微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合姿態控制方法

侯曉磊，周康博，劉 勇，潘 泉

(西北工業大學自動化學院，西安 710072)

0 引 言

微型固體推進器陣列是一種近年來在皮納衛星位姿控制中常用的新型推進器，具有體積小、重量輕、推力大、功耗低等特點[1-3]。微型固體推進器陣列的控制精度取決于單個推進器單元的推力大小，而整體推進能力取決于推進器的單元推力及陣列規模。當單個推進器推力較大時，姿態控制精度將無法保證；而推進器推力較小時，在完成大角度機動或多次機動任務中，需要的推進器規模龐大，難以達到功耗、質量以及體積等方面的限制。因此單獨采用微型固體推進器陣列進行姿態控制無法滿足很多實際飛行任務的需求。

為充分利用微型固體推進器的優勢，需探索與其他姿態控制器聯合的組合姿態控制方法。Vatankhahghadim和Damaren[4]提出的一種以脈沖動力作為輔助控制用以消除純磁控[5-8]的增益局限和逐點不可控問題。本文以此為基礎，通過設計優化點火模型并設置微型固體推進器陣列補償控制時間，對聯合控制算法進行改進，針對大角速度阻尼問題和大角度姿態捕獲問題，提出了以磁力矩器作為主執行器，以微型固體推進器陣列作為輔助控制執行器的皮納衛星姿態聯合控制算法[9-11]。本文所提算法充分利用微型固體推進器陣列大推力的特點，將微型固體推進器陣列作為高機動狀態下的速度控制以及磁控能力較弱時的姿態輔助控制，在保證衛星姿態控制精度的前提下，提高了姿態控制的響應速度，擴大了控制器在不同空間環境條件下的適用性。

1 優化點火模型

為輸出參考控制力矩而對指定位置的推進單元進行點火的組合點火算法是基于固體脈沖式推進器陣列的皮納衛星的姿態控制系統的核心問題。本文采用0-1規劃[12]建立微型固體推進器陣列優化點火模型，并解決推進器陣列的組合選擇問題。

圖1 衛星表面陣列配置示意圖Fig.1 Distribution of MEMS solid propellant thruster array on satellite surface

本文采用解耦方法，按照相對的兩個陣列為一組的方式將6個推力器陣列分為3組，按照力偶的形式提供控制沖量矩，且要求每組力偶僅在一軸的方向上產生作用，每個面上微型固體微推進器陣列形心與所在衛星表面形心相重合。表1給出了三組控制量的分配方式。

以Z軸控制為例介紹點火方案。圖2為10×10的A面微型固體推進器陣列，相鄰兩個推進器之間的距離均為lmin，分別沿Y軸正方向和Z軸負方向將點火點編號，每個推進器為單粒裝藥。根據表1結果，A面陣列控制星體系Z軸方向，以中軸線為界將陣列分為兩部分，圖2中6～10列控制Z軸正方向，1～5列控制Z軸負方向。為了避免產生通過星體質心的推力，應使C面點火點與A面的點火點同排，使得產生的力偶方向與Z軸方向重合。

表1 控制量分配表Table 1 Control allocation

圖2 A面陣列控制方向示意圖Fig.2 Attitude control via A-side

在此前提下，提出了微型固體推進器陣列優化點火模型設計：

1) 使用的推進器組合數量最少。

2) 同行不同列的推進器的優先級相同。

3) 同列不同行的推進器的優先級取決于該行剩余推進器數量。剩余數量越多，優先級越高。

下文以X軸為例介紹微型固體推進器陣列優化點火算法。

(1)

(2)

(3)

根據上述定義，第k次點火后的狀態矩陣表示為：

(4)

定義Sk為第k次點火時的目標函數，滿足上述約束條件，則微型固體推進器陣列優化點火模型目標函數為：

(5)

式中:|x|表示向量x中元素的個數。

綜上，微型固體推進器陣列的優化點火問題可以描述為：

i∈[1,N]，j∈[1,N]

(6)

上述問題是典型的0/1規劃問題，由于計算機性能限制，為簡化計算，本文采用貪心算法[15]進行模型求解，即可得到具體的推進器組合。

2 微型固體推進器陣列補償控制時間設置

由于磁力矩器輸出力矩在軌道中不同位置的差異導致采用純磁力矩器的皮納衛星姿態控制系統在特定軌道時間內存在控制能力缺陷，導致姿態控制響應慢、指向精度差等問題。在磁力矩器控制能力較差的軌道時間內，采用微型固體推進器陣列進行補償控制，可以有效的提高皮納衛星在此時段內的控制能力，從而保證姿態控制響應速度以及指向精度。

本文通過計算小時間窗的寬度Δt跨越總旅行時間的可控性來評估皮納衛星姿態控制系統中磁力矩器的控制性能。

(7)

Wj若是非奇異的，則系統是可控的。Wj的值主要根據軌道傾角以及軌道高度的不同產生變化。通過確定該矩陣的最小特征值到達每軌的局部最小值來選擇微型固體推進器陣列進行補償控制的時間。

圖3 Gramian矩陣的最小特征值[4]Fig.3 The minimum eigenvalue of Gramian matrix

3 速度阻尼聯合控制律設計

3.1 控制律設計流程圖

根據微型固體推進器陣列以及磁力矩器各自的力矩輸出特點，在皮納衛星聯合速度阻尼控制過程中，首先利用微型固體推進器陣列的大機動能力，使衛星角速度狀態迅速變化到既定閾值以內，再根據B-dot控制律[16]利用磁力矩器進行微調，此外，在磁力矩器控制能力較弱的區域，利用微型固體推進器進行補償控制，從而大幅度提高控制響應速度、縮短控制周期。微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合速度阻尼控制流程如圖4所示。

圖4 微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合速度阻尼控制流程圖Fig.4 Flow chart of joint velocity damping control for MEMS solid propellant thruster array and magnetic torquer

3.2 微型固體推進器陣列大角速度阻尼控制律

3.3 微型固體推進器陣列輔助速度阻尼控制律

作用在衛星上的總力矩由磁力矩器輸出力矩和微型固體推進器陣列的輸出力矩共同輸出，假設微型固體推進器陣列作用時間為tk，k∈{1,2,…,M}。忽略其他干擾力矩，衛星的動力學方程為：

(8)

用δ(t-tk)描述微型固體推進器陣列用以描述脈沖輸出的特性，因此選取衛星相對于慣性系的旋轉能量作為Lyapunov函數V(x)，可以表示為：

(9)

(10)

忽略其他干擾力矩，作用于星體上的力矩全部由磁力矩器和推進器產生，則式可以整理為：

(11)

(12)

式中:S(ε)為斜對稱矩陣，表示為:

(13)

綜上，則連續/脈沖混合系統速度阻尼控制律為：

(14)

4 基于混合系統模型的姿態捕獲聯合控制律設計

4.1 控制律設計流程圖

在皮納衛星進行姿態捕獲過程中，由于微推進器陣列無法避免空間環境力矩干擾，且控制精度有限，因此仍采用磁力矩器作為主要執行器，而微型固體推進器陣列作為輔助執行器；在磁力矩器控制能力較弱時，則采用連續/脈沖結合的聯合控制方案增強控制性能，從而縮短姿態捕獲周期，提高控制精度。微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合姿態捕獲控制流程如圖5所示。

圖5 微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合姿態捕獲控制流程圖Fig.5 Flow chart of joint attitude acquisition control for MEMS solid propellant thruster array and magnetic torquer

4.2 姿態捕獲聯合控制律設計

1)連續/脈沖的混合系統模型

對于一個連續/脈沖的混合系統，脈沖施加在tk，tk∈N時刻，可以表示為y=ζhu，其中，u={uc(t),udk}同時包含連續和離散的控制輸入，同理，y={yc(t),ydk}同時包含連續和離散系統的輸出。假設uc和yc,udk和ydk分別具有相同的維數。

設初始狀態量x(t0)=x0，可以得到在t≠tk的連續函數表達式為

(15)

同理，得到在t=tk的離散函數表達式為：

(16)

式中:x(t):R+→Rn×1為狀態矢量，uc(t):R+→Rmc×1和udk:N+→Rmd×1為控制輸入，yc(t):R+→Rmc×1和ydk:R+→Rmd×1為控制輸出。且連續狀態空間函數Ac，Bc，Cc和Dc以及離散狀態空間函數Adk，Bdk，Cdk和Ddk維數相同。

根據姿態運動學和動力學方程，得到如下所示的混合系統的線性模型

(17)

2)控制律設計與證明

系統輸入表示為：

(18)

令P=[P1,P2]，將系統輸入帶入混合系統線性模型，得到：

(19)

(20)

(21)

為了方便討論，令

k∈{1,2,…,M}，t∈[tk-1,tk)

(22)

若矩陣Ψk對所有k

5 仿真校驗

不考慮其他干擾力矩的影響，衛星軌道高度為682 km，軌道傾角為97°，慣性矩陣J=diag(1.5×10-1,1.8×10-1,1.1×10-1) kg·m2，初始姿態角為[60°, 60°, 60°]，磁力矩器最大輸出磁矩0.2 Am2，固體微推進器單位推力為42.6 N·m。

5.1 速度阻尼聯合控制律校驗

根據初始角速度大小，設計兩組仿真對比實驗。磁控增益系數矩陣K1=diag(1.2×105,1.2×105,1.2×105)，控制律為K2=diag(0.91×10-2,1.08×10-2,0.62×10-2)。大角速度阻尼實驗的初始角速度為[5 °/s, 5 °/s, 5 °/s]，小角速度阻尼實驗的初始角速度為[1 °/s, 1 °/s, 1 °/s]。

大角速度阻尼實驗結果如圖6 (a)、(b)所示，微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合速度阻尼方法的穩定周期為1602 s，1752 s和1643 s，后控制精度可以達到5×10-3°/s, 0.017°/s和0.013°/s。由仿真結果可以看出，聯合控制方法所需的角速度收斂時間與輸出磁矩明顯低于其他傳統算法；輔助控制方法的角速度收斂速度和所需的輸出磁矩在290 s之后三軸角速度的收斂速度都明顯快于純磁控方法，所需磁矩也明顯降低。從表2中結果可以看出，微型固體推進器陣列共進行了3次點火，三軸消耗的推進器數量分別為12，15和7。

純磁控方法三軸穩定周期為3045 s，3815 s和3351 s，三軸穩定精度為0.015 °/s，0.013 °/s和8×10-3°/s。對比表明，聯合控制方法相較于傳統磁控方法在相同的控制精度的前提下，控制角速度周期縮短了48%，54%和51%，且大幅度降低了振蕩幅度；同時降低了系統的能量輸出。

表2 大角速度聯合阻尼控制微型固體推進器陣列點火位置表Table 2 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array under large angular velocity using joint velocity damping control

純微型固體推進器陣列控制雖能快速降低衛星旋轉，但是控制精度受限于本身推進器的性能以及敏感器誤差。仿真結果顯示其三軸控制精度僅有0.3325°/s，0.2823°/s和0.3143°/s，無法滿足實際任務需求和姿態捕獲任務的初始精度要求，且可靠性無法得以保證。

圖6 大角速度阻尼Fig.6 Large angular velocity damping

圖7 小角速度阻尼Fig.7 Small angular velocity damping

本文同時對只采用微型固體推進器陣列輔助控制的方案進行驗證，其控制精度與純磁控方法以及聯合控制方法相近，約為0.011°/s,0.012°/s和0.015°/s。控制時長處于兩者之間，約為2103 s，2245 s和1986 s。表3中結果表明，微型固體推進器陣列共進行了4次點火，三軸消耗的推進器數量分別為5，15和7對，略小于聯合控制所需要的微推進器數量。

小角速度阻尼實驗結果如圖7 (a)、(b)所示，純磁控方法角速度控制周期平均約為3102 s，而聯合控制方法周期平均僅有722 s，相比純磁控方法提高了76.72%。表4結果表明，聯合控制方法僅需兩次脈沖，三軸共消耗4對微推進器陣列。因此在初始角速度較小時，在保證控制精度相同的前提下，聯合控制律僅需消耗較少的微推進器組合，能有效縮短控制周期，降低振蕩幅度。

表3 大角速度輔助阻尼控制微型固體推進器陣列點火位置表Table 3 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array under large angular velocity using auxiliary velocity damping control

綜上所述，微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合速度阻尼控制方法在保證角速度的精度的前提下，能夠有效縮短控制周期，同時降低系統的振蕩幅度。

表4 小角度微型固體推進器陣列點火位置表Table 4 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array under small angel

5.2 姿態捕獲聯合控制律校驗

將本文提出的聯合控制方法與傳統的純磁控方法以及純微型固體推進器陣列控制方法進行比較。旋轉角速度為[0.05°/s, 0.05°/s, 0.05°/s]。純磁控方法角速度增益系數矩陣為K1=diag(3.11×102,3.11×102,3.11×102)，歐拉角增益系數矩陣為K2=K2/1000；微型固體推進器陣列控制角速度增益矩陣為Kmspt1=diag(2×10-2,2×10-2,2×10-2)。歐拉角增益系數矩陣為Kmspt2=Kmspt1/1000。仿真結果如圖8所示。

圖8(a)是四種控制算法的角速度曲線圖，其中微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合姿態控制方法的姿態穩定周期為5466 s，6165 s和6435 s。20 000 s后，歐拉角控制精度可以達到0.3°,0.2°和0.4°，角速度控制精度可達0.8×10-3°/s，1.1×10-3°/s和2×10-3°/s。與純磁控方法相比，聯合控制方法中三軸所需的輸出磁矩明顯降低。從表5中結果可以看出，微型固體推進器陣列共進行了5次點火，三軸消耗的推進器數量分別為9，15和14對。

圖8 姿態捕獲控制Fig.8 Attitude acquisition control

相比而言，純磁控方法達到上述姿態穩定精度時需要16 874 s，17 923 s和18 567 s，因此微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合捕獲控制的效率相比于該算法三軸分別提高約208%，191%和188%，從而大大縮短捕獲周期。20 000 s后，聯合控制方法平均角速度控制精度為1.3×10-3°/s，相比純磁控方法的5×10-3°/s提高了約2.3倍。對比表明，聯合控制方法相較與傳統磁控方法在相同的控制精度的前提下，能有效縮短姿態控制周期，降低振蕩幅度，節省系統輸出能量。

純微型固體推進器陣列控制所需要的推進器數量為70，35和100對，遠多于聯合控制方法所用推進器數量，其歐拉角和角速度的穩定精度分別為8°和1.3°/s。另外，Z軸角速度曲線一直處于持續振蕩，直至所有推進器耗光，可靠性無法得以保證，因此無法滿足對地指向和對地通信等實際任務需求。

綜上所述，微型固體推進器陣列與磁力矩器聯合姿態捕獲控制方法在保證角速度與歐拉角精度的前提下，能夠有效縮短控制周期，同時降低系統的振蕩幅度，從而驗證該算法的有效性。

表5 姿態捕獲控制微型固體推進器陣列點火位置表Table 5 Ignition position of MEMS solid propellant thruster array using attitude acquisition control

6 結 論

本文針對皮納衛星姿態控制系統中采用純磁控方法與純微型固體推進器陣列控制方法中存在的問題，提出了同時采用兩種執行機構的皮納衛星姿態聯合控制算法，并利用Lyapunov穩定性理論證明了算法的穩定性。仿真結果表明，相較于傳統的純磁控方法，所提姿態聯合控制算法能夠有效提高控制精度，大幅度縮短控制周期。由于微型固體推進器陣列和磁力矩器均具有質量輕，功耗低，且價格低廉等優點，因而這種聯合控制方法在低成本高精度的皮納衛星姿態控制系統具有良好的發展前景。