學數學就是要講“理”

戴回娟

數學很美，幾何圖形有對稱美，代數式子有簡潔美;數學有情，數學與人類相伴相依，解決現實問題，為科學技術、生產生活服務。數學又是最講理的。數學中有許多規定、結論，為什么這樣規定？這些結論正確嗎？這就需要我們多問幾個“為什么”，多講講道理。

最近，同學們在學習“平面圖形的認識（一）”，許多幾何結論不僅需要我們去發現、去提出、去判斷，還需要我們知道為什么，更需要我們用一定的方式說出來、寫出來。

如教材的第149頁：如圖1，因為B是線段AC的中點，所以AB=BC=1/2AC或AC=2AB=2BC。

再如教材的第156頁：如圖2，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。

這里的“因為……所以……”就是一種說理方式。這是我們第一次用這種方式表達。我們不僅要知道結論是什么、為什么，還要學會用規范的數學語言表達。在幾何學習初期，我們除了要規范表達外，還要交代得到結論的依據。

如教材第161頁練習3：如圖3，直線CD經過點O，OC平分∠AOB。∠AOD與∠BOD有怎樣的大小關系？為什么？

解：∠AOD=∠BOD。

理由如下：

因為C、O、D在一條直線上（已知），

所以∠AOD+∠AOC=180°（平角的概念），

∠BOD+∠BOC=180°（理由同上）;

因為OC平分∠AOB（已知），

所以∠AOC=∠BOC（角平分線的概念），

所以∠AOD=∠BOD（等角的補角相等）。

這里，將得到結論的依據在結論后面用括號形式注明。

我們知道，幾何研究最講究邏輯，要探究因果關系，得出的每一個結論都應該有理由、有依據。因此，同學們在幾何學習中應該養成言必有據的習慣，并用一定的格式把過程和依據表達出來。在我們初學幾何階段，“因為……所以……”是用中文表示，隨著學習的深入，我們還可以用數學符號來表示。

其實，數學的“講理”，在小學數學、初中代數學習中就有所體現了。

在小學，我們學習了圓的面積公式S=πR^{2。這個公式是天生的嗎？不是，也是有道理的。}

如圖4-①，我們把圓等分成若干個扇形，沿這些扇形的半徑將圓剪開，重新拼接后得到如圖4-②所示的圖形。當分成的扇形個數足夠多時，所拼得的圖形接近長方形，其高為半徑R，長為圓周長的一半πR，于是，圓的面積接近長方形面積R×πR，即πR^{2。這里用到了極限的觀念和轉化的方法，初步解釋了圓的面積公式的由來。}

進入初中后，我們學習了代數中的有理數、整式的運算。大家有沒有發現，其實代數也是需要講道理的。

比女口計算：（3m-2n）（-3m-2n）。原式=（-2n）²-（3m）²=4n²-9m²。

為什么可以這樣計算？為什么得到這樣的結果呢？

我們研究了平方差公式，并用代數計算和圖形拼接的方法說明了公式的正確性。現在，將代數式（3m-2n）（-3m-2n）與平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²對比發現：二者之間有相似之處，但也有不同之處。通過變形，能看出：代數式的形式符合公式特征，故變形為（-2n）²-（3m）²。由此可知：代數的每一步運算都是有根據的。這個過程就是“講理”，只是沒有像幾何那樣，用“因為……所以……”這種格式表示罷了。

講“理”，不僅應該成為我們數學學習必須養成的習慣，更應該成為一種必備的品質，一種數學的精神——理性精神！