面向臨近空間高機動目標(biāo)的改進(jìn)預(yù)測命中點規(guī)劃方法

尹中杰，劉 凱

(大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024)

0 引言

近年來，隨著高超聲速技術(shù)的發(fā)展，以美國為代表的軍事大國正在大力發(fā)展臨近空間高超聲速武器，并相繼完成了一系列的飛行試驗[1-7]，如X-43A、X-51A、HTV-2等，同時還提出了武器化的HSSW、AHW等項目，以及SR-72高超聲速平臺項目。2018年10月，美國陸軍太空與導(dǎo)彈防御司令(SMDC)披露，將與美國空軍、海軍和導(dǎo)彈防御局合作研制一型高超聲速滑翔飛行器，其中美國空軍和陸軍分別計劃在2022年前列裝“高超聲速常規(guī)打擊武器”(HCSW)和“遠(yuǎn)程高超聲速武器”(LRHW)。

由于高超武器帶來的威脅，相應(yīng)的攔截方案研究受到了各國的重視，而預(yù)測命中點設(shè)計更是因為計算時間長受到廣泛關(guān)注。預(yù)測命中點是攻擊彈、攔截彈同時間到達(dá)的一點，預(yù)測命中規(guī)劃是指在攔截彈發(fā)射前，通過算法計算出合理的攔截點，并為攔截彈裝訂相應(yīng)的諸元，使得攔截彈準(zhǔn)時精確地飛抵預(yù)測命中點的工作。為了完成預(yù)測命中點的設(shè)計，國內(nèi)外學(xué)者普遍采用基于標(biāo)準(zhǔn)彈道[8-16]的預(yù)測命中點規(guī)劃。

基于基本彈道的預(yù)測命中點設(shè)計是指攔截方提前通過對所有可以覆蓋的區(qū)域，繪制標(biāo)準(zhǔn)彈道族，并通過調(diào)整攔截彈發(fā)射方位角形成等時間攔截曲面，并結(jié)合攻擊方彈道尋找時間相同、位置重合的相遇點。該計算方法可以針對不同類型的目標(biāo)飛行器快速有效地尋找準(zhǔn)確的預(yù)測命中點。

由于需要攔截彈與目標(biāo)飛行器同一時間到達(dá)相同地點，所以解算攔截時間就是問題的關(guān)鍵。李轅等[8]、張建祥等[9]、尤劉球[10]提出了以航程或攔截彈狀態(tài)參數(shù)作為輸入迭代相遇時間的方法。在此基礎(chǔ)上， 張榮升等[11]通過以斜距為輸入進(jìn)行時間迭代，獲得攔截彈與目標(biāo)斜距相同的時間點，從而獲得相應(yīng)的攔截彈彈道。但是高超武器機動性強，彈道形式復(fù)雜，預(yù)測彈道上可能存在多個斜距相同的點，僅通過斜距無法描述預(yù)測命中點的信息，可能導(dǎo)致攔截失敗。而且由于算法原因，標(biāo)準(zhǔn)彈道族要逐一時間、逐一彈道與目標(biāo)進(jìn)行位置比對，耗時較多。

隨著攔截任務(wù)的明確與優(yōu)化算法的應(yīng)用，標(biāo)準(zhǔn)彈道族也可以根據(jù)所需的性能指標(biāo)，進(jìn)行有針對的設(shè)計。盛永智等[13]首先對攔截任務(wù)進(jìn)行分析，并針對不同戰(zhàn)場情況提出了相應(yīng)的性能指標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，謝經(jīng)緯等[14]針對不同作戰(zhàn)需求設(shè)計了不同類型的標(biāo)準(zhǔn)彈道族，大體分為考慮攔截時間需求的標(biāo)準(zhǔn)彈道族與考慮效費比的標(biāo)準(zhǔn)彈道族，并根據(jù)防御方探測系統(tǒng)首次捕獲到目標(biāo)的時間選取針對相應(yīng)需求的標(biāo)準(zhǔn)彈道族，從而提高攔截效率。但是上述算法均只考慮了當(dāng)前時刻的預(yù)測命中點規(guī)劃問題，并沒有對發(fā)射時間窗口計算問題進(jìn)行深入研究，具有一定的局限性。

針對以上問題，本文采用建立標(biāo)準(zhǔn)彈道族結(jié)合斜距單調(diào)化與時間搜索算法的方式解決因機動造成的目標(biāo)飛行器與攔截陣地斜距非線性存在多個斜距相同點，導(dǎo)致獲得錯誤預(yù)測命中點的問題。利用攔截彈標(biāo)準(zhǔn)彈道族的物理特性增加判斷條件，降低計算量，解決運算耗時長的問題，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)換的思想設(shè)計發(fā)射時間窗口計算方法，從而快速準(zhǔn)確完成預(yù)測命中點設(shè)計與發(fā)射時間窗口計算工作。

1 攔截彈動力學(xué)建模與問題描述

1.1 質(zhì)點動力學(xué)模型

模型考慮地球自轉(zhuǎn)、球形大地假設(shè)，在發(fā)射坐標(biāo)系下建立攔截彈質(zhì)點動力學(xué)模型，根據(jù)攔截彈的特性完成坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化、受力分析并建立動力學(xué)方程。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

h=r-R

(9)

(10)

式中，x、y、z為發(fā)射系x、y、z軸位置，Vx、Vy、Vz為發(fā)射系x、y、z軸速度，θ、σ為發(fā)射系下彈道傾角、彈道偏角，D、L、Z、P分別為阻力、升力、側(cè)向力、推力，Mfv為發(fā)射系與速度坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，h、r分別為高度、地心距，m為攔截彈質(zhì)量，g0為地表重力加速度，Re為地球半徑，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度，ωex、ωey、ωez為發(fā)射系下地球自轉(zhuǎn)角速度分量。

1.2 問題描述

預(yù)測命中點是預(yù)先計算來襲目標(biāo)和攔截彈的飛行彈道, 確定出瞬時遭遇點, 即預(yù)測命中點, 當(dāng)預(yù)測命中點確定后，就導(dǎo)引攔截彈向其接近。

基于此，預(yù)測命中點規(guī)劃問題可以描述為：結(jié)合預(yù)報彈道與標(biāo)準(zhǔn)彈道族，通過搜索算法尋找滿足時間約束、位置約束的攔截點。并為攔截彈裝訂相應(yīng)的諸元，確保其準(zhǔn)時精確到達(dá)攔截點，如圖1所示。

圖1 攔截示意圖Fig.1 Interception schematic

約束條件如下：

x(tf)=xtf
y(tf)=ytf
z(tf)=ztf

(11)

其中，tf為預(yù)測飛行時間，xtf、ytf、ztf為預(yù)測命中點在發(fā)射坐標(biāo)系下的位置。

考慮到攔截過程有延遲發(fā)射的需求，需要計算發(fā)射時間窗口。發(fā)射窗口是指在基于當(dāng)前標(biāo)準(zhǔn)彈道族，即使推遲發(fā)射，依舊存在預(yù)測命中點可行解的時間區(qū)間。

基于此，時間窗口計算問題可以描述為：結(jié)合目標(biāo)預(yù)報彈道與標(biāo)準(zhǔn)彈道族，通過搜索算法獲得可發(fā)射攔截彈至預(yù)測命中點的延遲時間區(qū)間。

2 預(yù)測命中點規(guī)劃

2.1 現(xiàn)有方法的問題

現(xiàn)有方法普遍基于攔截陣地與目標(biāo)之間的斜距進(jìn)行時間的迭代，通過假設(shè)目標(biāo)飛行器與發(fā)射陣地斜距是不斷縮小，選取時間t0，將目標(biāo)飛行器與發(fā)射陣地斜距ra與攔截彈斜距rd相對比，若ra>rd則t0增加，反之減小，通過迭代的方式獲得ra=rd的時間t1，從而獲得相應(yīng)的攔截彈彈道。而高超聲速飛行器會因為多種因素，導(dǎo)致距離攔截陣地的斜距不單調(diào)，即彈目距離不斷縮小的假設(shè)不成立。此時基于上述原則的時間迭代方向可能存在錯誤，這使得依靠現(xiàn)有方法解算預(yù)測命中點時，存在即使有可行解卻搜索不到的問題。

當(dāng)目標(biāo)飛行器基于感知信息發(fā)現(xiàn)攔截陣地，會通過機動遠(yuǎn)離攔截陣地，當(dāng)離開攔截陣地一定距離后再次修正航向。這就導(dǎo)致預(yù)測彈道上存在若干斜距相同的點的情況，使得目標(biāo)飛行器與攔截陣地的斜距時而降低，時而增加。此時如果僅僅考慮斜距ra=rd，依舊采用ra>rd則t0增加，反之減小的迭代原則，可能會導(dǎo)致在時間迭代跳入斜距單調(diào)遞增的區(qū)間后，被提供了錯誤收斂方向，在迭代達(dá)到上限后，輸出錯誤的預(yù)測命中點，導(dǎo)致攔截失敗，如圖2所示。

圖2 斜距非單調(diào)示意圖Fig.2 Diagonal non-monotonic sketch

除此之外，目標(biāo)飛行器的打擊目標(biāo)不在攔截陣地的覆蓋范圍內(nèi)，目標(biāo)飛行器彈道穿過攔截陣地覆蓋范圍。此時必然存在兩個以上的斜距相同的點，致使斜距不單調(diào)，這同樣會導(dǎo)致預(yù)測命中點計算錯誤。

基于以上問題，這里提出了攔截時間區(qū)間的思想，將目標(biāo)與攔截陣地之間的斜距進(jìn)行單調(diào)化處理，確保在攔截區(qū)間內(nèi)任意特定斜距只存在唯一解，來解決斜距解算無法收斂到正確解的問題。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)彈道族設(shè)計

標(biāo)準(zhǔn)彈道設(shè)計采用目前工程規(guī)劃方法中典型的多級運載火箭上升段指令生成規(guī)律進(jìn)行設(shè)計。該方法將火箭上升過程分為若干飛行階段，每段設(shè)定固定的程序角變化率指令形式，而這些指令由有限個參數(shù)決定，根據(jù)任務(wù)需求預(yù)先進(jìn)行優(yōu)化得到這些參數(shù)及其對應(yīng)程序指令，裝訂在助推器系統(tǒng)中，上升段飛行過程中利用姿態(tài)控制系統(tǒng)實現(xiàn)程序指令即可。為尋求彈道軌跡的快速生成，將整個上升段分為3段，包括垂直上升段(0-T11)、負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段(T11-T12)、重力轉(zhuǎn)彎段(T12-T13)。

(1)垂直上升段

(12)

式中，1/v0為推重比。

(2)負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段

在轉(zhuǎn)彎段中，T11到T12為負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段，如圖3所示。在之后的大動壓段一般依靠重力的法向分量緩慢的轉(zhuǎn)彎，即重力轉(zhuǎn)彎段(T12～T13)。

圖3 攻角變化規(guī)律曲線Fig.3 Angle of attack variation with time

在負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段中，根據(jù)實際要求，攻角變化規(guī)律可以由經(jīng)驗公式給出

α(t)=-αm·sin2f(t)

(13)

(3)重力轉(zhuǎn)彎段

此段內(nèi)程序攻角為0°，攔截彈全程飛行俯仰角近似公式為

(14)

當(dāng)確定了T11、T12、T13，所選取的攔截彈彈道控制變量就可以確定為助推段負(fù)攻角大小和發(fā)射方位角。

由此，以攔截陣地為原點(0，0，0)在最大負(fù)攻角區(qū)間αm∈[αmmin,αmmax]中，每隔Δα積分標(biāo)準(zhǔn)彈道，再由tmin開始，將隔條攔截彈道中時間為tmin的點連接，構(gòu)成等時間線，等時間線遵守tmin至tmax每間隔Δt連接一條的原則。由此可以獲得完整的標(biāo)準(zhǔn)彈道族，如圖4所示。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)彈道族Fig.4 Standard trajectories collection

2.3 目標(biāo)飛行器攔截時間段劃分

為解決不同時間、斜距相同的問題，需要對目標(biāo)飛行器進(jìn)行攔截區(qū)域劃分，并分段討論。

首先，獲得斜距與時間的關(guān)系，確定一定時間內(nèi)的斜距極值點個數(shù)n與相對應(yīng)的時間tn，由此將攔截時間分為n+1段，時間段為t∈[ti-1,ti],i∈[0,n+1]，由此確保在規(guī)定時間段內(nèi)，斜距變化是單調(diào)的，不存在斜距相同的可能，如圖5所示。

圖5 目標(biāo)飛行器與攔截陣地斜距-時間圖Fig.5 Range-time diagram of target vehicle and interception position

2.4 基于搜索算法的預(yù)測命中點計算

通過對攔截時間的劃分可以確保在對應(yīng)的時間段內(nèi)，目標(biāo)飛行器與攔截陣地的斜距是單調(diào)遞增(遞減)的，可以通過t時刻，目標(biāo)飛行器的經(jīng)緯度與高度與攔截彈的經(jīng)緯度與高度是否相同來迭代預(yù)測命中點時間t與發(fā)射方位角af。但是由于攔截彈的發(fā)射方位角度af∈[0,360]，負(fù)攻角α∈[αmin,αmax]，產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)彈道族巨大，所以逐一時間、逐一標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行對比是不現(xiàn)實的，需要利用標(biāo)準(zhǔn)彈道族的物理特性基于新的搜索算法進(jìn)行預(yù)測命中點搜索，提高運算效率。

攔截彈的可控變量有3個，分別是攔截彈的最大負(fù)攻角、發(fā)射方位角、飛行時間。最大負(fù)攻角與飛行時間共同決定了攔截彈的飛行高度、飛行距離，發(fā)射方位角決定攔截彈的飛行方向。其中飛行方向只與發(fā)射方位角有關(guān)，但是剩余兩項存在耦合現(xiàn)象。

因此，搜索算法可以在標(biāo)準(zhǔn)彈道族中先篩選滿足水平航程的攔截時間區(qū)間[tmin，tmax]，再根據(jù)目標(biāo)飛行器的飛行高度在攔截時間區(qū)間[tmin，tmax]，及負(fù)攻角區(qū)間[αmin,αmax]中搜索滿足高度條件的飛行時間tf及負(fù)攻角α，最后利用tf時刻的目標(biāo)飛行器位置確定發(fā)射方位角af，確定攔截彈的飛行軌跡，從而裝訂發(fā)射諸元。

根據(jù)攔截條件可知，只有全部滿足高度、水平航程、飛行方向條件的攔截彈才具有攔截的能力，缺少任意條件均無法有效攔截。但是一次性完成3個條件的篩選，算法過于復(fù)雜，所以可以率先篩選出滿足水平航程的攔截時間區(qū)間作為攔截時間估計區(qū)域，并在后續(xù)步驟中進(jìn)一步篩選符合高度條件的時間點，確定最大負(fù)攻角，最后計算發(fā)射方位角。具體步驟如下：

(1)初步估計時間區(qū)間[tmin，tmax]

根據(jù)攔截彈的物理特性可知，相同時間內(nèi)，最大負(fù)攻角最大的攔截彈軌跡水平航程最大，則通過搜索最大負(fù)攻角最大的攔截彈道與目標(biāo)彈道中同一時刻水平航程誤差最小的點，就可以獲得tmin。

假設(shè)初始飛行時間為t1，并通過目標(biāo)飛行器預(yù)報信息計算出該時刻的發(fā)射方位角，同時獲得t1時刻的目標(biāo)飛行器與攔截陣地的水平距離La1、t1時刻最大負(fù)攻角最大的攔截彈水平距離Ld1，誤差為ΔL1；獲得攔截彈攔截窗口終端t3時刻的目標(biāo)飛行器與攔截陣地的水平距離La3、t3時刻最大負(fù)攻角最大的攔截彈水平距離Ld3，誤差為ΔL3；獲得中間時刻t2的目標(biāo)飛行器與攔截陣地的水平距離La2、t2時刻與最大負(fù)攻角最大的攔截彈水平距離Ld2，誤差為ΔL2。

這里分為4種情況，并設(shè)計搜索算法：

① ΔL1>0, ΔL3>0時，說明該時間區(qū)域內(nèi)沒有攔截的可能，搜索結(jié)束。

② ΔL1<0, ΔL2<0時，說明該時間區(qū)域內(nèi)沒有攔截的可能，搜索結(jié)束。

圖6 時間搜索示意圖Fig.6 Time search diagram

確定了tmin，即可利用tmin，縮小tmax的搜索范圍。同理，相同時間內(nèi)，最大負(fù)攻角最小的攔截彈軌跡水平航程最小，則通過搜索最大負(fù)攻角最小的攔截彈道與目標(biāo)彈道中同一時刻水平航程誤差最小的點，就可以獲得tmax。

假設(shè)初始飛行時間t1=tmin，并通過目標(biāo)飛行器預(yù)報信息計算出該時刻的發(fā)射方位角，同時獲得t1時刻的目標(biāo)飛行器與攔截陣地的水平距離La1、t1時刻最大發(fā)射傾角的攔截彈水平距離Ld1，兩者誤差為ΔL1；獲得攔截彈攔截時間區(qū)域終端t3時刻的目標(biāo)飛行器與攔截陣地的水平距離La3、t3時刻最大負(fù)攻角最小的攔截彈水平距離Ld3，兩者誤差為ΔL3；獲得中間時刻t2的目標(biāo)飛行器與攔截陣地的水平距離La2、t2時刻與最大負(fù)攻角最小的攔截彈水平距離Ld2，誤差為ΔL2。并再次利用二分法確定最大值tmax。

(2)標(biāo)準(zhǔn)彈道選取

由于前期的發(fā)射時間估計區(qū)域的確立，根據(jù)t∈[tmin,tmax]的目標(biāo)飛行器的位置信息確定t時刻相對應(yīng)的攔截彈發(fā)射方位角af∈[afmin,afmax]，根據(jù)目標(biāo)飛行器的高度，確定與目標(biāo)飛行器距離誤差最小的負(fù)攻角α，存儲t時刻ΔLt，最后選取t∈[tmin,tmax]中ΔLt最小的彈道作為攔截彈道。

具體流程圖如圖7、圖8所示。

圖7 篩選流程圖Fig.7 Screening flow

2.5 發(fā)射時間窗口計算

由于攔截任務(wù)的需要，攔截彈可能需要延時發(fā)射，所以有必要計算出可行的攔截彈延時發(fā)射時間區(qū)間以及相關(guān)諸元。

由于攻擊彈與攔截陣地的斜距可以轉(zhuǎn)化為距離攔截陣地的水平距離與垂直距離，同理攔截彈與攔截陣地的斜距也可以轉(zhuǎn)化為距離攔截陣地的水平距離與垂直距離。以水平距離為橫坐標(biāo)，垂直距離為縱坐標(biāo)，不同標(biāo)準(zhǔn)彈道與預(yù)報彈道的交點就是可能的預(yù)測命中點。由于攻擊彈到達(dá)可能的預(yù)測命中點的時間t4與攔截彈到達(dá)可能的預(yù)測命中點的時間t5是已知的，只要滿足t4>t5就認(rèn)為是可選的預(yù)測命中點。通過比較所有的可選預(yù)測命中點，得到最大的延遲時間Δt=max(t4-t5)，則獲得攔截時間窗口t∈[0,Δt]，并通過t4時刻的目標(biāo)位置計算出相對應(yīng)的發(fā)射方位角af。

3 仿真分析

3.1 仿真輸入

設(shè)目標(biāo)飛行器初始飛行速度Ma=10，初始為平衡滑翔狀態(tài)，60s～80s只進(jìn)行縱向機動，80s～120s只進(jìn)行橫向機動。攔截陣地經(jīng)緯度為(-3.9°，79.8°)，目標(biāo)飛行器發(fā)現(xiàn)點經(jīng)緯度為(-2.10°，80.58°)，滿足預(yù)報精度誤差的預(yù)報時間為120s，如圖9所示。

圖8 預(yù)測命中點及發(fā)射諸元解算流程圖Fig.8 Flow charts for predicted impact point and launch data calculation

圖9 目標(biāo)軌跡圖Fig.9 Trajectory diagram

3.2 預(yù)測命中點規(guī)劃仿真分析

由于目標(biāo)飛行器可能存在機動，所以斜距與飛行時間不是簡單的線性關(guān)系，需要對目標(biāo)預(yù)報彈道進(jìn)行單調(diào)化處理，具體關(guān)系如圖10所示。

圖10 目標(biāo)飛行器、攔截陣地斜距—時間圖Fig.10 Range-time diagram of target vehicle and interception position

由圖10可見，目標(biāo)飛行器與攔截陣地斜距先降低后增加，所以發(fā)射窗口被分為兩個區(qū)間，分別為t∈[0,90],t∈[90,120]。

在t∈[0,90]區(qū)間內(nèi)，通過迭代發(fā)現(xiàn)在89s時，發(fā)射方位角為-35.73°，負(fù)攻角為-10.26°，預(yù)測命中點為(-3.6°，79.7°)，此時采用標(biāo)稱彈道的攔截彈與目標(biāo)的預(yù)報位置誤差為0.52km，可以通過后續(xù)的末制導(dǎo)環(huán)節(jié)進(jìn)行修正，認(rèn)為符合攔截條件，如圖11所示。

圖11 攔截示意圖Fig.11 Interception schematic

在t∈[90,120]區(qū)間內(nèi)，通過迭代沒有發(fā)現(xiàn)滿足當(dāng)前時刻發(fā)射的攔截點，所以符合命中條件的預(yù)測命中點只有一個，為(-3.6°，79.7°)，計算用時0.2s。

3.3 攔截時間窗口計算仿真分析

通過對發(fā)射窗口計算，發(fā)現(xiàn)最大延遲時間為11s，發(fā)射方位角為-82.19°，負(fù)攻角為-12.25°,預(yù)測命中點(-3.9°，79.4°)，此時采用標(biāo)稱彈道的攔截彈與目標(biāo)的預(yù)報位置誤差為0.34km，同樣可以通過后續(xù)的末制導(dǎo)環(huán)節(jié)進(jìn)行修正，計算用時0.3s，如圖12所示。

圖12 最大延遲時間攔截示意圖Fig.12 Maximum delay time interception diagram

針對拋物線彈道延遲發(fā)射諸元如表1所示。

由表1可知，由雷達(dá)首次發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的時刻至隨后的11s內(nèi)，隨著攔截高度的降低，最大負(fù)攻角幅值變大。同時所有選取的時間節(jié)點均有攔截彈道可以準(zhǔn)時飛抵預(yù)測命中點，可以認(rèn)為在0s～11s這個攔截窗口內(nèi)攔截窗口時間連續(xù)，所有的預(yù)測命中點均有標(biāo)準(zhǔn)彈道與其相對應(yīng)。

表1 延時發(fā)射諸元表

4 結(jié)論

本文針對臨近空間高機動飛行器機動能力強，所帶來的彈道中存在多個斜距相同的點，導(dǎo)致基于斜距迭代預(yù)測命中點的方法不適用的問題，通過彈道劃分的方法，保證了每個搜索區(qū)間的斜距具有單調(diào)性。在此基礎(chǔ)上利用改進(jìn)的快速搜索算法，準(zhǔn)確有效地完成預(yù)測命中點規(guī)劃與發(fā)射時間窗口計算。考慮高超聲速飛行器預(yù)報精度差，所帶來的更新后的預(yù)測命中點與原有預(yù)測命中點位置偏差較大的問題，未來將開展攔截彈道在線快速糾偏方法的研究，來彌補此方面的不足。