高超聲速飛行器的抗飽和切換控制

劉田禾，安 昊，王常虹

(哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱150001)

0 引 言

高超聲速飛行器主要指飛行速度馬赫數在5以上的飛行器。該類飛行器具有飛行速度快、飛行空域廣、作戰距離長等特點，自問世以來就得到了各個航空航天大國的重視[1]。隨著電子技術、超燃沖壓發動機、復合材料學等高新科技相繼取得重大突破，高超聲速飛行器的制導控制、氣動布局、熱防護等關鍵技術的研究也有了長足的進展[2]。根據所使用的動力系統不同，高超聲速飛行器主要分為火箭助推式和吸氣式。其中，吸氣式高超聲速飛行器主要依靠超燃沖壓發動機作為動力，具有結構簡單、維護方便、有效載荷高等優點，是目前國內外的研究重點[3]。

高超聲速飛行器的動力學特性帶有的強非線性、飛行器模型中存在的不確定參數以及飛行過程中需要滿足苛刻的工作條件均為高超聲速飛行器控制帶來了非常大的挑戰[4-5]。眾多研究人員致力于研究高超聲速飛行器的建模及控制問題，并嘗試了包括反步法[6-7]、自適應控制[8]、滑模變結構控制[9-10]、模糊控制[11-12]等眾多控制方法。在諸多控制方法當中，反饋線性化由于先期研究成果較為豐富、設計流程簡單而受到眾多學者的青睞[13-15]。然而，由于一般的反饋線性化控制方法需要滿足線性化條件，使得高超聲速飛行器在進行大幅度機動時容易造成模型失真，且使用Lie導數求取需要大量的運算，難以保證系統實時性，使得實際工程上難以直接實現。切換系統通過在多個子系統模型之間進行切換的方式為復雜動態系統的控制問題提供了簡單而有效的解決方案。本文提出一種基于切換系統的高超聲速飛行器建模方法。通過將高超聲速飛行器的飛行包線進行分區，為各個區域建立獨立的系統模型，使得飛行器在單個區域內機動時的模型參數變化可以忽略。當飛行器需要進行大范圍機動時，可通過在不同區域之間切換的方式，自主選取對應的系統模型，降低模型失真所帶來的影響。

在建立高超聲速飛行器切換系統模型基礎上，為了進一步提升飛行控制器性能，可為不同的子系統單獨設計控制器。其優勢在于可以進一步細化各控制器對應的飛行空域，提升控制效率。然而，在系統模態進行切換時，可能會遇到信號傳輸時滯等問題，使得控制器的切換滯后于系統模態的切換，通常稱這種現象為異步切換。異步切換會使得本應單調遞減的Lyapunov函數出現上升的可能，進而影響切換系統的穩定性。因此，在設計切換控制器時，還有必要將異步切換的影響納入考慮。此外，切換信號的選擇同樣是切換系統控制的一部分。通過適當地選擇切換信號，能夠對子系統模態的切換進行正確的描述，有助于控制器的設計以及系統穩定性的保障。駐留時間信號(Dwell time, DT)和平均駐留時間信號(Average dwell-time,ADT)作為兩類常見的切換信號而受到眾多學者的廣泛關注，也在眾多工程問題上得到了應用[16-18]。然而，對于具有復雜動態模型的高超聲速飛行器而言，盡管DT和ADT信號能夠對多數情況下的飛行器飛行狀態進行描述，但在飛行器進行復雜機動等極端情況下，飛行器的系統模態切換頻率可能會超出該類切換信號所允許的極限。為了更精確地對高超聲速飛行器的飛行過程進行描述，并確保控制器能夠始終保持有效，本文所考慮的切換信號為持續駐留時間(Persistent dwell-time,PDT)信號。該類切換信號由子系統模態不可切換的τ部和子系統模態可任意切換的T部構成。通過適當調整兩者的長度，PDT可涵蓋包括DT、ADT、隨機切換等多種切換信號。因此PDT具有更強的一般性及對快速切換的描述能力。然而，由于PDT信號較為復雜，目前對該類信號的研究相對較少[19]。

另一方面，高超聲速飛行器由于自身物理特性的限制使得執行機構輸出幅值不能無限增大，在執行飛行任務中可能會受到執行器飽和的影響[20]。例如，超燃沖壓發動機燃流量存在限制；鴨翼、升降舵等偏角無法任意轉動等。因此，在設計控制器的同時還需要考慮執行器飽和的問題，以避免由于控制器的控制量與被控對象的執行程度不匹配而造成系統性能退化甚至不穩定[21]。目前，對飽和非線性的處理方法主要分為兩種：單步法和兩步法。其中，單步法的特點在于不回避飽和環節，根據系統性能需求從底層設計控制器。盡管單步法從原理上可行，但存在著一些問題：1)在線性區域內(即執行器未發生飽和時)，系統性能會受到一定影響；2)在一些帶有約束的系統中，該方法的控制器保守性較高，缺乏實用性[22]。相對而言，兩步法的思路更為直觀：首先不考慮飽和約束，直接為系統設計控制器，然后通過加入抗飽和補償器處理飽和約束。本文針對高超聲速飛行器的切換系統模型，以線性矩陣不等式的形式給出了一類抗飽和切換控制器的設計方法，使得受到飽和非線性約束的切換系統能夠在特定切換信號的作用下保持全局一致漸近穩定性。

本文主要研究了高超聲速飛行器的抗飽和切換控制問題。首先使用Jacobin矩陣的方式，將高超聲速飛行器模型線性化，并將飛行包線分區以建立切換系統模型。在該模型的基礎上，為高超聲速飛行器設計了抗飽和切換控制器。

1 高超聲速飛行器的面向控制的切換系統模型

1.1 高超聲速飛行器的剛體動力學模型

吸氣式高超聲速飛行器的動力學模型非常復雜。本文采用目前較為常見的高超聲速飛行器縱向動力學模型[23-24]，其具體表達式如下

(1)

式中：V為飛行器速度；h為飛行高度；α,θ和Q分別為攻角、俯仰角和俯仰角速率；T,D和L分別是推力、阻力和升力；Myy為俯仰力矩；Iyy為俯仰轉動慣量；m和g為質量和重力加速度。

式(1)中的推力、阻力、升力和俯仰力矩可通過下式進行擬合

(2)

為了進一步模擬發動機內的燃燒過程，引入二階動態環節如下

(3)

式中：Φc為發動機的控制輸入；ξΦ和ωΦ均為二階動態中的常數，且有0<ξΦ<1，ωΦ>0。則式(1)可改寫如下

(4)

經過上述變換，可以得到高超聲速飛行器的剛體動力學模型。顯然地，該模型具有很強的非線性以及系統狀態和控制輸入間的耦合，難以直接用于控制器設計，因此需要對模型進行簡化。根據式(4)，可以寫出非線性控制系統的標準形式如下

(5)

式中：系統狀態變量為x=[V,h,α,θ,Q,Φ,Ψ]T，控制輸入為u=[Φc,δe,δc]T；dl為擾動；系統輸出為y(t)=[V-Vref,h-href]T，其中，Vref和href分別為速度和高度的參考軌跡。

令xeq=[Veq,heq,αeq,θeq,Qeq,Φeq,Ψeq]T，定義xδ?x-xeq，使用Jacobin矩陣線性化的方式得線性系統模型如下

(6)

式中：

1.2 高超聲速飛行器的切換系統模型

由于高超聲速飛行器的高度、速度、動壓的變化均呈現復雜的非線性函數關系，且高超聲速飛行器的飛行運動通道之間存在著強耦合特性，導致其飛行過程中的氣動導數不僅與飛行器高度和速度的變化相關，還呈現出復雜的非線性變化特點[27]。這使得以動力學模型為基礎的控制方法很難在高超聲速飛行器進行機動時始終保持穩定。為提升系統模型精度并使動力學模型為基礎的控制方法能夠得到良好的應用，本節提出一種根據飛行器飛行包線分區并分別建模的高超聲速飛行器切換系統模型。

圖1是高超聲速飛行器的飛行包線示例。可以看到，根據飛行器動壓和速度將飛行包線分割成了九個區域，其具體劃分方式可參見表1。根據劃分方式可以得到切換律如下

σ(t)=i， (V,h)∈Ai

(7)

值得一提的是，盡管根據飛行器的速度和高度進行包線分割更為直觀，但是動壓的計算方式并非根據飛行速度和高度進行線性變化，因此這種分區方式會使得單一工作區內的動壓存在巨大變化。飛行器動壓可根據下式進行計算[28]

(8)

式中：ρ0=0.03514 kg/m3，h0=25908 m，hs=6510 m。

結合式(7)中的切換信號，可以得到高超聲速飛行器面向控制的切換系統模型如下

(9)

圖1 飛行包線示意圖Fig.1 Illustration of flight envelope

表1 飛行包線分區方式Table 1 Partition of flight envelope

本文中切換系統(9)的切換序列假定未知，但可以實時獲得，其切換規律受到PDT切換信號的約束，其定義如下

定義1[29].考慮切換信號σ和切換時刻k0，k1，…，其中k0=0。若存在無限多個長度不小于τ的不相交區間，在區間內σ為常值，并且帶有該性質的兩個相鄰區間間隔不超過TP，則稱τ為持續駐留時間，稱TP為持續周期。

在給出高超聲速飛行器抗飽和切換控制器的設計方法之前，首先給出如下引理:

(10)

(11)

Vi(x(t))≤μVj(x(t)), ?i≠j

(12)

若PDT信號滿足

(13)

2 高超聲速飛行器抗飽和切換控制器設計

高超聲速飛行器在實際飛行過程中不可避免地會遇到執行器飽和的問題。因此，設計的飛行控制器需要帶有一定的抗飽和機制。本節將針對高超聲速飛行器建立帶有執行器飽和的切換系統模型，并給出抗飽和控制器的設計方法。

2.1 帶有執行器飽和的切換系統模型

考慮一類帶有執行器飽和的切換系統

(14)

式中：x為系統狀態；uσ(t)為控制輸入；y為系統輸出；σ(t)=i為切換信號。sat(ui(t))為受到執行器飽和約束的控制輸入，其元素uk可由下式給出

(15)

令σ(t)=i，σ(t-τd)=j，則帶有異步時滯的無約束切換控制器可由下式給出

(16)

式中：xc為控制器狀態；yc,j為控制器輸出(無執行器飽和時等價于系統控制輸入)；Ac,j，Bc,j，Cc,j，Dc,j為具有適當維數的控制器矩陣。這里假定該控制器已經設計完畢，并且當系統不受到執行器飽和約束時，該控制器可以良好地鎮定系統。

為了對執行器飽和帶來的負面效果進行補償，考慮一類具有如下形式的抗飽和補償器

(17)

經過抗飽和補償的控制器的形式如下

(18)

(19)

式中：

2.2 抗飽和補償器設計

本節將針對帶有執行器飽和的切換系統(14)，給出形如式(17)的抗飽和補償器的設計方法，使得閉環系統(19)是全局一致漸近穩定的。

根據文獻[31]，飽和控制輸入滿足如下扇形條件

(20)

式中：Wi為正定對角矩陣。根據式(17)及φi的定義可知，當ui處于飽和非線性區時，φi與φi+ui的符號相反；當ui處于非飽和線性區時，φi=0。因此扇形條件(20)必然成立。

下面給出抗飽和切換補償器的設計方法。

定理1.考慮帶有執行器飽和的切換系統(14)，令α>0，β>0，μ>1為已知常數。對于預先給定的持續周期TP，若存在正定矩陣Si，正定對角矩陣Mi，矩陣Zi，使得?σ(t)=i，σ(t-τd)=j，i≠j，下列不等式成立

(21)

(22)

Sj-μSi≤0

(23)

式中：“*”為對應的矩陣模塊的轉置。

(24)

證.式(21)可分解為如下形式

(25)

(26)

(27)

令Lyapunov函數具有如下形式

Vi(ε)=εTPiε, ?i∈

(28)

則式(27)可改寫為

(29)

同理，當式(22)成立時，可得

(30)

3 仿真校驗

本節將通過仿真算例來對文中提出的抗飽和控制器的有效性進行校驗。高超聲速飛行器的初始狀態如表2所示。首先根據表1中給出的分區方式，選取各區域中心點為平衡點，則可以得到形如式(11)的切換系統模型。飛行器的機動方式由下式給出高超聲速飛行器系統參數的選取可參考文獻[21]。其他系統相關參數給定如下：α=0.83，β=1.12，μ=1.24，采樣周期Ts=0.1 s，持續周期TP=10 s，最大異步時滯τdmax=0.2 s，切換次數上限Qmax=10次。

(31)

表2 高超聲速飛行器初始狀態Table 2 Initial state of hypersonic vehicle

為驗證切換控制方法的有效性和優越性，首先對比切換控制器和一般非切換控制器的跟蹤效果。采用文獻[32]中的方法為各子系統分別設計控制器，并使用定理1設計抗飽和補償器來對控制輸入的飽和非線性進行補償。通過對比使用多個子系統切換和僅使用單個子系統(本文使用A5對應的控制器)之間的跟蹤效果，可以得到圖2～圖4中給出的仿真結果。從圖2可以看出，切換控制器作用下的高超聲速飛行器的運動軌跡與參考軌跡基本相符，而由非切換控制器得到的飛行軌跡則與參考軌跡之間存在著明顯差距。可見切換控制器的跟蹤效果要優于一般的非切換控制器。

圖3和圖4進一步給出了飛行速度誤差和飛行高度誤差的變化曲線。可以看出，切換控制器的速度誤差在15 m/s左右，最大高度誤差不超過150 m，而非切換控制器的速度誤差可達120 m/s，最大高度誤差超過760 m，兩者之間的差距較為明顯。造成兩種跟蹤控制器的跟蹤誤差差異明顯的主要原因在于非切換控制器的系統模型中僅存在單一的平衡點，因此在高超聲速飛行器跨越較大幅度的空域進行機動時，其系統模型參數的變化較大，模型失真較為明顯，進而導致跟蹤誤差明顯增大。

圖2 飛行軌跡對比Fig.2 Comparison between flight trajectories

此外，切換控制器可將攻角的變化幅度限制在1°以內，而非切換控制器作用下的攻角變化幅度則相對較大。由于高超飛行器飛行過程中需要避免攻角過大引起的飛行器失速，可見切換控制器的效果要優于非切換控制器。由于篇幅所限，在此省略攻角的變化曲線圖。

圖3 飛行速度誤差Fig.3 Flight velocity error

圖4 飛行高度誤差Fig.4 Flight altitude error

下面將對抗飽和補償器的有效性進行進一步的驗證。圖5給出了是否帶有抗飽和補償器對飛行軌跡影響的對比圖。可以看出，帶有抗飽和補償的控制器可以良好地跟蹤參考軌跡。相對地，當失去抗飽和補償時，飛行器無法跟蹤參考軌跡且飛行軌跡超出既定的飛行包線。顯然地，抗飽和補償器是有效且必要的。

圖5 是否帶有抗飽和補償器的飛行軌跡對比Fig.5 Trajectory with and without anti-windup compensator

4 結 論

本文主要研究了高超聲速飛行器的抗飽和切換控制問題。首先通過對飛行包線劃分區域并選取多個平衡點的方式，建立了高超聲速飛行器切換系統模型。在該切換系統模型的基礎上，以線性矩陣不等式的形式給出了高超聲速飛行器抗飽和補償器的設計方法，使得高超聲速飛行器能夠在受到執行飽和約束時進行較為復雜的機動，并能夠保持系統的全局一致漸近穩定性。最后，通過仿真算例對比了切換系統模型和一般控制系統模型之間的差異，校驗了切換系統模型的優越性以及抗飽和補償器的有效性。