高速鐵路動態定價與票額分配協同優化研究

秦 進，吳旋科，徐 彥，王 煜，屈文萱，曾藝佳

(1. 中南大學 交通運輸工程學院， 湖南 長沙 410075；2. 軌道交通大數據湖南省重點實驗室， 湖南 長沙 410075;3. 中國國家鐵路集團有限公司 客運部, 北京 100844；4. 中國鐵道科學研究院集團有限公司 電子計算研究所, 北京 100081)

我國目前擁有全世界最大規模的高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)運營網絡，且高鐵已成為我國鐵路旅客運輸的主力。2018年全路完成旅客發送量33.7億人次，其中動車組完成20.05億人次，占旅客總數的近60%[1]。盡管高鐵已經成為旅客出行的一種主要交通方式，但是相對航空、汽運等旅客運輸方式，其市場化經營水平仍明顯落后，尤其是高鐵客票票價的制定，仍是按照 “固定費率，遞遠遞減”原則進行設置，未能充分考慮旅客出行特征等實際情況，而且缺乏科學靈活的市場化調整機制。在固定費率票價制下，所有高鐵列車在相同區段上的票價完全一致，導致部分車次車票供不應求和部分車次客座率低下的情況同時存在，嚴重影響了高鐵服務水平和企業效益的提高。

國務院2015年在推進價格機制改革時，將鐵路行業作為價格改革的重點，要求堅持市場決定、推進價格改革。2016年獲得高鐵自主定價權后，中國鐵路開始探索高鐵票價市場化方向，如2017年4月首次大規模調整(提高)東南沿海高鐵票價，2018年對開行動臥執行不同日期不同定價等。這些改革實踐為下一步高鐵票價全面市場化積累了有益的經驗和真實的數據。總之，在國家大力推進供給側改革的大背景下，面向高鐵市場的旅客出行需求規律，優化高鐵客票定價策略，在均衡動車組運能利用率的同時提高企業效益，已成為我國高鐵現階段發展中亟待解決的關鍵問題。

發達國家的民航、長途汽車和酒店等服務行業，廣泛應用基于收益管理的經營策略，實現了服務水平和效益的雙贏。收益管理思想的核心，就是根據客戶不同的需求特征和價格彈性，向客戶執行不同的價格標準。文獻[2]提出了基于市場競爭的航班收益管理動態定價模型；文獻[3]基于馬爾科夫決策過程，研究了相同起終點可替代航班的收益管理定價問題；文獻[4]考慮旅客支付意愿，研究了不同席位等級的航空隨機動態定價問題；文獻[5]研究了雙艙航空的動態定價問題，通過模型求解確定不同等級席位數量以及最優價格。文獻[2-5]都是針對航空動態定價問題展開，但由于航空與鐵路的服務模式存在差異，其成果并不能直接用于鐵路動態定價問題。鐵路運輸相比航空運輸涉及的停站數量更多，運輸能力更大，導致高鐵動態定價問題相對航空定價復雜很多。文獻[6]借鑒航空收益管理，對已有的鐵路客運與貨運收益管理模型與方法展開綜述，分析了不同方法之間的差異，并指出未來的研究方向，但未能給出具體的模型及算法；文獻[7]研究了基于不確定需求的商品動態定價問題，提出不確定需求預測模型，但一般商品的存量可調節，而鐵路列車席位數量相對固定，因此該方法并不直接適用于鐵路動態定價問題。

在鐵路定價領域，文獻[8]率先研究了我國鐵路動態票價最優策略和實用性問題，并給出遞推公式；文獻[9]考慮市場競爭以及旅客的選擇行為，探討了雙層規劃模型在制定鐵路票價問題中應用的合理性；文獻[10]以時間敏感性、價格敏感性以及出發時段偏好為依據，在對旅客進行分類的基礎上，研究了同一OD間兩列平行車次的動態定價問題；文獻[11]以京滬高鐵為例，考慮不同交通方式的競爭特性，基于Logit模型分析收入與票價之間的關系，提出收益優化的票價范圍。在鐵路票額領域，文獻[12]根據旅客選擇行為的不同影響因素，進行客運市場劃分，以期望出行成本作為基準，以最大化運輸企業收入為目標，利用前景理論構建彈性需求下的高速鐵路差異化定價模型；文獻[13]提出基于用戶平衡分析的鐵路票額分配計劃制定及評價方法；文獻[14]探究了票價制定與席位存量及需求之間的關系，建立了高鐵座位存量與差別定價聯合決策模型；文獻[15]提出在單一票價下，多列車多停站方案的票額分配方法。文獻[8-15]針對票價或票額進行單項優化研究，而對票價票額綜合優化的研究較少。也有學者對票價及票額進行綜合優化研究，并取得了階段性成果。文獻[16-17]研究了多交通方式競爭下的票價及票額綜合優化問題，并采用人工蜂群算法對模型進行求解，模型求解基于啟發式算法而未能提出明確的、可供遵循的定價規律；文獻[18]研究了需求波動條件下、不同時段下的票價及票額綜合優化問題，但僅研究了單列車的情況，未考慮多列車情況下旅客的選擇行為。

針對上述問題，本文基于歷史售票數據，針對旅客在預售期不同時段的出行需求特征與旅客在多列車之間的選擇行為，基于單一票價下高鐵客票數據，預測全預售期的高鐵客流分布規律，在此基礎上，通過對高鐵預售期進行時段劃分，以期望收益最大化為目標提出動態定價與票額分配協同優化模型，通過設計分步解析算法對模型進行求解。

1 變量定義與假設

本文所研究的問題可描述如下：給定高鐵線路，根據歷史售票數據，分析預售期不同時段客流需求變化規律，劃分高鐵預售期時段，并預測動態定價下高鐵客流需求，以期望收益最大化為目標，為各個時段不同列車的各個OD制定合理的票價與票額分配方案。

建立數學模型時，做出如下合理假設：

(1) 列車開行方案已經給定且不能改變。

(2) 所有高鐵動車組定員數量保持一致。

(3) 為鼓勵旅客提前購票，隨著列車發車時刻的臨近，高鐵票價只升不降。

(4) 在相同條件下，優先發售長途車票。

(5) 不考慮列車席位等級以及預售期票額超售問題。

(6) 不考慮旅客中轉換乘及退票等情況。

定義變量如下：

2 模型構建

2.1 彈性客流函數

客流是鐵路旅客運輸組織的基礎，是動態定價與票額分配的重要依據。根據一般性，客流往往隨著出行成本的變化而波動，即客流可以認為是關于票價的彈性函數。首先構造彈性需求函數，基于歷史售票數據的統計結果，預測不同票價水平下任意OD對之間的客流，然后通過效用函數將客流分配至列車。

r∈Rs∈Sk∈{1,2,…,T}

( 1 )

式中：ω為時間費用轉換參數。

根據當前客票統計，獲得任意區段(r,s)在當前票價水平下的基準客流量Qrs，則單一票價下在區段(r,s)上的彈性客流需求為[20]

qrs=Qrs·exp(-ηcrs)r∈Rs∈S

( 2 )

( 3 )

式中：η為彈性系；crs為高鐵出行平均費用，元。

r∈Rs∈Sk∈{1,2,…,T}

( 4 )

式中：θ為換算參數。

r∈Rs∈Sk∈{1,2,…,T}

( 5 )

式中：F(t)為購票量累積分布函數。

2.2 數學模型

( 6 )

( 7 )

以期望收益最大化為目標，構建多列車多時段的高速鐵路動態定價及票額分配協同優化模型為

( 8 )

s.t.

?(r,s) ?h,k∈{1,2,…,T}

( 9 )

?(r,s) ?h,k∈{2,…,T}

(10)

?h,m∈{1，2,…,L}

(11)

式( 8 )以時段票價和票額分配為決策變量，以期望客票總收益最大化構建目標函數；式( 9 )為票價上下限約束；式(10)表示臨近發車不降價約束；式(11)表示考慮區間重疊的列車最小區段能力約束。

3 求解算法

本文提出的高鐵動態票價與票額分配優化模型為非線性混合整數規劃問題，難以使用精確算法對模型進行精確求解。根據鐵路多區段運輸的特性以及上述優化模型的特點，提出一種分步求解算法對上述問題進行求解：

首先基于Logit模型預測票價變動后的期望客流量，建立收益函數，以票價為自變量，通過對收益函數極大值的推導計算，確定當前時段最優票價；然后根據當前時段的最優票價預測各OD期望客流，最后考慮不同出行OD的區間重疊問題，以人公里數最大為原則，通過票額預分、短途套用以及席位復用等方式，確定任意時段不同列車各OD的票額分配。

3.1 票價決策

在高速鐵路動態定價模型中，列車需滿足臨近發車不降價約束，單列車以期望收益最大化為目標進行時段票價決策

(12)

s.t.

?(r,s)k∈{2,…,T}

(13)

式(13)表示臨近發車不降價約束。

由期望售票量的定義

(14)

令列車期望收益最大化，則取

(15)

將式( 1 )～式( 5 )代入式(15)，得

(16)

(17)

式中：e0為某列優化列車以外其他列車的效用總和。

將式(17)代入式(16)得

(18)

(19)

式(19)中，Rhrs(·)對票價求偏導，得

(20)

(21)

在式(21)中，當列車數量n的取值較大時

(22)

將式(22)代入式(21)得

(23)

對式(23)經恒等變換得到朗伯W函數為

(24)

根據文獻[22]，式(24)的解可以表示為

(25)

式中：W1為朗伯W函數。

最優票價為

(26)

則列車h在第k時段的票價決策為

(27)

3.2 票額分配

各列車各時段的票價確定后，根據式( 1 )～式( 5 )可以計算得到各列車各時段的期望客流量，考慮不同列車不同OD旅客存在購票時序的先后問題，為保障列車長途能力不被過早裂解，以人公里數最大為原則，確定各時段的票額分配，并優先發售長途車票。

3.2.1 預售期前T-1個時段

列車h在第k時段票額分配總量為

k∈{1，2,…,T-1}

(28)

式(28)表示為兼顧不同時段旅客的購票公平，以列車h在時段k的期望客流占全預售期客流總量的比例，從列車能力中劃分同等比例的席位作為當前時段的票額分配總量。

借鑒文獻[13]中的分類思想，根據票額分配中票源的不同，可以將票額分為票額分配票源和短途套用票源。

(1) 票額分配票源

k∈{1，2,…,T-1}}

(29)

(2) 短途套用票源

m∈{1，2,…,L}k∈{1，2,…,T-1}

(r,s)≠(1,L+1)}

(30)

s.t.

(31)

式(30)為列車最小區段的最小需求量；式(31)為第k時段短途套用票源需滿足當前時段的剩余票額約束。

3.2.2 預售期第T時段

由于預售期前T-1個時段售出的車票均以全程席位直接售出，或以短途拼接全程席位售出，故剩余席位也為全程席位，則預售期前T-1個時段的剩余票額即為時段T的可發售票額為

(32)

由于當前時段為最后一個預售時段，為達到收益最大化，當前時段不設票額限制，當前時段的票額即為列車剩余席位能力。

3.3 算法步驟

算法具體步驟如下：

Step1設置模型參數：預售期時段總數T、預售期D、線路區段數L、列車數n、列車能力C、上限票價以及下限票價。

Step5票額分配：若k

Step6計算模型總收益R，若Rmax

Step7輸出列車票價及票額優化方案。

4 算例分析

以京滬高鐵上行列車動態定價為例，某一時段內共有4趟上行列車，共涉及7個區段，8個停站，列車停站方案見圖1，列車能力C=1 015，預售期天數D=30，Logit模型參數借鑒文獻[16]進行取值：票價敏感度參數θ=0.012，時間效用轉換參數ω=36，彈性系數η=0.04[20]，各列車各OD以現行二等座票價為基礎，上下浮動15%。

對京滬高鐵線2016年8月至2017年7月歷史售票數據使用指數分布擬合方法，統計得到高鐵列車預售期內上海—北京的售票強度隨預售期天數變化規律，對其采用得到售票強度的概率分布函數，見圖2。

(33)

則截至預售期第t天的累積購票強度函數為

(34)

根據歷史售票數據統計預售期內售票量隨時間的累計強度分布規律，利用特征識別法，將預售期劃分為6個時段，見圖3。

在單一票價下各列車票價、運行時間以及客流數據見表1～表3。

表1 單一票價下列車各OD票價 元

以表1為基準票價，表3為客流數據，求得單一票價下的收益為2 100 422元。

考慮各OD不同列車的票價及行程時間等因素對旅客出行選擇行為的影響，采用提出的動態票價與票額分配協同優化方法，首先基于Logit模型進行客流預測，然后根據式(26)～式(27)對列車各OD不同時段進行票價優化，最終根據式(28)～式(32)得到各OD不同列車不同時段的票額分配方案，通過優化計算，在相同原始客流數據下，模型所得優化方案的總收益為2 204 436元，較單一票價下收益增長4.95%。

由于本文涉及OD數量多，不便全部提供，此處以上海—南京，上海—北京以及南京—北京3個共同區段為例，各列車票價及票額分配方案的計算結果見表4，表4中總收益欄為列車包含所有OD的總收益水平；G2列車上海—北京區段在預售期第V時段達到上限票價；G12、G14列車上海—北京區段在預售期第Ⅵ時段達到上限票價。

在預售期初期，旅客的票價敏感性較高，降價銷售可以吸引客流。表4中，列車各區段票價隨時段的增加而增長；其中，G2、G14相比G12、G24的停站少，可服務的出行區段少，其主要面向大站到發旅客，因此在初期時段的三個相同區段上，其票價均低于G12、G24同期水平，這樣有利于G2、G14優先吸引大站到發客流；而在預售期后期，旅客的時間敏感性增強，相比于票價水平，旅客會更關注出行的時間成本，因此表4中，在預售期后期，即使G2、G14同區段票價高于G12、G24，客流量依然高于G12、G24。

表2 列車各OD運行時間(G12/G14/G2/G24) h

表3 單一票價下列車各OD日客流量(G12/G14/G2/G24) 人次

表4 列車部分OD票價及票額分配方案

續表4 列車部分OD票價及票額分配方案

表5 G12客流時段需求量 人次

以G12為例，對比了動態定價和單一定價下，列車各時段的客流需求量見表5。同單一定價相比，在動態定價下，預售期初期的客流需求量上升，后期下降，購票需求期存在前移的趨勢。出現上述情況的原因在于，在預售期初期，動態定價的票價下浮低于基準，能吸引更多旅客提前訂票，而使后期購票數量有所減少；而在預售期最后時段，由于解除了票額限制，列車席位更多地向短途旅客開放，同時相比于全程票達到上限票價，短途票價浮動水平相對較低，從而引起短途購票數量的增加。

以上海—北京區段各列車各時段的票價水平為例，分析不同列車在不同時段的票價水平及漲幅規律見圖4。

列車時段票價的增長速率受客流需求量的影響。圖4中，雖然G2和G14在預售期初期票價較低，但票價增長率高，并分別在預售期的第21天和第25天，票價依次超過G24和G12，結合表4中各列車的客流數據可知，列車票價的增長速率與列車客流量的大小呈正相關。

根據求得的動態定價及票額分配方案，由表6可知，在動態定價方案下，各OD客流需求量表現出不同的波動情況，且總客流需求量呈現下降趨勢，但降幅極小，僅為0.73%。

表6 動態票價下各OD客流需求增量 人次

從發送量來看，客流需求量下降的主要在于上海的客流發送量下降，而其他站點的客流發送量有不同程度增加；從到達量來看，客流需求量下降主要表現為北京的到達客流量下降；綜合對比發現，總客流需求量下降的主要體現在上海—北京區段客流需求減少，由此表明在單一票價下，上海—北京的票價水平相對較低，原始客流需求量偏大，結合圖4可知，在預售期最后時段，G12、G14和G2均達到上限票價，同樣表明上海—北京區段漲價有利于收益提高。

表7 列車區段客座率

在求得的動態定價及票額分配方案中，表7列舉了各列車的區段客座率。結合表6和表7可知，雖然在動態定價方案下，客流需求總量下降，但各列車的區段客座率依然處于較高水平，最低仍達到0.779(G24，上海—無錫)，超過0.9的列車區段占比達到68%，這表明模型求得的動態定價方案并不會因為漲價而過度壓縮客流需求，從而造成列車席位能力浪費。表7中，停站數量最多的G24，列車客座率最低，但停站數量最少的G2，列車客座率并非最高。結合表3不同列車各OD的客流數據可知，G24較G2增加小站停車帶來的客流增量，不足以彌補大站到發的客流損失，列車的整體客流量減少，客座率降低；另外，客流需求量少又會導致列車票價增長變緩，最終導致表4中G24總體收益水平不高；而G14較G2增加了濟南西停站，增加濟南到發客流量的同時，通過價格手段，最大限度降低了上海-南京、上海-北京以及南京-北京的客流損失，列車的總客流量增加，使得G14在客座率提升的同時，總收益水平也達到最高。

5 結論

( 1 ) 研究基于收益管理理論，考慮旅客出行的價格需求彈性，以全部列車期望收益最大化為目標，建立多列車多時段的動態定價與票額分配協同優化模型，設計分步求解算法對模型進行求解，并以京滬高鐵為例進行計算和分析。

( 2 ) 相比于固定票價，考慮旅客在不同列車之間選擇行為的動態定價方法，能在保證不降低服務水平的前提下，有效提高鐵路運輸企業的客票總收益水平，較固定費率制票價，其客流需求下降0.73%，但客票總收益增長4.95%。

( 3 ) 在動態定價機制下，在預售期初期，旅客的票價敏感性較高，降價銷售可以吸引客流，但在預售期后期，旅客的時間敏感性更強，相比于票價水平，旅客會更關注出行的時間成本。

( 4 ) 下一步還可以繼續研究更加開放性的高鐵動態定價策略，包括考慮取消票價與發車時間限制的問題，以及高速鐵路動態定價與停站方案聯合優化等。另外，對于模型中參數的取值，未來需要結合具體研究對象特征進行重新標定。