一條物理公式的數學變形引發學習進階

江寧

摘 要：“學習進階”更注重每一個“階”度學生在學習“同一內容”時的不同思考方式.本文以“杠桿原理”為例，研討學生在不同的“階”度對于此主題產生的不同認知.在“階”度中通過思考方式的提升，可以促進學生對主題的深度學習，從而使研究更加有利地發展.

關鍵詞：學習進階，物理公式，杠桿原理，公式變形，簡單機械

文章編號：1008-4134（2020）08-0034 ? ?中圖分類號：G633.7 ? ?文獻標識碼：B

1 關于“學習進階”在教學中的定義

學習進階（learning progressions，簡稱LPs）也稱學習進程，是近幾年在美國科學教育改革中的一個新興概念，是對學生在各學段中學習同一主題的概念時所遵循的連貫而典型的學習路徑的描述，一般呈現為圍繞核心概念而展開的一系列由簡單到復雜、相互關聯的概念序列[1].

學習進階包括內容進階和思維進階.要構建學習進階，首先要明確什么是學習中的“階”，這個“階”并不只是學習者認知發展的路徑，更不只是學習內容的提高，它更代表了學生不同的思考方式，換句話講，在更高層級的“階”上的學生并不是比更低層級“階”上的學生“知道的更多”，而是他們對內容的理解方式方面存在著差異[2].學習進階正是要求教師從學生的角度去理解“進階”對于學生進一步學習和發展的意義.

關注學生的進階，最重要的是關注學生的思考，關注學生在不同階段對所學的同一內容產生的不同思考方式.由于思維方式的提升，學生可以很方便地進行內容進階.下面以初中物理“簡單機械”中的杠桿原理為核心，來談談如何達成學習進階.

2 思維導圖帶來的缺失

如圖1所示是初中物理“簡單機械”一章的概念思維導圖，它把簡單機械中的關鍵詞與圖像、顏色等建立記憶鏈接，雖然圖文并茂，但在學生看來，簡單機械的各知識點還是獨立的，對于知識點的掌握必須要通過機械的閱讀和記憶. ?從圖1看來，對于知識點的學習過于強調“圖像記憶”和“發散聯想”，對于抽象思維能力弱的學生，“圖像記憶”可以幫助他們提高記憶的效率，但無法加深對知識的理解，因此借助思維導圖屬于一種膚淺的機械學習.因為物理知識都是有其內在邏輯結構的，由不得胡思亂想，而無序列的“發散聯想”具有天馬行空、思維難控的特點，所以不適用于物理知識的學習.真正的物理知識的學習，應該注重“理解性記憶”和“條理性思考”，學習的過程中強調的是“理解的深度”而非“記憶的速度”.

3 在思維的循序漸進中促成進階

根據學生已掌握的概念和認識層次，學習進階以核心知識點為突破口，建立從簡單到復雜的知識序列，逐漸提高學生的思維階梯，逐一實現從小目標到大目標的過渡，即遵循教育心理學中的循序漸進原則，幫助學生逐級構建物理概念，促進學生思維的逐級提高，從而使學生的科學素養得以逐級的提升.

3.1 建構杠桿模型

學會建構模型是學習物理的良好開端.如圖2所示，在初中物理“簡單機械”一章中，通過對典型事例的分析，構建出“杠桿”模型，并定義出杠桿的“五要素”.“杠桿”模型是一種很普通的結構模型，在日常生活中運用非常廣泛，教師在教學過程中通過師生列舉實例的方式來加強學生對“杠桿”模型的認識，并及時糾正學生對“硬棒”的片面認識，讓學生清楚：杠桿的本質是“繞點旋轉”.此時，學生的思維建立在如何操作物理模型上，并開始認識虛擬物理量——力臂.

3.2 歸納杠桿原理

會分析實驗數據是研究物理的一種能力.如圖3所示，師生通過實驗，可歸納出杠桿原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂，用數學式表示為F1·L1=F2·L2.式中F1表示動力，L1表示動力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂.從公式可看出，要使杠桿達到平衡，動力臂是阻力臂的幾倍，阻力就是動力的幾倍.在此基礎上定義出三類杠桿：省力杠桿、費力杠桿和等臂杠桿.此時，學生的思維建立在物理模型的計算上，開始向物理模型的實際分類上轉變.

3.3 拓展杠桿原理

拓展物理概念是應用物理原理的實際操作.如圖4所示，在掌握“繞點旋轉”和“變形硬棒”的基礎上，推出“定滑輪”和“動滑輪”的定義，即：定滑輪是省力杠桿，動滑輪是動力臂為阻力臂兩倍的杠桿，同時可以用“杠桿原理”公式進行計算.根據分析，滑輪的省、費力情況以及省、費距離情況變得清晰可見.以此為契機，輪軸的工作原理也就迎刃而解. ?此時，學生的思維建立在物理模型的簡單運用上，并有有序發散思維的欲望.如果所有的教學至此就戛然而止，學生對“杠桿原理”的認識就只能局限于受力少的簡單機械，思維也只能圍繞簡單模型展開分析，最終能提高的只是學生的數學計算能力.

3.4 變形物理公式

在杠桿原理公式F1·L1=F2·L2中，如果杠桿受力較多，可按力和力臂乘積的作用效果進行等效合成，得：FALA+FBLB+FCLC=FDLD+FELE+FFLF，即所有使杠桿順時針轉動的力的大小與其對應力臂的乘積之和等于所有使杠桿逆時針轉動的力的大小與其對應力臂的乘積的和.如圖5所示，杠桿平衡時也就可以運用公式F1L1+F5L5=F2L2+F3L3+F4L4來解題了.此處公式的演繹是學生學習進階的關鍵，思維也因此得到拓展，學生對公式的理解并不是靠教師的簡單提供，而是學生自身思維不斷提升的必然結果.

3.5 提升物理思維

學習進階的關鍵是思維升級，在于從更高的思維角度來思考原來的初始問題，從而在達成學習內容進階的同時，悟出物理原理的本質.

就簡單機械而言，現實生活中的杠桿不可能只像理想模型那樣受簡單的兩個力，通過學習的進階，對于較復雜的機械，也不難讓學生分析出其中的物理原理.

如圖6所示為生活中最常見的桿秤，桿秤重心在B點，提紐作為支點在O點，重物通過秤鉤作用在A點，秤砣作用在C點，可得：G砣×CO=G秤×BO+G物×AO.

學習進階后，可以分析如圖7所示的差動滑輪的工作原理，這也是杠桿受多力平衡的應用：設物體重力為G，人對鏈條的拉力為F，輪軸的輪半徑與軸半徑分別是R和r，繞過動滑輪的兩段鏈條對輪軸的拉力大小都為F′=G2，當多力作用在杠桿上時，可根據公式：F動L動+F′動L′動=F阻L阻，那么FR+F′r= F′R，從而得出F=R-r2RG[3].

圍繞杠桿原理，由于公式的變形，學習的內容在此基礎上順利進階，學生在不同的“階”度上都有了自己不同的思考方式，“階”度的提高促成了學生思維層級的發展.

4 在學習的時間與空間的融合中達成學習進階

學習進階更加關注的是學生如何思考.從時間上來說，學習進階一般需要經歷一段學生成長歷程的研究，在研究過程中，思維結構伴隨著逐級升級的“階”度趨向完善，從空間上來說，正因為“階”度的提升，學生認識物理世界的起點逐級提高，“前概念”“錯誤思維”得以及時糾正，對某個知識點的認識從低水平、想當然轉變為高認知、所以然.學習時間與學習空間的有效融合將學習的起點和終點連接起來，更有利于學生形成清晰而有條理的思路，不同層次的學生在不同的“階”度上思維都能有所提高.

支持碎片理論認為：學生的知識來源于一些零散的知識碎片，面對新的物理情境，學生需要將這些碎片知識重組并構.但機械式的知識重構只會誘發學生進行機械記憶，認知思維在此過程中仍然是零散孤立的.而學習進階是以知識點為核心，把握學生認知中的關鍵問題，通過逐級思考形成系列的學習軌跡，從而促進學生的認知構建，促使學生對核心概念的認識在較長時間內不斷深化.

由于學生認知規律存在個體差異，不同學生對某一核心知識的學習進階路徑可能是不同的[4]，因此，學習進階要基于學生的生活經驗，關注學生的認知發展，為學生的學習設計出一種行之有效和相對理想的路徑以達成學習目標，圍繞知識點在時間維度上的研討、在空間維度上的積累，最終促成學生思維能力的提升[5].

參考文獻：

[1]劉晟，劉恩山.學習進階：關注學生認知發展和生活經驗[J].教育學報，2012，8（02）：81-87.

[2]ALICIA C.ALONZO，翟小銘.學習進階：描述學生思維發展的有效方式[J].物理教師，2015，36（11）：73-76.

[3]張巍繼. 基于學習進階理論下西藏小學科學與初中物理銜接問題研究[D].西藏：西藏大學，2019.

[4]李光宇.基于“學習進階”理論的物理習題教學策略[J].教學月刊·中學版（教學參考），2016（Z2）：31-35.

[5]楊凱. 基于學習進階的初中物理光學部分微課資源構建[D].江蘇：蘇州大學，2018.

（收稿日期：2020-01-13）