一類含參數的Caputo型分數階微分方程正解的唯一性

張 金， 汪 娜

(上海應用技術大學 理學院，上海 201418)

相較于整數階微分方程,分數階微分方程有較大的優勢。分數階微分方程對于事物變化規律的描述更為靈活與準確。因此,在實際生活中分數階微分方程應用廣泛。但是由于分數階微分方程的初值較為復雜,它們具備的某些物理意義也沒有被普遍認可,以至于分數階微分方程理論的發展依然處于起步階段。分數階微分方程邊值問題中對導數有限制,這對其研究造成了一定的難度。但由于其廣泛的實際應用價值、重要的理論意義以及開闊的研究前景,分數階微分方程理論成為當下眾多學者研究的熱點[1-4]。

早在300年前，分數階微積分就已被提出。分數階微分方程的研究需要綜合運用不同數學知識, 如實變函數、復變函數、積分變換、泛函分析、線性代數等。因此分數階微分方程的研究具有一定的難度和綜合性[5-6]。此外, 分數階微分方程與其他多種學科的聯系逐漸緊密, 分數階微分方程在運用于不同領域的同時, 其內容也變得越來越豐富。眾多學者對分數階微分方程及其應用進行了不少研究, 收獲頗豐。

分數階微分方程在數學領域的研究最多,馮子鑫等[7]研究了一類無窮區間上具有積分邊界條件的分數階微分方程邊值問題。作者先構造格林函數, 討論其相關性質, 再利用壓縮映象原理及單調迭代法, 研究此類邊值問題正解的存在性, 建立了若干正解存在的定理。在數值計算領域,劉寶強[8]基于變分迭代和DNA序列運算, 設計了一種改進的分數階微分方程數值解析算法優化了算法的性能。在復雜流體研究領域,潘明陽[9]首次建立了含有空間分數階導數的流動控制方程的相似變換公式, 研究了壁面射流和斗板繞流問題。

當前主要的分數階導數的類型有Caputo型、Riesz型、Riemann-Liouville型等分數階導數。其中Caputo型和Riemann-Liouville型分數階導數因為有廣闊應用背景且計算相對簡便, 所以應用更為廣泛。目前分數階微分方程理論的研究逐年遞增, 其中關于分數階微分方程解的存在性的研究最多, 而不動點定理是研究分數階微分方程邊值問題解存在的常用工具。但關于Caputo型分數階微分方程復雜邊值問題正解的存在性研究卻較少, 其原因在于：① Caputo型分數階微分方程邊值問題中對錐和算子的構造相對比較困難; ② 適合算子拉伸、壓縮的不等式證明, 以及算子在拉伸或壓縮過程中體現其對正解存在性的影響的結果不易得到。

近期,Zhai等[10]研究了含參數的非線性Caputo型分數階微分方程邊值問題：

(1)

式中:1<α≤2，0≤ξ≤η≤1且0≤μ1，μ2≤1，λ>0是一個參數；f(t,x):[0,1]×R+→R+是連續的，x對于t∈[0,1]是增函數。通過運用凹算子不動點定理，得到該問題存在唯一正解的充分條件。

賈建梅等[11]考慮了帶積分邊界條件的分數階微分方程的邊值問題：

(2)

受文獻[10-11]的啟發，本文研究一類含參數的Caputo型分數階微分方程

(3)

式中：n+1<α≤n+2且n∈N，λ>0是一個參數；p≥0，q≥0，p+q≠0；0<μ

本文將運用凹算子不動點定理得到邊值問題式(3)存在唯一正解的存在定理。

1 預備知識與研究工具

定義1函數φ:[0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville型積分定義為[12]

其中α>0，等式右邊在(0,+∞)上是逐點定義的。

Caputo型分數階微分定義可用Riemann-Liouville型積分算子Iα給出如下定義:

定義2函數φ:[0,+∞)→R的α階Caputo型微分定義為[12]

cDαφ(x)=In-αDnφ(x)=

其中α>0；[α]是指取實數α的整數部分；Γ函數對于n∈N，具有性質Γ(n)=(n-1)!。

定義3設D是E中的一個凸子集[13]。如果算子A:D→E滿足

A(tx+(1-t)y)≥tAx+(1-t)Ay,x,y∈D,t∈[0,1]

則稱A是凹算子。

定義4設是實Banach空間E中的錐并且e∈P/θ。集合Ee={x∈E:存在λ>0，使得 -λe≤x≤λe}，且

‖x‖e=inf{λ>0: -λe≤x≤λe}, ?x∈Ee.

易見Ee是范數為‖·‖e的賦范線性空間，其中 ‖x‖e稱為元素x的e—范數。

引理3[15]設錐P是正規的，則以下結論成立：

(1)Ee是具有e—范數的Banach空間，則存在常數m>0使得m‖v‖e,?v∈Ee；

(2)Pe=Ee∩P是Ee中的正規錐，且Pe={v∈Ee：存在τ=τ(v)>0使得v≥τe}。

引理4[16]設P是正規錐且算子A:P→P是凹的。假設Aθ?θ。則下列結論成立：

(1)存在0<λ?∞使得方程

v=λAv

(4)

在P中存在唯一解v(λ)，0≤λ<λ*；當λ≥λ*，則方程(4)在P中無解。

(2)對任意v0∈P，設v0(λ)=v0，vn(λ)=Avn-1(λ)，n=1,2,…，則當n→∞時，對0≤λ<λ*，有vn(λ)→v(λ)；

(3)v(·):[0,λ*)→P連續且強遞增(即，0≤λ1<λ2<λ*?v(λ1)?v(λ2))。而且對0≤λ<λ*，有v(tλ)≤tv(λ)，0≤t≤1；

(4)若存在v0∈P且λ0>0使得λ0Av0≤v0，則λ*>λ0。

引理5[16]若A:P→P是凹的，則A是遞增的。

引理6[16]設P是正規體錐且算子A:P0→P0是遞增的。若存在常數0

A(tv)≥trAv, ?v∈P0, 0

記vλ是方程Av=λv(λ>0)在P0中的唯一解，則

(1)vλ是強遞減的(即，0≤λ1<λ2<λ*?vλ1?vλ2)；

(2)vλ連續(λ→λ0(λ0>0)?‖vλ-vλ0‖→0)；

(3)limλ→∞‖vλ‖=0, limλ→0+‖vλ‖=∞。

引理7設φ(x)∈C[0,1]；n+1<α≤n+2且n∈N；p≥0，q≥0，p+q≠0；0<μ

(5)

其中ψ(t)=(n+1)p+n(n+1)q-μξn+1(1-t)。

證明由定義1及引理2，(5)中方程cΔαv(x)+h(x)=0等價于

(6)

由(4)中條件v(0)=v′(0)=…=v(n-1)(0)=v(n+1)(0)=0，得

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(11)代入式(7)得

(12)

當0≤x<ξ≤1時，有

當0≤ξ

故引理3得證。

引理8設n+1<α

(3)ψ(t)>0，且ψ(t)在[0,1]上為增函數；

(4)G(x,t)≥0,?x∈(0,1)。

證明當0≤t≤x≤ξ≤1時，有

α(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2-(n+1)μxn(ξ-t)α}=

(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t-(n-1)μxnCα(1-t)α-1}≥

且

α(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2-(n+1)μxn(ξ-t)α}=

(n+1)μxn(ξ-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≤

當0≤ξ≤t≤x≤1時，

(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-1+(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≥

且

(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-1+(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≤

當0≤x≤t≤ξ≤1時，有

(n+1)μxnξα(1-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≥

(n+1)μxnξn+1(1-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≥

且

(n+1)μxn(ξ-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≤

當0≤ξ≤x≤t≤1時，有

且

因此引理8(1)-(2)得證。由ψ(t)的表達式容易證明引理4(3)成立。由引理8(1)易見(4)成立。綜上引理8得證。

2 正解存在性

定理1假設f(x,·)是凹的，且存在常數α,β>0使得

f(x,0)≥0,f(x,1)≤β, ?x∈[0,1]

(13)

和

f(x,v)≤vf(x,1)-(v-1)f(x,0)≤βv

故對v∈P，有