“兩個最短”的聯系與區別

華昭琴

“兩點之間線段最短”是我們生活中能驗證的基本事實;“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”是我們通過度量、比較發現的結論。在幾何學習中，不少同學容易混淆這兩個“最短”而出錯。因此我們有必要搞清楚它們之間的聯系與區別。

首先，二者之間聯系密切。我們來看“垂線段最短”，這里的“最短”是直線外一“點”與直線上各“點”連接的所有線段中最短的那條線段，換句話說，“垂線段”的本質是直線外一點到垂足這個點之間的線段長，最終還是兩點間的線段。

其次，二者之間區別明顯。“兩點之間線段最短”指的是點與點之間的關系，而“垂線段最短”指的是點與線之間的關系。

下面結合實例來幫助同學們加深理解。

例1 如圖1，小華站在長方形操場的左側A處。（1）若要到操場的右側，怎樣走最近？請畫出路線并解釋。（2）若要到操場對面的B處。怎樣走最近？請畫出路線并解釋。

【解析】（1）實際上就是找A點到操場右側所在直線的最短距離AC，如圖2，理由：垂線段最短。（2）是找A點到B點的最短距離AB，如圖3，理由：兩點之間線段最短。

【點評】實際問題中涉及路線最短問題時，首先要弄清楚是點與點之間的，還是點與線之間的最短距離，再從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”中去選擇。

例2如圖4，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5。點P是線段AB上的一動點，求線段CP的最小值。

【解析】因為P點是動點，所以首先得判斷出什么時候CP最短。C點與線段AB上各點連接的所有線段中，垂線段最短。所以當CP垂直AB時，CP有最小值。然后根據三角形的面積公式列出方程求解即可。因為A_BCA=90°，所以S△_{ABC=1/2BC×AC=1/2AB×CP。因為BC=3，AC=4，AB=5，所以CP=2.4。}

【點評】判斷出CP最短時的情況是解決本題的關鍵。