高速動車軸箱軸承疲勞壽命計算方法

李 震，商慧玲，張 旭，孫 偉

(1. 大連理工大學 機械工程學院， 遼寧 大連 116024；2. 北京金風科創風電設備有限公司 研發中心機械技術部, 北京 100176；3. 大連工業大學 機械工程及自動化學院， 遼寧 大連 116024)

軸承是高速動車的核心零部件之一，其承載動車總質量和各種復雜載荷，在保障高速動車穩定高速地運行過程中起著重要作用[1-2]。準確預測軸承的工作壽命極其必要, 預測值過大會埋下重大安全隱患，過于保守會導致材料物質浪費[3]。

國內外學者針對軸承的壽命問題做了大量研究。Jones等[4]基于軸承靜力學模型研究了軸承的接觸疲勞壽命；Ghaisas等[5]研究了軸承在固體潤滑介質工作條件下的載荷特征與疲勞壽命，提出了針對角接觸球軸承的動力學模型；Sakaguchi等[6]基于ADAMS動力學軟件研究了實際工況下角接觸球軸承的接觸疲勞壽命；Bercea等[7-8]建立了軸承的擬靜力學分析模型，研究了傾覆力矩與軸承游隙對其壽命特征的影響；萬長森等[9]基于Lundberg和Palmgren軸承疲勞壽命方法，研究了角接觸球軸承的壽命特征；杜冰等[10]基于彈性流體潤滑理論開展了角接觸球軸承壽命特征的研究工作；冷鋼等[11]基于擬動力學分析軟件得到軸承內部的載荷分布，同時考慮了過盈配合和溫度等外在條件，研究了圓柱滾子軸承壽命的計算方法；吳子英等[12]針對鐵路列車不同運行速度和不同可靠度條件建立三參數威布爾模型，研究了軸箱軸承的疲勞壽命。國內外對軸承壽命的研究主要集中于球軸承和圓柱滾子，對圓錐滾子軸承的壽命分析及其計算方法的研究則較少。

考慮上述問題，本文針對某型號高速動車，分析軸箱使用的雙列圓錐滾子軸承，建立該類軸承的擬靜力學模型，從而得到其內部載荷分布及疲勞壽命。比較了不同軸承疲勞壽命計算方法的差異，獲得在不同工況下軸承的疲勞壽命特性，為高速動車軸箱軸承的研發設計及軸承疲勞壽命的準確預測提供了理論基礎。

1 雙列圓錐滾子軸承擬靜力學模型

軸承擬靜力學分析的基本思想是將高速運動軸承元件的離心力和陀螺力矩效應，與外載荷一起計入軸承的力和力矩平衡方程組，采用迭代方法求解這個非線性方程組[3]。

1.1 雙列圓錐滾子軸承幾何要素及載荷

雙列圓錐滾子軸承在實際應用時有2種結構形式，即“面對面”和“背對背”結構。高速動車中的安裝形式采用“背對背”結構，本文建立了包含(5+3n)個自由度的軸承擬靜力學模型[13]，其中軸承內圈有5個自由度，每個軸承滾子有3個。該模型采用2個坐標系：固定在軸承外圈上的慣性坐標系oxyz，軸承中心為原點，見圖1，其單位矢量為ex、ey、ez。F0為沿z軸方向的預緊力；Fz為軸向力；Fx、Fy分別為沿軸承半徑方向的徑向力；Mx、My分別為繞x、y軸的傾覆力矩。

另一個是固定在軸承滾子上的滾子坐標系owxwywzw，滾子大端中心為原點，見圖2，其單位矢量為ewx、ewy、ewz。圖2中,ρwe、ρwi、ρwf分別是滾子與外圈、內圈和擋邊接觸點的位置矢量；α、β、θ分別是外圈、內圈和擋邊的接觸角；γ是中間接觸角；ε是滾子的半錐角。滾子坐標系相對于慣性坐標系的旋轉矩陣MRN為

( 1 )

式中：ψ為滾子相對于慣性坐標系x軸的方位角。

擬靜力學分析模型采用如下基本假設[14]：①軸承各部分結構的材料均為線彈性材料；②滾子輪廓和滾道輪廓均為直線；③忽略軸承內部的摩擦力和摩擦力矩；④忽略軸承保持架的影響；⑤軸承的外圈固定。雙列圓錐滾子軸承工作時，承受如下載荷(見圖1)：F0(為了保證負游隙Ga)，Fz、Fx、Fy，Mx、My。

滾子和內圈在外部載荷作用下會產生旋轉和平移運動，使得偏離其初始位置。在慣性坐標系中采用平移向量U和旋轉向量Φ為軸承內圈的位移

U=[ux,uy,uz]T

( 2 )

Φ=[φx,φy,0]T

( 3 )

式中：ux,、uy、uz、φx、φy分別為軸承內圈相對于慣性坐標系的線位移及角位移。

為描述軸承滾子在平衡時的位移，在滾子坐標系中采用平移向量Um及旋轉向量Φm表示

Um=[0,umy,umz]T

( 4 )

Φm=[φmx,0,0]T

( 5 )

式中：umy、umz、φmx分別為軸承滾子在滾子坐標系下的線位移與角位移；m為滾子所在位置，m=1為左側滾子，m=2為右側滾子。

1.2 圓錐滾子的受力特征及軸承平衡方程1.2.1 內圈接觸點位置矢量

慣性坐標系下內、外圈接觸點位置矢量見圖3。圖3中，ew和rw分別是軸承初始狀態下滾子坐標系原點到慣性坐標系y和z軸的距離，Re、Ri、Rf分別是外圈、內圈和擋邊與滾子的接觸點矢量，其表達式為

( 6 )

施加載荷后，內圈的平移矢量為

( 7 )

式中：“+”為左側內圈，“-”為右側內圈。

角位移φx、φy生成的旋轉矩陣MI為

( 8 )

( 9 )

1.2.2 滾子觸點位置矢量

軸承滾子變形之前，滾子與外圈、內圈和擋邊接觸點的位置矢量(圖2)在滾子坐標系中表示為

(10)

施加載荷后，滾子的平移矢量為

Λ=μmyewy+μmzewz

(11)

角位移φmx生成的旋轉矩陣MR為

(12)

因此，滾子變形后，其與外圈、內圈和擋邊接觸點的位置矢量為

(13)

1.2.3 各接觸點位置法線方向的形變和受力

如圖3所示，滾子坐標系原點ow的位置矢量為

Uw=rmcosψex+rmsinψey?ewez

(14)

式中:“-”為左側滾子；“+”為右側滾子。

內圈、外圈和擋邊接觸位置的單位法向量為

(15)

施加載荷后，軸承在外圈、內圈和擋邊各個接觸位置發生的形變可表示為

(16)

基于赫茲接觸理論，滾子與軸承內外圈的變形與接觸載荷關系的經驗公式為

(17)

式中：Q為滾子載荷；l為滾子長度。

滾子與檔邊是點接觸形式，其接觸載荷和變形的關系為[15]

(18)

1.2.4 軸承平衡方程

滾子受力圖見圖4，其中，Qe、Qi和Qf分別為給定位移條件下軸承滾子與外圈、內圈和擋邊接觸處的載荷；Fc為滾子的離心力；Tc為離心力形成的力矩；Tg為軸承滾子的陀螺力矩。滾子的離心力Fc為

(19)

式中：ρ為軸承滾動體的密度；V為軸承滾動體的體積；nm為軸承滾動體繞軸承軸線轉動時的速度；rg為軸承滾子重心相對應圓的半徑。

軸承滾子的陀螺力矩Tg為

(20)

式中：J為慣性矩；ωm為軸承滾動體繞軸承軸線轉動時的角速度；ωr為軸承滾動體繞自身軸線旋轉時的角速度。

如圖4所示，在滾子坐標系中滾子平衡方程可以表示為

(21)

式中：Te、Ti和Tf分別是外圈、內圈和擋邊接觸載荷在滾子坐標系中的力矩。

軸承的整體平衡方程在慣性坐標系表示為

(22)

式中：Qex、Qey、Qex分別為Qe在慣性坐標系中的分量；Tex、Tey分別為Qe慣性坐標系中形成的力矩分量；Z為單列滾子數。

1.3 軸承擬靜力學模型的求解

軸承擬靜力學計算流程見圖5。

為了快速求解擬靜力學平衡方程，基于符號運算工具包(SymPy) ，推導并化簡了軸承載荷計算公式，具體程序代碼可參考網址進行查看[16]。在此基礎上，利用數值分析工具包(NumPy, SciPy)求解該非線性平衡方程組，計算過程見圖5。在軸承結構和工況確定之后，設定軸承滾子及軸承內圈的初始位移，然后對滾子和軸承的力學平衡方程組進行迭代求解，直至獲得最終的收斂解。利用迭代計算求得的位移解，可以計算軸承內部的各種載荷，并將其應用于后續軸承壽命的計算。

2 軸承的疲勞壽命

當前主要有3種方法用于計算滾動軸承的額定壽命。方法一是基于ISO 281—2007標準的計算方法；方法二是基于次表層應力的Lundberg和Palmgren理論計算方法；方法三是改進的L-P理論計算方法。

2.1 ISO標準中滾子軸承的基本額定壽命計算

軸承疲勞壽命計算采用如下假設：①支撐軸承的套圈具有剛性特征；②軸承具有較低轉速時不考慮離心力及陀螺力矩；③軸承的內部游隙在軸承承受徑向載荷時認為是零；④針對名義接觸角，角接觸軸承被認為是常數；⑤對于滾子軸承，滾子和軸承滾道之間相互接觸，其間載荷認為是分布均勻的[17]。

依據ISO281—2007[18]，針對徑向滾子軸承，其基本額定動載荷為

(23)

式中：bm為經常使用的淬硬軸承鋼與良好的制造方法的額定系數[19]；fc為與軸承零部件的形狀、精度和材料特征相關的系數，其值由Dwecosα/Dpw查表確定；Dwe為軸承滾子的直徑，針對圓錐滾子而言，其值為滾子的大端與小端直徑和的一半；α為滾子軸承結構中的公稱接觸角；Dpw為軸承滾子結構的節圓直徑；i為軸承滾子的列數；Lwe為軸承滾子的實際有效作用長度；Z為軸承滾子的個數。

當軸承在保持定值的軸向載荷、徑向載荷的共同作用下，軸承的徑向當量動載荷為

Pr=XFr+YFa

(24)

針對基本的額定壽命，軸承的壽命[20]為

(25)

式中：L10為基本額定壽命，百萬轉。

2.2 L-P理論滾子軸承基本額定壽命計算

對于滾子軸承的滾道，額定的動載荷為

(26)

相對于承受的外部載荷來說，軸承的內圈是在做旋轉運動，內圈的當量載荷為

(27)

因此，軸承的內圈壽命為

(28)

外圈相對于軸承外部載荷處于靜止狀態，則外圈的當量載荷為

(29)

因此，軸承外圈的壽命為

(30)

綜上，計算的軸承的基本額定壽命為

(31)

修正之后的軸承額定壽命為

(32)

式中：修正系數bm可以基于軸承的類型進行考慮。

雙列圓錐滾子軸承的壽命計算為

(33)

式中：Lnm1、Lnm2分別為左側軸承、右側軸承修正之后的額定壽命。

上述軸承壽命計算方法過于嚴格，為簡化計算過程，針對剛性套圈中等轉速的滾子軸承Lundberg 和Palmgren提出了如下近似公式[20]

Qei=QmaxJ1

(34)

(35)

Qeo=QmaxJ2

(36)

(37)

2.3 改進的L-P方法中軸承的額定壽命

當軸承承受復合載荷時，即同時受到徑向力和彎矩等作用，導致軸承的內部載荷實際分布特征與標準中規定的分布特征出現偏差，同時也使得沿滾子長度方向的載荷產生偏載等。而L-P壽命公式未考慮以上偏差與偏載等對軸承壽命的影響。

Harris考慮軸承承受復合載荷時，軸承的內部載荷實際分布特征和周向的應力對軸承壽命的影響，根據軸承的額定動載荷方法，進一步將L-P方法做了深入研究。沿著軸承滾子的長度方向，把有效接觸長度值l的軸承滾道，劃分成T個小段[3]。考慮軸承滾道的切片，其疲勞壽命如下

(38)

式中：QC,k,m,t為軸承滾動體-滾道切片的基本額定動載荷；QE,k,m,t為位于同列的軸承滾道上面的當量接觸載荷值；t為切成的第t個片段；m=1為左側軸承，m=2為右側軸承。

(39)

式中：Dt為第t個切成片段的直徑；dpt為第t個切片軸承的節圓直徑。

針對轉動軸承內滾道

(40)

針對固定的軸承外滾道

(41)

滾道結構整體的壽命為

(42)

滾子-滾道相接觸的時候，考慮滾子薄片，其基本的額定動載荷(單位為106轉)為

qC,j,k,t=464(1?γ*)1.324(Δl)7/9Dt29/27

(43)

當軸承滾子與內外滾道相接觸，滾子薄片和滾道薄片的壽命計算方法相一致，軸承滾動體—內外圈滾道切片的疲勞壽命為

(44)

把軸承滾子的轉動數轉換成套圈的轉動數，當內圈轉動一周時，軸承滾子的轉動數N為

(45)

綜合滾子的壽命和內外滾道的壽命，雙列圓錐滾子軸承的整體壽命為[3]

(46)

3 高速動車軸箱軸承分析

某高速動車的軸箱軸承實際工作條件為：動車的單根軸重為17 t,通過計算得到軸承承受的徑向載荷值約等于95 kN，軸向載荷值約等于25 kN(該值根據軸載荷的15%計算得到)。雙列圓錐滾子軸承結構參數見表1。

表1 雙列圓錐滾子軸承結構參數[14]

3.1 軸承內部的載荷特征

滾子與內圈滾道、擋邊接觸載荷特征見圖6。

圖6的工況條件為：Fy=90 kN，Fz=25 kN，高速動車運行速度為250 km/h，軸承存在的負游隙值Ga，分別為0.10、0.15、0.20 mm。當軸承承受著相同的外部施加載荷時，軸承內部承受的接觸載荷值，隨著軸承自身負游隙值的增大而增大，導致軸承的額定承載值更加容易達到。同時，當軸承負游隙值增大時，處于軸承內部不同位置的滾子，與內圈擋邊及滾道的接觸載荷值的大小差異也變的越來越小，使得在軸承內部的各滾子承受的載荷分布更加均勻。

在列車不同速度下，第一列滾子與內圈滾道、擋邊接觸載荷特征，見圖7—圖9。單個滾子所受的離心力及滾子附加力矩和陀螺力矩。

圖7工況條件為：Fy=90 kN，Fz=25 kN，軸承負游隙值Ga=0.10 mm。在高速列車速度從50 km/h增加到250 km/h過程中，軸承滾子和內圈滾道在接觸時的最大載荷值僅僅增大了36.8 N, 軸承滾子和內圈擋邊在接觸時的最大載荷值僅僅增大了11.01 N。由圖8、圖9中可以發現，軸承滾子的離心力最大值為74 N，附加力矩的最大值為1.63 N·m。其與外載荷相比較，高速列車速度變化產生的離心效應，對軸承內部各滾子載荷特征的影響并不明顯，因此對于該動車軸箱軸承，采用靜力學模型即可達到分析要求。

3.2 ISO標準計算方法與L-P理論計算方法的對比分析

軸承壽命隨徑向、軸向載荷變化2種算法對比見圖10。

由圖10可見，當軸承的徑向與軸向載荷增大時，計算出的軸承壽命均在逐漸變小。當軸承載荷條件相同時，L-P理論計算較ISO標準算法得出的壽命值要小許多。原因之一是ISO標準算法中，沒有考慮到陀螺力矩和離心力的存在對軸承壽命的影響；其二是當給軸承施加軸向預載荷時，軸承的徑向游隙值會產生增大效應，增大的游隙值使得軸承內部各滾子的載荷分布情況發生較大變化，而ISO標準的計算算法中卻將軸承游隙值假定為零。由圖10還可以發現，基于以上2種計算方法所獲得的軸承壽命預測結果的差值，隨負游隙值的減小而變的越來越小，隨載荷的減小而變的越來越大。

3.3 L-P理論計算方法與改進的L-P理論計算方法對比分析

軸承壽命隨徑向、軸向荷載變化中，L-P方法與改進L-P方法對比見圖11。

由圖11可以看到，2種計算方法中，軸承壽命均隨軸承承受的徑向與軸向載荷值的變大而逐漸減小。改進的L-P方法比L-P方法計算得到的軸承壽命結果要小，是因為其在計算過程中將滾動體的壽命作了考慮。改進的L-P方法分析得到的軸承壽命結果大約是L-P理論計算結果的45%，并且這個比值不會隨著軸承載荷大小和游隙值的變化而改變，其原因是這2種計算方法采用的都是軸承內部的載荷特征，當游隙變化導致載荷分布發生變化時，對2種方法產生的影響是相同的。

通過以上分析可知，采用不同的方法計算軸承疲勞壽命，結果差異較大。軸承在真實的工作環境中，往往承受著復合載荷，如徑向載荷與彎矩等，這要求實際研究時建立合適的軸承力學模型，同時采用改進的L-P理論去計算軸承的疲勞壽命特征，能夠更全面、準確地預測軸承實際工作時的疲勞壽命。

4 結論

(1) 本研究建立了包含(5+3n)個自由度的高速動車雙列圓錐滾子軸承的擬靜力學模型，獲得了軸承在不同游隙值與不同運行速度下的內部載荷分布情況。軸承的內部載荷值隨著軸承負游隙值的增大而增大；當列車運行速度發生變化時，軸承內部的載荷分布情況變化不大。

(2) 比較ISO標準方法與L-P理論方法的計算結果，前者因未考慮軸承的離心效應與游隙等因素，使得利用ISO標準方法計算出的軸承壽命比利用L-P理論計算的軸承壽命值要大；同時，2種計算方法所得壽命結果的差異隨著軸承游隙值的減小而逐漸減小。

(3) 比較L-P理論方法與改進的L-P理論方法的計算結果，后者在計算過程中考慮了滾動體帶來的影響，使得計算得到的軸承壽命值最小；同時，當軸承的游隙值發生變化時，2種計算方法計算結果的比值并不會隨著改變。