廣義變系數(shù)BKP方程的lump解

楊 梅

(重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶 401331)

非線性演化方程對(duì)于描述非線性物理現(xiàn)象非常重要。研究這些非線性演化方程的解析解變得越來(lái)越重要。為了研究非線性方程，研究者們提出了許多方法，例如逆散射變換[1]，Darboux和B?cklund變換[2]和Hirota雙線性方法[3]。這些方法中的每一種都有其特點(diǎn)，但是Hirota雙線性方法更具啟發(fā)性，可以直接為大量非線性演化方程提供多孤子解。此外，將Hirota直接法與Riemann theta函數(shù)相結(jié)合是一種解決非線性演化方程精確的顯式周期波解的可行方法[4]。

本文調(diào)查如下(3+1)維廣義變系數(shù)B-type Kadomtsev-Petviashvili(BKP)方程[4]

(1)

其中u=u(x,y,z,t),hi(t)(i=1,2,3,4,5)是任意解析函數(shù)。它描述了弱色散準(zhǔn)介質(zhì)中的波傳播與流體力學(xué)。Tu等[4]基于貝爾多項(xiàng)式，分別推導(dǎo)了方程(1)多項(xiàng)式孤子解和雙線性形式。此外，通過(guò)使用黎曼θ函數(shù)，他們還構(gòu)造了方程的一周期和二周期波動(dòng)解。方程(1)包含了兩種重要的非線性發(fā)展方程。

(1) 當(dāng)h1(t)=1,h2(t)=-5,h3(t)=15,h4(t)=45,h5(t)=0,方程(1)變成一個(gè)(2+1)維非線性BKP方程[5]。

(2)、當(dāng)h1(t)=1,h2(t)=-5,h3(t)=15,h4(t)=45,h5(t)=χ,方程(1)變成一個(gè)(3+1)維非線性BKP方程[6]。

接下來(lái)，我們將利用Hirota雙線性方法求方程(1)的lump解,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)討論了lump解和不同類型孤子解之間的交互作用。

1 Lump解

定理1[4]作如下變換與限制

(2)

方程(1)有如下Hirota雙線性形式：

(3)

方程(3)的等價(jià)形式：

(4)

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

為了獲得(3+1)維廣義變系數(shù)BKP方程的lump解，我們假設(shè)方程(4)有如下形式的有理解

(5)

其中αi(i=1,2,3,6,7,8,10)都是待定常數(shù)，αi(t)(i=4,9,11)都是待定函數(shù)。將方程(5)代入方程(4),利用Mathematica軟件提取x2,y2,xy等自變量的系數(shù)令之為零，可得如下解

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(6)～式(10)代入式(2)和式(5)中，可以獲得式(1)5種不同的lump解。為了觀察lump解的物理結(jié)構(gòu)，我們將式(6)代入式(2)和式(5)中，并令

α1=α3=-2,α2=α7=-1,α5=α8=h1=1,α6=3,α10=-10,h5=0

此時(shí)方程(1)的lump解有如下形式

(11)

當(dāng)y=z=0,lump解(11)的物理結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1。

2 Lump解和雙曲函數(shù)的交互作用

為了考察lump解和雙曲函數(shù)的交互作用，我們假設(shè)

(12)

其中φi(i=1,2,3,5)都是待定常數(shù)，φi(t)(i=1,2)和φ4(t)都是待定函數(shù)。將方程(12)代入方程(4),利用Mathematica軟件提取x2,y2,xy,exp等函數(shù)的系數(shù)令之為零，可得如下解

(13)

其中λ1是積分常數(shù)。

我們將(13)代入方程(2)和(5)中，可得方程(1)如下形式的交互作用解

(14)

令

α1=α3=-2,α5=1,α6=3,α10=-10,λ1=-1,φ3=-2,φ5=-3,α11(t)=2,
h1(t)=h5(t)=t,y=z=0

可得交互作用解(14)的物理結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖2。

3 Lump解三角函數(shù)的交互作用

為了考察lump解和三角函數(shù)的交互作用，我們假設(shè)

(15)

將式(15)代入式(4),利用Mathematica軟件提取x2,y2,xy,cos等函數(shù)的系數(shù)令之為零，可得如下解

(16)

其中λ2是積分常數(shù)。

我們將(16)代入方程(2)和(5)中，可得方程(1)如下形式的交互作用解

(17)

令

α1=α3=-2,α5=1,α6=3,α10=-10,λ2=-1,φ3=-2,φ5=-3,

α11(t)=2,h1(t)=h5(t)=t,y=x=0

可得交互作用解(17)的物理結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖3。

4 總結(jié)

(3+1)維廣義變系數(shù)BKP方程方程在弱色散準(zhǔn)介質(zhì)中的波傳播與流體力學(xué)等領(lǐng)域中起著重要應(yīng)用。本文利用Hirota雙線性方法和Mathematica軟件[7-9]獲得廣義變系數(shù)BKP方程新lump解，同時(shí)討論了lump解與指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的交互作用，它們的物理結(jié)構(gòu)通過(guò)一些三維圖形和等高線圖形展示在圖1～圖3。