有趣的“鐘面角”問題

郭金網

時鐘在我們的生活中處處可見。隨著時間的變化，時鐘上的時針與分針會形成一個個角，我們把這樣的角稱為鐘面角（通常指0°～180°的角）。如圖1，∠AOB為鐘面角。鐘面角的計算是同學們經常遇到的一類有趣的問題。下面從一道實際問題出發，探究、歸納出鐘面角的計算公式。

我們知道，鐘面數字從1到12共有12大格、60小格。1周角等于360°，所以鐘面上每個大格對應30°的角，每個小格對應6°的角。這樣，時針每走1小時對應30°的角，每走1分鐘對應30°÷60=0.5°的角;分針每走1分鐘對應6°的角。

例題 求3點25分時針與分針的夾角。

【分析】如圖2，假設分針OB、時針OA都是由OP（指針指向12）順時針旋轉得到，則此時時針與分針的夾角∠AOB=∠BOP-∠AOP。接下來，應分別求出分針旋轉的角度（∠BOP）和時針旋轉的角度（∠AOP）。

分針每分鐘轉6°，轉了25分鐘，也就是轉了6°×25=150°，所以∠BOP=150°;時針每小時轉30°，每分鐘轉0.5°，現在轉了3小時25分鐘，所以轉了（30°×3+0.5°×25）=102.5°，所以∠AOP=102.5°。所以∠AOB=∠BOP-∠AOP=150°-102.5°=47.5°。

【推廣】我們可以推廣到一股情況，求m時n分時針與分針的夾角α（0°≤α≤180°）。

當時針OA與分針OB位于OP所在直線的右側時：

如果分針OB在時針OA的前面（“前面”是指從順時針方向看，OB在OA之前），女口圖2，∠AOB=∠BOP-∠AOP=6°n-（30°×m+0.5°×n）=5.5°n-30°m：

如果時針OA在分針OB的前面（同樣從順時針方向看），如圖3，∠AOB=∠AOP-∠BOP=（30°×m+0.5°×n）-6°n=30°m-5.5°n。

由此可得，鐘面角“的度數=|5.5°×分-30°×時|。

同理：當時針OA與分針OB位于OP所在直線的左側時，仍然可得鐘面角α的度數=|5.5°×分-30°×時|。

當時針OA與分針OB位于OP所在直線的異側時，由于0°≤α≤180°，鐘面角α的度數=360°-|5.5°×分-30°×時|。

后兩種情況，同學們可以試著自己推導一下。