變上限積分求導定理課堂教學構思設計及實踐效果

楊莉　朱立軍

摘? 要：變上限積分求導定理是高等數學教學中的難點，如何使本節課有效的進行，授課教師對其進行了精心的構思：提出問題→解決問題→問題總結→拓展探究，在此過程中融入啟發式、探究式及團隊式教學模式，教學課件豐富，教學語言詼諧，教學互動靈活，教學效果明顯。

關鍵詞：變上限積分;求導定理;課堂教學;構思設計

中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）01-0122-03

Abstract： Variable Upper Bound Integrals Derivative Theoremis the difficulty inCalculusteaching.To make this lesson effective， the teacher carefully designed it by following steps： ask questions，answer questions，summarize questions and expand inquiry. Heuristic， inquiry and team-based teaching modes are adopted in the process， which obtain rich teaching courses， humorous teaching languages， flexible teaching interaction and obvious teaching effects.

Keywords： Variable Upper Bound Integrals; derivative theorem; classroom teaching; conceptual design

《高等數學》是我校理工類和經管類的專業基礎課，既能展現基礎學科的理論特色又能兼顧專業課程的實踐特色，同時也是學生學習其他后繼課程的基礎，在人才培育中占有重要地位。通過該課程的學習，能很好的培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力以及綜合運用所學知識去分析和解決實際問題的能力。

如何提高高等數學的教學質量，已經成為《高等數學》教學活動中亟待解決的課題。對于民族院校經濟類專業《高等數學》教學，需考慮學生的生源及個體差異性，對教學過程的設計需精心構思，目的激發學生對高等數學課程的積極性和熱愛程度，使其一環緊扣一環的繼續學習高等數學后續知識，并且更重要的是在數學課程中培養學生積極正能量的人格品質，從而為少數民族地區培育有用的服務型人才。

變上限積分是高等數學中聯系不定積分與定積分的一個重要概念，其教學設計構思關系著整個教學效果的整體呈現。以下為變上限積分教學構思設計過程與實踐效果。

一、承前啟后，有效導入

全體同學請將你的美麗目光集中在這里（手勢右手大展繞一圈指向左手手心，提示大家注意），同學們，早上好！

今天我們一起來探討學習第6章定積分6.4節微積分基本定理之變上限積分求導定理。

上節課，我們提出了兩個問題。

問題1：我們已經系統的學習了一元函數的微分學、初步的學習了積分學，我們要問：這兩者之間是否有一定的聯系呢？如果有，能說明什么問題？

問題2：截至目前，求定積分只能通過定義，然而定義中的和式極限給計算帶來了一定的繁雜性，那么要問：是否有一種更巧妙簡便的辦法來計算定積分？

為此，我們引入了變上限積分。

通過拉窗簾活動，由已知（定積分）到未知（變上限積分），自然過渡到變上限積分的定義。

進入PPT：

一、變上限積分

觀察這個式子'（x）=f（x），認識一下？椎（x）和f（x）的關系。f（x）是？椎（x）的導函數，？椎（x）是f（x）的原函數。那也就是說在[a，b]上連續的函數f（x）必然存在原函數，下面以定理的形式給出。

PPT4變上限積分求導定理

變上限積分求導定理回答了上節課我們提出的第1個問題微分學與積分學的聯系，它是溝通微分學與積分學的橋梁。同時說明了變上限積分的導數等于被積函數在上限處的函數值，也表明了閉區間上的連續函數必然存在原函數，而且這個原函數是由其本身生成的變上限積分函數。

趁熱打鐵，我們利用定理1求幾個變上限積分的導數。

定理1是我們這節課的終極目標，目的達到，課程到此結束。

四、梳理總結，拓展探究

下面我們來簡單梳理總結一下本節課。

由上節課提出的兩個問題我們引入變上限積分，本節課比較嚴謹的分析推導變上限積分求導定理。在分析過程中遇到兩個有趣的疑難點：

（1）? ? ? ? ? ? ? ? ? 復雜問題簡單化;

（2）? ? ? ? ? ? ?，將變量為？駐x→0時的極限轉化為變量為？孜→x時的極限，問題簡易化。

這也就是說我們在遇到困難時，一種辦法行不通，我們得大膽嘗試、探索尋求另一種方法來解決，那么我們想要的那個美麗的答案馬上會得到。正所謂宋代詩人陸游《游山西村》中的一句詩所說“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”。

下面布置作業，課下同學們可以試著完成兩個任務。注：課下作業任務2同學們在“學習通”主題討論中互相討論;任務3的WORD編輯上傳到“學習通”作業（在線課程任務）中。

PPT5課下作業

五、實踐效果，問卷呈現

本節課于管理學院選修《高等數學》班級進行，通過對39名學生進行問卷調查（參見文獻[5]），整體教學效果良好，抽選問卷（共12個問題）中的4個問題如下。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）：上冊[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]趙樹嫄.微積分（第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2016.

[3]肖俊.關于變上限函數求導的教學實例[J].高等數學研究，2013，16（06）：49-51.

[4]變上限積分函數動態圖[EB/OL].http：//img.bimg.126.net/photo/KEf5qTFJDxB_ovLzLHL7mQ==/4224376450474286368.jpg.

[5]6.4節微積分基本定理之“變上限的定積分”求導定理教學效果測評問卷調查[EB/OL].http：//mooc1.chaoxing.com/course/202227494.html