柯西不等式的應用透視

◇ 山東 王 敏 劉美亭

1 求值

2 求最值

3 證明不等式

利用柯西不等式證明某些不等式特別方便,利用柯西不等式的技巧也有很多,如添項、配湊常數式、改變結構等.

3.1 添項

3.2 “1”的代換

由柯西不等式,得

所以ab+4bc+9ac≥36,當且僅當a=2,b=3,c=1時,等號成立.

3.3 湊配常數式

(1)解不等式f(x)≥4;

(2)記函數f(x)的最小值為m,若a,b,c均為正實數,且a+2b+3c=2m,證明:

(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2,

3.4 改變結構

證明由柯西不等式,得

當且僅當a=b=1時，等號成立.

綜上，(a+b)(a5+b5)≥4.

4 求取值范圍

A.[-5,5] B.(-5,5)

所以由柯西不等式

(32+22)[x2+(-x+y)2]≥
[3x+2(-x+y)]2=(3x-2x+2y)2=(x+2y)2,

又由例8中的變式,得