殘周期正弦波形總失真度的測量評價

梁志國，劉淵，何昭，張亦弛，吳婭輝

（1.航空工業北京長城計量測試技術研究所 計量與校準技術重點實驗室，北京100095；2.中國計量科學研究院 信息與電子計量科學和測量技術研究所，北京100029）

0 引言

在復雜通訊信號的時頻參數計量評價中，人們通常更加關注于能體現其各方面特性的“全波形”測量分析手段及結果。到目前為止，人們對于其信號帶寬、頻譜、功率等給予了極大關注［1-5］，因為它們事關信道寬度、容量等頻譜資源的利用與分配。對于時域特征，由于其“復雜性”表述，并未形成統一的共識。

實際上，目前的復雜通訊信號，均不是任意波形信號，而是屬于有確定載波的各種已調制信號，通常是正弦載波下的各種已調制信號。通過載波正弦信號的幅度、頻率、相位等隨時間的連續變化產生模擬調制效果；通過載波正弦信號的幅度、頻率、相位等隨時間的離散變化產生數字調制效果。

在參數連續變化為特征的模擬調制類已調信號中，復雜通訊信號可以看作是一個正弦載波的周波信號參數（幅度、頻率、相位）隨時間在連續變化而產生的結果。

在參數離散變化為特征的數字調制類已調信號中，復雜通訊信號可以看作是一段段正弦載波的周波信號階躍跳變到下一個正弦載波的周波信號而產生的結果。即，由不同的穩定正弦周波信號和它們之間的階躍跳變而產生的過渡過程相拼接而成的過程結果。

由此可見，復雜通訊信號的時域特征分析，可以歸結為參量變化過程中的正弦周波特征分析和階躍過渡過程的特征分析。在進行一段段正弦周波特征分析時，人們除了對其幅度、頻率、相位、直流分量及其變化規律等予以特別關注外，其失真度或信噪比也是人們尤其關注的波形質量特征。它們通常包含了波形的畸變、噪聲、內外電路和空間場產生的各種電磁干擾等，例如多徑干擾、相鄰信道竄擾。有單次干擾、周期性干擾、隨機性干擾等不同種類。在復雜通訊信號全波形測量分析中，人們尤其關注每一個單獨周波以及少于一個周波的殘周期正弦周波的失真狀態。另外，在一些和低頻、超低頻測量與控制有關的場合，由于時間因素、成本因素、失真反饋控制因素等要求，也需要在殘周期條件下獲得其失真度特性。

正弦波形失真有多種定義［6-10］，包括單一諧波分量的諧波失真、能譜比較均衡平穩的噪聲失真、能譜明顯高于噪聲能譜但不屬于諧波分量的雜波失真、以及包含全部諧波、雜波、噪聲因素的總失真。它們通常都是在頻域定義及實現的，需要使用諧波分析的手段和方法。因其無法進行有效的諧波分析，故在殘周期條件下很難實現，只能借助于時域方法對其進行失真分析。

殘周期正弦曲線擬合為解決該問題迎來契機［11］，使得殘周期正弦曲線失真的評價成為可能。本文后續內容將主要討論少于一個周波的殘周期正弦波總失真度的測量評價，并試圖找到一種技術解決之道。

1 基本原理方法

1.1 殘周期正弦波總失真度

設帶有諧波失真的正弦波形y（t）為

式中：Δt為信號采樣間隔；N0為每個信號周期內含有的采樣點數；T為基波周期；f為基波頻率。

數據記錄序列為已知時刻t0，t1，…，tn-1的y（t）的采集樣本y0，y1，…，yn-1。四參數正弦曲線擬合過程，即為選取或尋找C1，f，φ1，A0，使式（5）所述殘差平方和ε最小。

由式（5）的ε最小，可得擬合函數為

擬合殘差有效值為

針對上述正弦波采樣序列y0，y1，…，yn-1，使用殘周期正弦曲線擬合法［11］，獲得擬合參數C1，f，φ1，A0，并計算擬合殘差有效值ρ。則有測量數據總失真度［6］

若無過高的準確度要求，可以使用Tdz表述被測殘周期正弦信號的總失真度，若需要對測量系統帶來的影響予以修正和補償時，可以按照式（9）計算獲得被測殘周期輸入信號的總失真度Tdi。

被測量輸入信號總失真度［6］為

式中：BD為測量系統的動態有效位數；η為被測信號幅度范圍與測量儀器量程范圍的比值。

1.2 殘周期正弦波的諧波失真

在上述殘周期四參數正弦波擬合的基礎上，按照式（4）可以計算出在已知采樣間隔Δt下，每個基波中所包含的樣本點數N0。而實際的采樣序列｛yi，i＝0，…，n-1｝為少于一個波形周期的殘周期序列，則有：

按式（10），（11）計算獲得周期信號y（t）的諧波分量參數Am和Bm（m＝1，2，…）。

按式（2），（3）計算諧波幅度Cm和相位φm。

設定最高諧波階次為M，則有信號y（t）的總諧波失真Tdh為［7-8］

2 實驗驗證

試驗裝置構成為［9］：

1）0.5 m大振幅、頻率范圍10 mHz～20 Hz的超低頻振動標準裝置；

2）A／D位數18 Bit、最高通道采集速率500 kSa／s、通道量程為±0.1～±10 V的NI PXI-6281型數據采集系統；

3）ASQ-1CA型位移傳感器。

使用超低頻振動標準裝置，輸出頻率為50.000 mHz、位移幅度3.632 cm的正弦振動波形，激勵位移傳感器，設定數據采集系統的量程為±2.5 V，采樣速率為200 Sa／s，數據樣本點個數8000點。用數據采集系統執行采集，獲得如圖1所示的振動波形。

圖1 位移傳感器輸出振動波形

執行四參數正弦波擬合［12］，擬合效果如圖2所示。其中包含測量曲線、擬合曲線以及測量曲線與擬合曲線之間的差異值曲線。獲得擬合參數為：擬合幅度2011.88 mV；頻率50.047 mHz；初相位-32.93°；直流分量100.26 mV；殘差有效值89.71 mV。

圖2 位移傳感器輸出振動波形及擬合曲線、曲線差

按照式（8）的總失真度定義計算，獲得該波形的總失真度為Tdz＝6.3%；按照式（9）計算Tdi≈Tdz。

從圖1中截取不足一個波形周期的殘周期正弦曲線如圖3所示。

執行殘周期四參數正弦波擬合［11］，擬合效果如圖4所示。其中包含測量曲線、擬合曲線以及測量曲線與擬合曲線之間的差異值曲線。

圖3 位移傳感器輸出振動波形殘部（約0.6個波形周期）

圖4 位移傳感器輸出振動波形殘周期擬合結果

獲得擬合參數為：擬合幅度1746.778 mV；頻率60.777 mHz；初相位124.67°；直流分量-279.4766 mV；殘差有效值50.03 mV。

按照式（8）的總失真度定義計算，獲得該波形的總失真度為Tdz＝3.5%；按照式（9）計算Tdi≈Tdz。

從多周期失真度和殘周期失真度評價結果比較情況看，兩者的量值存在差異，主要體現在局域擬合與總體擬合存在波形參數調控差異、波形失真分布不均造成的差異，它們都可能導致結果差異。兩者的差異不夠明顯時，將表明正弦曲線失真分布比較均衡。本文所述方法具有穩定性與可行性，從圖2和圖4的曲線波形及差異的均衡性也說明了這一點。

3 問題討論

綜上所述，以殘周期正弦擬合法為基礎，用時域方式，可以獲得殘周期正弦波形的總失真度評價結果。

也可確定其某一諧波的失真情況。進行諧波失真分析時，難點在于基波頻率參數的估計，即每周期采樣點數N0的確定，該問題使用殘周期正弦擬合可以獲得解決。當噪聲失真占比較大且分布比較均勻、隨機性明顯時，人們往往希望將噪聲失真部分剔除，只評價諧波、雜波等畸變類失真，應用本文方法，可以獲得諧波分析結果，但由于是殘周期狀態，其諧波分析結果誤差較大，理由是諧波失真結果遠大于總失真度評價結果，兩者差異巨大，很難進行實際應用。其原因主要是，殘周期擬合獲得的基波頻率相比多周期情況，誤差較大；其次是，殘周期因為信息不全，諧波之間正交性被破壞，導致各次諧波分量很難完全獨立，你中有我，我中有你，重復部分導致合成結果變大。

此外，也可以使用局域失真的定義及評價方法處理殘周期正弦波形失真［9］。即將波形按小鄰域進行細分，再將小鄰域內的波形失真細分為差模失真和共模失真，其差模失真的平均值，可視為噪聲失真的平均值的一種估計。在能量守恒的前提下，從總失真中剔除差模失真部分，將獲得只包含諧波、雜波類畸變失真的一種估計。相應的細節問題，有待后續研究予以解決。

4 結論

綜上所述可見，本文所述內容主要是以殘周期正弦擬合方法為基礎，用時域方式定義并實現了殘周期正弦波形總失真度的定量評估。并且經實驗證實，在此殘周期波形的基礎上，使用諧波分析方法，很難獲得其諧波失真的準確評價結果。

當殘周期逐步擴展成完整周期后，殘周期正弦失真的定義與評價方法與現有的正弦波形總失真度的定義完全相符合。屬于提供了一種全新的波形參數定義、分析方法和技術手段，豐富和拓展了正弦波形失真的定義范疇。

本文所述方法，在以正弦波為載波的復雜通訊信號全波形深入分析和超低頻振動等波形局部特征分析中，均有廣泛的價值和良好的應用前景。