圓錐曲線中的定性問題探討

劉英杰

摘?要：圓錐曲線內容是高中解析幾何知識板塊中的重要構成部分，圓錐曲線既有簡潔優美的圖像又有簡練的代數形式，是數形結合思想的完美體現，同時圓錐曲線還具備在物理學上非常重要的光學性質。三類曲線各具個性特征，同時又有內在的統一。曲線中的定性問題體現了動與靜的統一，變與不變的相對關系.本文著重探討拋物線中的一類定性問題。

關鍵詞：高中數學;拋物線;圓錐曲線定性問題

拋物線知識作為圓錐曲線的一個重要知識板塊，即和橢圓、雙曲線有著內在的統一，也有自己的獨特個性。比如涉及拋物線的焦點弦問題，可以挖掘出很多穩定的性質。在學習中如果注意思考，很多簡單的例題都是發現這些定性的極佳切入點。

例1.在平面直角坐標系xoy中，直線過點C（2，0）且與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，且有A（x1，y1），B（x2，y2）。試探討能否找到與y軸平行的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為一確定的值？若能找到，求出該直線的方程，若找不到，請說明理由。

解答：設有直線l：x=m滿足題干條件，由已知線段AC的中點E（x1+22，y12），AC=（x1-2）2+y12，因此以AC為直徑的圓的半徑為：r=12AC=12（x1-2）2+y12=12x12+4，點E到直線x=m的距離為d=|x1+22-m|，即直線被圓所截弦長為：

2r2-d2=214（x12+4）-（x1+22-m）2

=-4（1-m）x1+8m-4m2

只需取1-m=0也就是m=1時，弦長為2（定值），這時直線x=1即為所求定直線。

通過本例我們發現，以AC為直徑的動圓在定直線x=1上截得的弦長為定值，這個現象是偶然的嗎？我們來類比一條大家比較熟悉的拋物線的性質“在拋物線中，以焦半徑為直徑的圓和拋物線在頂點處的切線相切”下面給出這條性質的證明。

例2.設拋物線方程為C：y2=2px，F為拋物線的焦點，A（x1，y1）是C上任一點。

求證：以AF為直徑的圓與y軸相切。

證明：由已知：焦點F的坐標為（p2，0），由焦半徑公式可知：AF=x1+p2，AF為直徑的圓的圓心為線段AF的中點其坐標為（x12+p4，y12），所以圓心到y軸距離：d=x12+p4=12AF，圓心到y軸距離恰為圓的半徑，所以AF為直徑的圓與y軸相切。

將上面的例2和例1進行對比，發現在例2中的y軸（x=0）相當于例1中的定直線x=1，只不過因為F點的特殊身份（恰為焦點）導致這個背景下的動圓與定直線y軸是相切關系（相當于固定弦長為0）。

由此我試著去猜想：在以拋物線的對稱軸上任意一定點和拋物線上的一個動點的連線段為直徑的圓都會和某一條垂直于對稱軸的定直線保持所截得的的弦長為定值嗎？

接下來對這一想法做出探討和證明。

例3.設拋物線方程為C：y2=2px，點C（m，0）為x軸上一定點，A（x1，y1）是C上任一點。

探討：是不是存在一條平行于縱軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為確定的值呢？若存在求出這一定直線的表達式，若不存在，請說明理由。

證明：設有直線l：x=n滿足題干條件，由已知可得AC的中點E（x1+m2，y12），AC=（x1-m）2+y12，所以以AC為直徑的圓的半徑為r=12AC=12（x1-m）2+y12=12x12+m2+2（p-m）x1，易求得點E到直線x=n的距離為d=|x1+m2-n|，因此直線被圓所截弦長為：

2r2-d2=214x12+14m2+12（p-m）x1-（x1+m2-n）2

=2（n+p2-m）x1+nm-n2

取n+p2-m=0也就是n=m-p2時，弦長為：2nm-n2（定值），所以直線為x=m-p2為要求定直線。

這樣，我們便把拋物線中這一類，“以拋物線對稱軸上的定點和其上的動點連線段為直徑的圓存在相關定直線，使動圓在該直線上所截得的弦長為定值”的問題，做出了一般化的推廣和證明。這種“動中有定，變中有恒”的規律，正式圓錐曲線的奧妙之處。

參考文獻：

[1]黃衛平.與有心圓錐曲線頂切線相關的定性問題[J].中學數學研究，2014（10）：25.

[2]馬海俊.圓錐曲線中的共性問題[J].高中生學習：高三理科，2015（1）：22-23.

基金項目：本文系2018度河北省“三三三人才”人才資助項目課題《生涯規劃在數學課堂中的滲透》成果，項目編號：A201803084