高超聲速飛行器底層性能評價指標的可行性分析

2020-04-15 09:39:42朱鴻緒劉燕斌曹瑞陸宇平湯佳駿衣春輪

航空學報 2020年3期

朱鴻緒，劉燕斌，曹瑞，陸宇平，湯佳駿，衣春輪

1. 南京航空航天大學自動化學院，南京 211106 2. 南京航空航天大學航天學院，南京 210016 3. 北京航空航天大學虛擬現實技術與系統國家重點實驗室，北京 100083

高超聲速飛行器的強耦合性、強不確定性、飛行環境復雜和強非線性等特點，對控制性能提出了很高的要求[1]。若缺乏有效的控制性能評價，則可能會導致嚴重的后果，例如美國X-43A驗證機的首次試飛失控是由于不確定性超出控制系統穩定性邊界[2]。控制性能評價不但可以輔助控制系統設計，提高控制性能，進而有效地降低故障發生率[3]，而且還能在飛行器研制初期彌補實物仿真周期長、成本高的缺陷。因此，面向實際飛行任務，合理地評價高超聲速飛行器的控制性能具有極為重要的意義。

高超聲速飛行器的控制性能評價包括兩部分：分析飛行任務對控制性能提出的要求和制定合適的評價方法。目前，對于控制性能要求的研究已取得很大的進展。文獻[4]計算了下一代高超聲速運輸機再入段顫振邊界并分析了穩定性，為控制系統的設計提出了明確的要求。文獻[5]提出了高超聲速飛行器再入段飛行品質分析的標準化框架，可用于多種類型高超聲速飛行器多個飛行階段的飛行品質分析。文獻[6]研究了輸入飽和及帶寬限制下的閉環性能邊界問題，對合理的飛行任務規劃具有重要的意義。根據性能要求設計控制器[7-8]及優化飛行器[9]等工作正在同步展開。此外，控制性能評價方法的研究目前也取得一定進展，文獻[10]基于層次化分析的思想，結合定性分析和定量評估，提出了制導與姿態控制性能綜合評估驗證系統的框架。文獻[11]在文獻[10]提出的層次分析基礎上，將其和熵值法相結合進行定量的性能評估，進一步提高評價結果的可信度。

需要指出的是，目前高超聲速飛行器控制性能評價的研究主要集中于評價方法的建立，對評價方法的有效性驗證缺乏足夠的重視。從現有研究成果可以看出，研究者更關注評價指標體系的建立和底層指標權值的賦予，卻忽略了以下幾個問題：底層指標是否能夠完全涵蓋飛行任務要求？參數不確定性的攝動是否會造成底層指標評價結果變化過于劇烈？為此，本文提出了檢驗底層指標合理性的分析方法，并設計了適合高超聲速飛行器的分析流程。

為了判斷底層指標是否可用于控制性能評價，需要確立底層評價指標和任務要求之間的映射關系，這是可行性分析的難點之一。底層指標應該是飛行任務執行之前可以測量或估計的參數，由于飛行器閉環模型的復雜性和不確定性，底層指標到任務要求的映射并不一定能夠解析表示。運用近似解析的方法研究高超聲速飛行器運動特性在巡航段和無動力再入段已經取得了一定的進展[12-13]，但若要將其推廣到更為一般的飛行任務，還有諸多技術問題需要解決。相比之下，應用統計實驗分析的方法揭示映射關系，不但適合一般飛行任務，而且操作相對簡單。基礎的統計實驗分析是借助仿真實驗獲得包含任務性能和對應底層指標的數據集，進而利用擬合等數值方法分析映射關系。定量刻畫映射規律是分析的難點所在，需要用到各種數據處理方法，機器學習是其中的一類代表。機器學習在系統科學中的應用主要是基于實驗數據學習系統的內部規律，它可以在樣本數據集內對映射關系進行較高準確率的擬合，目前已經在飛行器的相關研究中取得良好的成果。文獻[14]構建貝葉斯最優網絡估計高超聲速飛行器動壓和氣動加熱模型。文獻[15]結合貝葉斯優化與深度高斯過程預測空天飛行器非平穩超參數。然而，不論是機器學習還是其他方法，基于數據的分析由于缺乏物理可解釋性等原因，一直被認為是復雜系統研究的輔助工具，暫時難以在工程應用中實現大范圍推廣。在解析法可用的條件下，應該優先選擇解析法求取底層評價指標到任務要求的映射關系。

本文首先針對高超聲速飛行器的模型特性進行分析，從運動模態、飛行約束和不確定性3個方面說明了高超聲速飛行器和常規飛行器的差異。考慮到常規飛行器的性能評價方法可能不適用于高超聲速飛行器，本文提出底層指標應滿足的要求，將問題轉化為研究從任務變量到底層評價指標的映射。進一步，針對可能存在的映射關系難以給出解析形式的情形，本文首先提出了一種統計實驗分析的方法。然后，基于高超聲速飛行器的特點，拓展了統計實驗分析方法的功能，并以此為基礎，設計了適合高超聲速飛行器的底層指標評價可行性的分析流程，進而將阻尼頻率特性用于高超聲速飛行器靜穩定性評價的可行性分析作為示例，展示了流程的設計步驟。然后，將分析方法拓寬到特定飛行任務，提出時域性能指標的可行性檢驗方法。最后，設計仿真實驗驗證頻域指標評價靜態性能的可行性，得到和軍標MIL-F-8785C[16]一致的結論。

1 高超聲速飛行器模型特性分析

在常規飛行領域，已經形成了包括飛行品質規范在內的完整開環/閉環性能評價體系。然而常規飛行器的性能評價方法不一定適用于高超聲速飛行器，這是因為兩者在結構外形、飛行空域、是否有人駕駛、運動模態組成以及不確定性來源與影響上都存在較大的差異。為了合理地評價高超聲速飛行器的控制性能，不斷有新的評價方法被提出。無論是何種評價方法，都要立足于高超聲速飛行器本身，分析包括本體的穩定性和配平能力，以及在不穩定的條件下判別所設計控制系統的好壞。因此，高超聲速飛行器的模型特性分析是必不可少的，在建立控制性能評價方法時，需要重點考慮其與常規飛行器的差異。本文將從模態特性、飛行約束以及不確定性3個方面闡述高超聲速飛行器模型的獨特之處。

1.1 縱向模態特性

根據定義可知，劃分高超聲速飛行器和常規飛行器的基準是飛行馬赫數，高超聲速飛行器要求飛行馬赫數達到5以上。更高的速域造成兩者在模態特性上存在較大的差異。高超聲速飛行器除了沉浮模態和短周期模態以外，還多出一個額外的高度模態[17]。高度模態由高度變化引入，是一種非周期性的運動模態。對于低速飛行器，由于其高度變化相對緩慢，因此高度模態在常規飛行器的研究中是被忽略的。高度模態對高超聲速飛行器的速度和高度響應產生較大的影響，因此是不可忽略的。常規飛行器的飛行品質規范僅對短周期模態和沉浮模態做出要求，從高度模態的角度而言，這種評價方法至少是需要補充的。

事實上，就算是高超聲速飛行器和常規飛行器共有的沉浮模態，不同速域下其模態特性也不盡相同。沉浮模態的主要影響因素是高度和速度，而常規飛行器的沉浮模態僅需考慮速度的影響。這是因為低速飛行時，空氣的壓縮效應不夠明顯，而且由于高度變化比較緩慢，大氣密度梯度也可以不用考慮。在這種條件下，高超聲速飛行器是否仍然可以采用常規飛行器的評價方法，需要進一步討論。

1.2 飛行約束

相比常規飛行器，高超聲速飛行器需要考慮更多更復雜的約束，包括動壓約束、熱流約束、過載約束、迎角約束、執行機構約束，等等。這些約束里，有一部分屬于高超聲速飛行器所特有，比如迎角約束；另一部分雖然兩者都考慮，但方式是不一樣的，比如執行機構約束。

本文所討論的高超聲速飛行器為吸氣式高超聲速飛行器，其推進系統為超燃沖壓發動機。它使得高超聲速飛行器具有推進-氣動耦合的特點。具體來說，迎角會影響進氣道內氣體流動，進而影響發動機的工況；而超燃沖壓發動機的燃氣尾流膨脹波除了提供推力，還將產生升力或者俯仰力矩，這樣又會反過來影響飛行狀態。為了避免進氣道未起動，高超聲速飛行器的迎角需要維持在一定范圍內，即所謂的迎角約束。

高超聲速飛行器的縱向控制機構包括升降舵和油門，通常將升降舵偏轉角δe和燃油當量比φ作為控制輸入。由于高超聲速飛行器的飛行包線大，當飛行高度很高時，升降舵的效能下降很明顯。因此，無論是設計飛行軌跡還是控制器，都要預留一定的控制裕度，防止升降舵偏轉飽和。此外，文獻[18]還指出，為防止超燃沖壓發動機的熱壅塞，油門的開度需要維持在容許的范圍內。

高超聲速飛行器在加速爬升和再入的過程中，存在強烈的大氣壓縮及機體摩擦，使得飛行器的表面溫度會很高。與此同時，大氣壓也會對飛行器的外形產生影響。為了保證飛行器在爬升和再入過程中機體不受損壞，必須對的動壓、熱流率、過載做一定的約束。動壓約束是具有上下界的，其上界是由飛行器表面防熱材料決定的，其下界則取決于發動機進氣道起動的要求。熱流密度應維持在飛行器表面溫度不超過防熱材料允許的范圍。過載約束則是為了保證高超聲速飛行器的布局結構不被破壞。

綜上，高超聲速飛行器的飛行約束是相當復雜的，它和常規飛行器存在明顯的差異。常規飛行器的評價體系并不能完全用于對高超聲速飛行器的評價。

1.3 不確定性

高超聲速飛行器的另一顯著特點是具有強不確定性，它會影響狀態觀測、性能預判以及飛行約束。不確定性根據其來源包括但不限于以下幾類，即未建模不確定性，模型結構不確定性、數值不確定性和模型參數不確定性。未建模不確定性是指人們對于物理原理本身存在認識上的欠缺，在建模時難以考慮，從而造成模型和實際系統的偏差，例如，高超聲速飛行器在氣體流動方面還存在物理原理的認知缺乏，部分動態特性在模型中沒有得到體現。模型結構不確定性指的是建模過程中，出于簡化的目的，提出一些近似假設，從而造成所建立的模型和真實系統的偏差，例如，為設計線性控制器，對高超聲速飛行器非線性系統進行線性化處理，所得到的線性系統就存在模型結構不確定性。數值不確定性包括數值計算中的誤差以及人為因素導致的取值偏差，例如，高超聲速飛行器存在輸入飽和約束，當控制輸入的理論值超出執行器范圍時，實際輸入會和理論輸入產生偏差，引入數值不確定性。模型參數不確定性的來源包括精確數據或相關模型參數的缺乏，例如，由于缺乏相關氣動數據，高超聲速飛行器的氣動參數就存在模型參數不確定性。

需要注意的是，當采用給定的評價方法分析高超聲速飛行器開環或閉環性能時，因為存在強不確定性，評價結果可能會受到干擾。如何克服強不確定性的影響，也是建立評價方法需要考慮的問題。

1.4 底層指標可行性的表述

高超聲速飛行器的模型特性分析表明，常規飛行器的性能評價方法可能未必適用于高超聲速飛行器。在引入新的性能評價方法的同時，需要分析其可行性。完整的高超聲速飛行器控制性能評價體系需要考慮比常規飛行器更多的底層性能指標，根據實際任務需求，對底層指標進行加權，得到頂層評價指標。頂層指標因為任務不同而對底層指標的側重有所不同，本文對此不做討論，重點研究底層性能評價指標的有效性。合適的底層評價指標應滿足以下兩點：

1) 完全覆蓋：底層指標應完全覆蓋高超聲速飛行器包括飛行約束在內的各項控制性能。

2) 抗不確定性擾動：所選擇的底層指標受不確定性的干擾應盡可能小。

底層評價指標直接采用任務要求固然是一種思路，但必須要注意的是，這一做法存在多個問題。首先，不同的高超聲速飛行任務有不同側重點，在設計飛行器的初期，甚至在結構外形尚未確定的情況下，將復雜的要求一一考慮是不現實的，此時設計者希望參考一些和系統相關的指標，包括阻尼頻率特性、超調量和時延特性等。其二，任務執行情況在進行飛行實驗之前是未知的，將其作為底層評價指標就失去了預估的初衷。

2 底層指標的可行性分析

為分析底層指標對于高超聲速飛行器控制性能的評價可行性，本節提出一種研究思路：建立高超聲速飛行器的飛行任務性能到底層評價指標的映射，將可行性分析轉化為對于映射的分析，如果該映射可以滿足雙映射檢驗，那么底層評價指標是有效的，下面將說明這一思路的合理性。

2.1 雙映射檢驗方法

第1節指出，如果底層評價指標是可行的，那么它首先需要滿足完全覆蓋控制性能這一要求。假設飛行任務對n個線性無關變量的取值做出要求，稱該任務為n元任務。高超聲速飛行器是強耦合、具有不確定性的非線性系統。假定任務對某些飛行狀態變量(如速度、高度、迎角等)做出要求，這些變量之間雖然存在耦合關系，但在滿足小擾動假設時可以進行線性化或分段線性化處理[19]。如果線性化后得到的狀態特征矩陣是非奇異的，這時，每個狀態變量都不能由其他狀態變量線性表出，那么狀態變量就滿足線性無關假設。記這n個狀態變量張成的線性空間Πn=span(W1,W2,…,Wn)，其中Wi(i=1,2,…,n)表示任務變量。對應的，記底層評價指標張成的線性空間為Λl=span(I1,I2,…,Il)，其中Ii(i=1,2,…,l)表示底層評價指標。于是，可以得到底層評價指標完全覆蓋高超聲速飛行器的控制性能要求的數學表述，即底層評價指標空間Λl可以通過某種映射l，形成包含n元任務變量空間Πn的線性空間Π。

從包含與被包含角度來說，評價指標的維度l一定不小于任務變量的維度n，而對于線性映射，評價指標和任務變量同維是可以做到的。假設映射l具有連續性，根據拓撲同胚的觀點[20]，在所有l個底層評價指標中，總存在n個底層評價指標組合張成的線性空間Λn=span(Iλ1,Iλ2,…,Iλn)，與n元任務線性空間Πn線性同構,其中Iλi(i=1,2,…，n)是n個線性無關的底層評價指標的線性組合。這樣，n元任務理論上只需要n個線性無關的底層評價指標即可。本文主要考慮底層評價指標和任務變量維度一致的情形，此時，如果從任務變量空間到底層指標空間的映射(從底層指標空間到任務變量空間的映射亦可)為雙映射，那么底層指標確實涵蓋了高超聲速飛行器的各項任務性能。當底層評價指標的維度大于任務變量時，可采用機器學習等數據處理方法擬合映射關系，再檢驗映射是否為滿足完全覆蓋和抗不確定性擾動條件。

如1.4節所述，底層評價指標還應該滿足抗不確定性擾動的要求。這需要分析不確定性對映射的影響。如果映射關系可通過解析表達式明確給出，那么只需檢驗映射是否雙映射以及是否病態即可。然而，映射關系可能很難寫成解析形式。考慮到實際問題中，任務變量、控制律參數以及底層評價指標的取值集合都是緊集，即取值范圍是可以度量的，于是本文采用一種統計實驗分析的方法來判斷映射是否為雙映射。在提出檢驗方法之前，首先給出下述定理。

定理給定映射f:x→y,x∈σ,y∈Σ，σ和Σ分別是定義域和值域。σa是定義域σ的同維子集，記σa的補集為σb，且有f:σa→Σa，f:σb→Σb。若對于任意σa，都滿足:

(1)

則f:σ→Σ是雙映射。這里V(*)表示高維空間中封閉區域的體積。

證明根據雙映射的定義，同時滿足單映射和滿映射即為雙映射，因此分2步證明。

1) 因為Σ是值域，所以f:x→y,x∈σ是滿映射。

2) 令Σa∩Σb=Σx，η=V(Σx)/V(Σ)。對于任意x1,x2∈σ，x1≠x2，存在σa，使得x1∈σa,x2∈σb。因為η≡0且η=V(Σx)/V(Σb)，所以Σx=?，即f(x2)?Σa。而f(x1)∈Σa，所以f(x1)≠f(x2)。這樣f:x→y,x∈σ是單映射。

綜上，f:σ→Σ是雙映射。

為了方便理解上述定理，圖1給出了二維向量空間映射的示意圖。定理可表述為，如果線性空間中任意兩個不存在交集的區域，映射后仍不存在交集，那么映射是雙映射。定理證明中的η表示Σa和Σb重疊部分Σx占Σ的比重，特別地，如果用樣本點來估計定義域σ中全體點的行為，η可用如下方法計算：

(2)

式中：nx為落在重疊部分實驗點的數目；nt為內實驗點的總數。關于η的物理意義，可以從二分類問題的角度來考慮：記σa中實驗點為正例，σb中實驗點為反例，由于某種原因需要依據映射后Σ區域內實驗點的分布來預測正反例，σa中實驗點經過映射后，形成包絡Σa，對于任何落在Σa內的實驗點都預測為正例，這樣，存在部分真實為反例的實驗點被錯誤預測，η就代表預測錯誤的實驗點在全體實驗點中的占比，即錯誤率[21]。

圖1 二維線性空間情形下的定理示意圖Fig.1 Application of theorem in two-dimensional linear space

錯誤率η不僅反映了是否雙映射，還反映了映射抗不確定性擾動的能力。雙映射應滿足一一對應的要求，而不確定性的介入，使得定義域子集σa內的實驗點經過映射后，與其補集σb內的實驗點的混雜程度提高，即錯誤率η增大。若這種混雜程度越高，那么底層指標對于參數不確定性越敏感。因此，可以通過上述定理設計分析底層評價指標可行性的雙映射檢驗方法。

這里還存在一個問題：定理中要求σa是定義域中的“任意”同維子集，如何滿足“任意”這一條件。本文采用的解決思路如下：將定義域隨機劃分為若干子集，每次在其中選取部分子集構成σa，剩余子集構成σb，進行一次檢驗，每次檢驗完成后重新選擇σa和σb進行新一輪檢驗，如此重復多次。從理論上分析，劃分的子集越小，重復檢驗的次數越多，結果的真實性越高，但實際應用中需要考慮計算成本以及σa和σb的物理含義，并不是重復實驗次數越多越好。需要注意的是，只有每次統計實驗的結果都能得到η?1，才認為通過可行性分析；只要出現實驗結果得不到η?1，就認為沒有通過可行性分析。這里η?1是定性分析的要求，定量實驗中的判別準則需要指定錯誤率容許上界ε，可借鑒統計學中顯著性檢驗的思路：選擇0.05作為錯誤率的容許上界，η<0.05表明雙映射檢驗出現錯誤的可能性低于5%，屬于小概率事件。

綜上所述，針對復雜的映射關系是否雙映射，可設計如下統計實驗分析方法。

步驟1 選取變量可行域σ1，其補集即不可行域σ2。這里所說的可行域指的是定義域內滿足任務要求的部分。

步驟2 在定義域σ內隨機均勻選擇nt個實驗點，落在σ1內的實驗點個數記為n1，落在σ2內的實驗點個數記為n2。

步驟3 將所有nt個實驗點映射到值域Σ，根據σ1內實驗點映射到Σ上的分布，繪制這n1個實驗點的包絡，此即σ1映射后形成的區域Σ1，統計σ2內實驗點映射后落在Σ1的數目nx，則η=nx/nt。

步驟4 若η>ε，分析停止，未通過可行性分析；否則，重新選取變量可行域，重復步驟1～步驟3，直到循環次數達到事先設定的上限。

特別說明，如果f:σ→Σ是不連續映射，那么σ1映射后形成的Σ1可能由多個不連通的區域組成。此外，如果維度大于3，則無法通過可視化方法看到定義域和值域。

2.2 可行性分析流程設計

為將2.1節提出的控制性能評價的可行性分析方法更好地與高超聲速飛行器結合，需要針對高超聲速飛行器的特點設計相應的分析流程。

考慮高超聲速飛行器縱向平面內的二維運動，控制輸入包括升降舵偏轉角δe和燃油當量比φ，質心運動方程可表示為

(3)

式中：m為質心質量；v為速度；γ為軌跡角；h為高度；α為迎角；q為俯仰角速率；Iyy為轉動慣量；T為推力；D為阻力；L為升力;M為俯仰力矩。

針對在平衡點處線性化得到的線性模型，設計全狀態反饋控制器，實現高度、速度指令的良好跟蹤。工程實際中迎角α和軌跡角γ的測量存在困難，但文獻[22-23]已對α和γ的重構做出深入的研究，提出了可行的重構方法，因此本文研究中假設所有狀態全部可測并可用于狀態反饋。狀態空間方程為

(4)

動態模型僅僅是系統的簡化數學表示，因此不確定性的存在是不可避免的。本文主要討論模型參數不確定性，它包括氣動不確定性、狀態測量的不確定性、慣性因素引起的不確定性以及大氣密度的不確定性。考慮模型參數不確定性的線性系統狀態空間方程可表示為

(5)

式中：u*為配平狀態的輸入。

根據式(5)可以推斷，參數不確定性會直接影響控制輸入，從而導致任務變量到底層評價指標的映射發生變動。在參數不確定性的攝動下，底層指標的評價結果會呈現一定的隨機性，若底層指標對參數不確定性攝動過于敏感，則對應的評價方法不合適。為分析參數不確定性的影響，需要將映射關系按是否可解析分為2種情形：當映射關系存在解析形式時，可采用解析方法分析底層指標對于參數不確定性的敏感程度；當映射關系難以解析分析時，可采用2.1節提出的錯誤率檢驗，從數值的角度分析不確定性的干擾。

基于上述討論，可以設計總體分析流程，如圖2所示。整體流程分為2個階段，第1階段為初始化，根據高超聲速飛行器的飛行任務需求，結合任務變量之間的耦合關系，將任務要求提煉出n個線性無關的任務變量，并給定對應的取值范圍；設置控制律參數，以達到不同級別的任務要求；確定底層控制性能評價指標，選擇用于可行性分析的n個底層指標；設置統計實驗分析中容許的錯誤率上界以及循環次數。

流程的第2階段為雙映射檢驗，f為從任務變量線性空間Πn到底層評價指標線性空間Λn的映射。首先判斷f是否存在確定的解析形式。如果存在顯式解析表達式，那么無論是雙映射關系還是不確定性擾動分析都可用解析方法確定。反之，如果映射關系很難寫成解析形式，那么需要通過數值方法先建立任務變量空間到底層指標空間的映射f。具體方法是，調節控制律參數，進行飛行仿真實驗，記錄任務變量信息和底層評價指標信息，經過大量的飛行仿真實驗，可構筑任務變量和底層指標的數值對應關系。在此基礎上，即可采用2.1節提出的統計實驗方法判斷是否為雙映射，以及映射對不確定性造成的參數擾動的敏感程度，依據η和ε的相對大小關系確定控制性能評價的底層指標是否可用于高超聲速飛行器指定任務的評價。

圖2 分析流程設計Fig.2 Flowchart of analysis

2.3 傳統評價指標的可行性分析

本文選擇高超聲速飛行器的靜穩定度和受擾后的升降舵總偏轉角為任務變量，討論阻尼頻率特性能否作為靜態性能評價的底層指標。

高超聲速飛行器多數是靜不穩定的，其開環飛行品質往往并不理想[15]，可以考慮加入增穩系統作為控制器以滿足任務要求。本節的任務變量，靜穩定度SM和升降舵偏轉角δe是線性無關的變量，為匹配任務變量，底層評價指標的維度應設置為2，選擇阻尼頻率特性中的短周期自然頻率ωnsp和短周期阻尼比ξnsp作為底層評價指標。采用縱向比例式增穩系統，選取俯仰角速率q和迎角α作為反饋信息。小擾動情形下的升降舵面偏轉滿足:

dδe=-Kqdq-Kαdα

(6)

式中：Kq和Kα為反饋增益，即控制律參數。

高超聲速飛行器本體的靜穩定度和隨迎角變化的俯仰力矩有關，俯仰力矩對迎角的偏導數為

(7)

結合式(6)和式(7)，可得到加入控制器后的高超聲速飛行器俯仰力矩對迎角的偏導數：

(8)

式中：下標“δ”表示對升降舵偏轉角的偏導數；下標“aug”表示增穩系統。

根據靜穩定度的定義，在忽略次要項的條件下，增穩后高超聲速飛行器的靜穩定度可近似寫成

(9)

升降舵偏轉角可分解為平衡點處配平舵偏和擾動情形下的舵面偏轉，其表達式為

δe=δe, trim-Kqdq-Kαdα

(10)

式中：下標“trim”表示配平狀態。

綜合上述分析，控制律參數到任務變量的映射f′-1關系可表示為

(11)

在小擾動情形下，該映射為線性映射，進一步，若矩陣A′非奇異，則該映射為雙映射，最終得到其逆映射f′為雙映射。下面檢驗不確定性對控制律參數的擾動幅度。

考慮不確定性對映射f′的影響，記不確定性干擾下的系數矩陣為A′+ΔA′，任務變量為b，則不確定性對映射的影響可轉化為線性方程組(A′+ΔA′)K=b-B′和A′K=b-B′-ΔB′解的差異性分析，即線性方程組解的擾動分析。通過計算線性方程組的條件數κ(A′)，分析解的穩定性，即可了解不確定性對控制律參數的攝動。條件數的表達式為

(12)

(13)

給定容許的相對誤差范圍，可通過式(13)確定條件數κ(A′)的判定范圍。

本節考慮的底層評價指標是閉環系統頻域指標，其求取方法可以參考常規飛機飛行品質評價中的等效系統法[25]。等效系統法包括頻域等效擬配和時域等效擬配。在指定的頻段內，受同樣的外界激勵，若存在某確定形式的低階系統(LOES)和原高階系統(HOS)表現出近乎一致的頻率響應特性，則此低階系統是高階系統的頻域低階等效系統。本文中底層指標的求解過程如下：首先，根據狀態空間方程式(5)得到狀態變量[α,q]T關于控制輸入δe的閉環傳遞函數；然后采用頻域等效擬配的方法可得底層指標[ωnsp,ξnsp]T。為了保持俯仰姿態和縱向軌跡之間的動態關系，采用俯仰角速率q和迎角α雙擬配。為了保證等效阻尼頻率特性的可行度，需要對等效擬配的結果進行驗證，驗證工作包括以下2點：

1) 失配度≤25代表擬配結果較好，失配度≤50代表擬配結果可接受[26]。

2) 高階系統和低階系統的幅值、相角差值都在失配包線[25]內。

由此可見，控制律參數到底層指標的映射ft比較復雜，ft的雙映射檢驗應采用統計實驗分析。

2.4 特定飛行任務評價的可行性分析

對于特定的高超聲速飛行任務，如高度、速度指令跟蹤，目前缺乏詳細完整的控制性能評價方法。由于缺乏常規飛行器那樣大量的飛行實驗數據，考核指標的量化、融合還停留在探索階段，并未形成規范。此外，高超聲速飛行器具有速度快、飛行包線大的特點，不同飛行階段對控制性能的要求也呈現較大差異。因此，現有的研究僅對飛行任務變量提出要求(例如執行打擊任務的高超聲速飛行器存在終端約束)，并未規定底層評價指標的精確范圍。本文以高度、速度指令跟蹤為特定飛行任務，以傳統時域性能評價指標為底層評價指標，展示評價的可行性分析流程。

本文控制系統的選擇參考文獻[27-28]給出的LQR控制器，其控制律的表達式為

Δu=u*-KxLxL-Krr

(14)

評價指標的維度應不小于任務變量的維度，而為了便于雙映射分析，底層評價指標應盡可能選取統一的維度。從控制系統結構的角度來看，它是比例-積分控制架構，而從信息融合的角度來看，它包含飛行狀態、跟蹤誤差以及軌跡的實時信息，應將系統響應的快速性、準確性、穩定性納入考核指標。可選用的一組時域評價指標[εv,εh,εα,ess,v,ess,h,ess,α,ts,v,ts,h,ts,α]T，其中ε、ess、ts分別表示飛行器在工作點附近，對階躍指令信號響應的超調量、穩態誤差和收斂時間，下標v、h和α分別對應速度、高度和迎角。

任務變量到底層評價指標的映射f很難解析表示，只能采用統計實驗分析的方法進行雙映射檢驗。因為維數較高，無法應用可視化方法確定可行域和不可行域內的點，可采用以下方法：首先確定可行域中樣本點映射到值域中的位置，在此基礎上確定映射后的可行域頂點位置，依據頂點坐標擬合出近似的超平面，若不可行域內的實驗點映射到值域中所有超平面向內的一側，則統計該類型的實驗點，且該類型點在全體實驗點中的比率即錯誤率η。從上述步驟可以看出，隨著數據維度提高，雙映射檢驗分析底層指標可行性的效率顯著下降。

3 仿真分析

軍標MIL-F-8785C認為，對于飛行器本體或加入增穩系統的閉環系統，其靜態性能應滿足一定的阻尼頻率特性要求。本節將對2.3節實例進行仿真，以檢驗阻尼頻率特性是否可以作為高超聲速飛行器閉環系統靜態性能的評價指標。選擇Bolender和Doman的高超聲速飛行器模型[29]作為實驗對象，設置巡航高度為25 908 m，馬赫數為8。迎角、俯仰角速率擾動分別設置為Δα=0.026 18 rad、Δq=0.052 36 rad/s，允許的錯誤率上界為5%。限定控制律參數的取值范圍Kα∈[-3.2,-0.8],Kq∈[-4,0]。不確定性因子對應的拉偏范圍見表1，拉偏范圍參考文獻[30]。各不確定性因子在對應的拉偏范圍內，以標稱值為中心，隨機生成服從正態分布的不確定性組合。

表1 不確定性因子拉偏范圍Table 1 Perturbation range of uncertainty factor

首先分析從任務變量到控制律參數的映射f′，給定參數下映射f′中矩陣A′的標稱值為

控制律參數到底層評價指標的映射f的檢驗需要基于數據分析，本文統計實驗分析方法要求選取不同的任務變量可行域進行多次重復實驗，這里列舉其中4次任務變量要求，如表2所示。

每次實驗在任務變量取值域內隨機均勻選取500個實驗點，經過f′映射后，在控制律參數線性空間Ω內實驗點的包絡形成控制律參數的定義域，滿足任務變量要求的實驗點的包絡形成可行域，其補集即不可行域。控制律參數定義域內的實驗點都對應于一個閉環系統，經過頻域等效擬配，可得到對應的等效阻尼頻率特性。而在進行統計實驗分析之前，需要先驗證等效擬配的合理性。仿真結果顯示，低階等效系統和原系統具有相近的頻率響應特性。選取第一輪循環的一組反饋增益Kα=-2,Kq=-1.5為例，頻率響應對比如圖3所示，失配包線檢驗如圖4所示。

表2 重復實驗的任務變量要求

等效擬配的合理性確保對映射ft進行統計實驗分析的可執行性。控制律參數定義域內實驗點的分布如圖5所示，可行域σ1內的點用圓圈表示，不可行域σ2內的點用叉表示。這里的可行域指的是滿足任務要求的控制律參數的取值域，不可行域指的是控制律參數定義域內可行域的補集。本文忽略執行器的執行能力，僅討論控制系統是否在理論上具有實現任務要求的可能性。通過對具有不確定性的參數按表1的要求進行拉偏，獲得控制律參數映射到底層指標線性空間的實驗點分布，如圖6所示。繪制可行域σ1映射后形成的區域Σ1，并統計實驗點的分布如表3所示。結合圖6和表3可以看出，每輪分析結果均顯示錯誤率η<0.05，這表明從控制律參數到底層評價指標的映射ft近似為雙映射，且底層指標對參數不確定性的攝動不敏感。