“距離”的本質(zhì)是什么

張亞峰

什么是距離？或許同學(xué)們覺得這個(gè)問(wèn)題提得很可笑，因?yàn)槲覀冊(cè)趯W(xué)習(xí)中接觸了太多的關(guān)于“距離”的問(wèn)題了。

真的可笑嗎？不妨請(qǐng)同學(xué)們來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知線段AB及點(diǎn)P，畫出表示點(diǎn)P到線段AB距離的線段。

也許你會(huì)說(shuō)：這還不簡(jiǎn)單嗎？如圖2，過(guò)點(diǎn)P作BA延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H，則線段PH就是。

如果這樣，那你就大錯(cuò)特錯(cuò)了。為什么呢？我們不妨來(lái)回顧教材上關(guān)于“距離”的內(nèi)容。目前，我們學(xué)習(xí)的“距離”有兩種：一種是“點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離”，一種是“點(diǎn)到直線的距離”。

教材對(duì)“兩點(diǎn)之間的距離”這樣規(guī)定：兩點(diǎn)之間線段最短，兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離。

在七年級(jí)“垂直”一節(jié)中，教材在定義“點(diǎn)到直線的距離”時(shí)，首先在直線上取若干個(gè)點(diǎn)，量出直線外的點(diǎn)到這些點(diǎn)的線段長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)垂線段最短，于是把這條垂線段的長(zhǎng)叫做“點(diǎn)到直線的距離”，還指出“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短”。

由此可見：“距離”的本質(zhì)是最短！因此，上述問(wèn)題中，如圖3，線段PA才是表示點(diǎn)P到線段AB距離的線段。

然而，我們的教材中一般說(shuō)的都是點(diǎn)到直線的距離。如七年級(jí)“垂直”一節(jié)有這樣一道練習(xí)題：如圖4，度量圖中點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，甲說(shuō)：“只要量出線段AC的長(zhǎng)度即可?！币艺f(shuō)：“過(guò)點(diǎn)C畫不出直線AB的垂線，所以量不出點(diǎn)C到直線AB的距離。”你認(rèn)為他們的說(shuō)法正確嗎？如果不正確，那么怎樣量出點(diǎn)C到直線AB的距離呢？

問(wèn)題提供的圖形載體是△ABC，要求度量的是“點(diǎn)C到直線AB的距離”。如果把直線AB換成線段AB呢？同學(xué)們可以自己嘗試做一下。

下面，我們來(lái)總結(jié)一下。

1.點(diǎn)與線的距離。

指該點(diǎn)到線上所有點(diǎn)的連線中最短的那條線段的長(zhǎng)。如點(diǎn)到線段、射線的距離，既包含“垂直”的情形（如圖5），也包含“非垂直”情形（如圖6、圖7），還包含點(diǎn)與曲線的距離，如點(diǎn)與圓的距離：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的所有線段中，最短的那條線段長(zhǎng)就是該點(diǎn)到圓的距離（過(guò)該點(diǎn)與圓心的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，以該點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條線段中較短的那條線段）。

2.任意兩個(gè)圖形（包括空間圖形）之間的“距離”。

如圖8，曲線C₁、C₂之間的距離，即指連接C₁、C₂上任意兩點(diǎn)的所有線段中最短的那條線段的長(zhǎng)。特殊地，兩平行線間的距離就是與兩平行線垂直的直線夾在兩平行線間線段的長(zhǎng);兩個(gè)圖形如果有公共部分，那么這兩個(gè)圖形之間的距離為0。

在幾何中，點(diǎn)與線、線與線、圖形與圖形間的距離，都是基于“點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離”而定義的。其最本質(zhì)的意義是“最短”，只不過(guò)初中階段不去研究那么復(fù)雜的問(wèn)題罷了。

同學(xué)們，現(xiàn)在你還感到開頭提出的問(wèn)題可笑嗎？