2018年北京大學博雅計劃自主招生數學試題(部分)及其詳解

◇ 北京 甘志國(正高級教師)

2018年北京大學博雅計劃自主招生數學試題包括20道單項選擇題,每道題答對得5分,答錯扣1分,不答得0分.本文是考生回憶版,缺少第7,8,18,19,20題,試題中第2,14,17題是數列問題,第11題是方程問題,第4題是三角函數問題,第5題是不等式問題,第10,13題是平面解析幾何問題,第6,15,16題是排列組合問題,第1題是古典概型問題,第9題是復數問題,第12題是平面幾何問題,第3題是數論問題.整體難度不大，本文給出其詳細解析，供讀者參考.

1. 一個集合中有10個兩兩互異的元素,若有放回地取,則在前5次內取到相同元素的概率為( )(保留兩位有效數字).

A. 0.50 B. 0.55

C. 0.70 D. 前三個答案都不對

3.若正整數n的全部正約數之積是n3,且n≤400,則n的個數是( ).

A. 50 B. 51

C. 55 D. 前三個答案都不對

當m=1時,J(m)=1.

y1yg(m)=y2yg(m)-1=y3yg(m)-2=…=
yg(m)-1y2=yg(m)y1=m.

所以由倒序相乘法可得

J(m)=y1y2y3·…·yg(m)-1yg(m),
J(m)=yg(m)yg(m)-1yg(m)-2·…·y2y1.

因而

下面用該結論來解答本題.

當n=1時，滿足題設:J(1)=1=13.

若p1=2,可得3≤p2≤97,此時n的個數是24;若p1=3,可得p2≤43,此時n的個數是13;若p1=5,可得p2=2,3,7,11,13,此時n的個數是5;若p1=7,可得p2=2,3,5,此時n的個數是3;若p1=11,可得p2=2,3,此時n的個數是2;若p1=13,可得p2=2,此時n的個數是1;若p1≥17,可得p2不存在,此時n的個數是0.

綜上所述,可得所求答案是51，故選B.

A. 0 B. 1

C. 無窮多個 D.前三個答案都不對

進而可得

5. 若非負數a,b,c滿足a+b+c=3,則a+ab+abc的最大值是( ).

A. 3 B. 4

設g(a)=a3-8a2+20a(0

6.15個人圍坐在圓桌旁,從中任取4人,他們兩兩互不相鄰的概率是( ).

進而可得

且

圖1

A. 2 B. 3

C. 4 D. 前三個答案都不對

圖2

再由S△ABC=1,可得

圖3

所以

方法2我們先證明一個結論.

結論如圖4所示,點D在△ABC的邊BC上且不是端點.

(1)若BD∶DC=λ∶μ,則

圖4

證明(1)如圖5所示,過點D作DE∥AB且DE交AC于E,作DF∥AC且DF交AB于F,得

再由平面向量基本定理可得

圖5

下面用結論來解答本題.

再由平面向量基本定理,可得

A. [10,11] B. (11,12]

C. (12,13] D. 前三個答案都不對

圖6

14. 已知a,b,c是公差不為0的等差數列,在平面直角坐標系xOy中，過點P(-3,2)向直線ax+by+c=0作垂線,垂足為M.若點N的坐標是(2,3),則|MN|的最大值與最小值之積為( ).

C. 14 D. 前三個答案都不對

圖7

再由點N(2,3)在圓C外,可得

15.從所有不大于2 018的正整數中任取3個,3個數兩兩不相鄰的選法種數有( ).

……

綜上所述,3個數兩兩不相鄰的選法種數為

故選A.

綜上所述,3個數兩兩不相鄰的選法種數為

方法4本題也可用正難則反的方法來求解.

當所取的3個數兩兩相鄰時,有2 016種取法，即i,i+1,i+2(i=1,2,3,…,2 016).

當所取的3個數恰有兩個相鄰時,包括下面的2 015×2+2 014×2 015=2 015×2 016種情形.

1,2,n(n=4,5,6,…,2 018)的形式,共2 015種;

2,3,n(n=5,6,7,…,2 018)的形式,共2 014種;

3,4,n(n=1,6,7,8,…,2 018)的形式,共2 014種;

4,5,n(n=1,2,7,8,…,2 018)的形式,共2 014種;

……

2 015,2 016,n(n=1,2,3,…,2 013,2 018)的形式,共2 014種;

2 016,2 017,n(n=1,2,3,…,2 014)的形式,共2 014種;

2 017,2 018,n(n=1,2,3,…,2 015)的形式,共2 015種.

綜上所述,3個數兩兩不相鄰的選法種數為

注本題與2017年清華大學能力測試數學試題中的一道題實質相同,即

已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若從中取出3個元素構成集合A的子集,且所取得的3個數互不相鄰,則這樣的子集個數為( ).

A. 56 B. 64 C. 72 D. 80

A. 2 018·22 018B. 2 018!

C. 2 019·22 018D. 前三個答案都不對

所以

17.若把全體正整數中的完全平方數全部去掉后,再把剩下的數從小到大排列得到一個新數列,則該數列的第2018項是( ).

A. 2 062 B. 2 063

C. 1 009 D. 前三個答案都不對

但該數列中又有一個完全平方數2 025，即452,所以還要去掉它,因而目前得到的新數列的第2 018項是2 062+1=2 063.

又由452=2 025<2 063<2 116=462,可知2 063不是完全平方數,故選B.