做一個嚴謹的思考者

周煉

在學習幾何的過程中，當我們面對一個未知的、需要我們自己畫圖來解決的問題時，可能會遇到一些條件交代模糊，位置關系或數量關系不確定的情形。這時我們需要仔細審題，對“模糊元素”進行縝密分析，有時需要分類討論，做一個嚴謹的思考者，養成思考問題嚴謹縝密、細致全面的思維習慣。下面給出兩種同學們常見的易錯類型，供同學們參考。

例1 已知線段AB=6cm，P是線段AB的中點，C是直線AB上一點，且AC=1/3AB，則CP=____。

【錯解】只考慮點C是線段AB上一點，根據作出的圖1，AB=6cm，因為P是線段AB的中點，AC=1/3AB，得到AP=1/2AB=3cm，AC=1/3AB=2cm，從而得到CP=AP-AC=3-2=1cm。

【分析】由于本題沒有給圖，所以有的同學在自己畫圖的過程中考慮問題不全面導致錯解，沒有關注到條件“C是直線AB上一點”中“直線”這一個“位置模糊”的元素的表述，從而沒有對點C可能的位置進行思考與探究，只畫出了點C是線段AB上一點的情況。

在解決此類問題時，我們需要對題中關于描述位置的條件仔細斟酌、反復推敲，充分考慮“位置模糊”的元素所有可能的位置，進而畫圖求解。

【正解】此題分兩種情況：除了圖1中點C是線段AB上一點外，還有一種情況，就是像圖2那樣，點C是線段BA延長線上一點，則有CP=AP+AC=3+2=5cm。

故正確答案為1cm或5cm。

例2 已知∠AOB=35°，以O為頂點作射線OC，并將∠AOB分為2：3的兩個角。若射線OD是∠AOC的角平分線，則∠AOD=______。

【錯解】只考慮∠AOC：∠BOC=2：3，根據畫出的圖3，由∠AOB=35°，可得∠AOC=35°×2/5=14°。又因為OD是∠AOC的角平分線，所以∠AOD=1/2∠AOC=7°。

【分析】此題雖然沒有出現例1中的“位置模糊”，卻出現了“數量模糊”。錯解忽略了討論條件“OC將∠AOB分為2：3的兩個角”中，∠AOC與∠BOC到底誰是2份，誰是3份的必要性。所以在解決此類問題時，不僅要關注條件中位置的不確定性，還要關注數量的不確定性，只有兩方面都考慮到，才能不漏解。

【正解】此題分兩種情況：除了圖3中∠AOC：∠BOC=2：3，也可能像圖4中那樣，∠AOC：∠BOC=3：2，此時∠AOC=35°×3/5=21°，從而得到ZAOD=1/2∠AOC=10.5°。

故正確答案為7°或10.5°。