和展開面積為115.741～116.644 m2的較好展開效果。

(3)優化分析結果表明，發射速度越小和旋轉角越小，則最佳匹配區域中的參數組合越少；當發射速度V<21.8 m/s或旋轉角α<16.2° 時，最佳匹配區域消失，沒有參數組合達到優化條件。