PISA下一次函數(shù)行程問(wèn)題的圖象表征

【摘要】初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題常以行程問(wèn)題呈現(xiàn)，直觀展示甲、乙兩對(duì)象的行程、速度、時(shí)間的一次函數(shù)關(guān)系，速度為常數(shù)而常見(jiàn)于各類行程問(wèn)題。PISA下以學(xué)生反饋為例，綜合分析學(xué)生思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生理解，并學(xué)會(huì)繪制函數(shù)圖象，培養(yǎng)表征基本能力。

【關(guān)鍵詞】PISA? 一次函數(shù)? 行程問(wèn)題? 圖象? 表征

“基于PISA測(cè)評(píng)三角的初中數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)模式研究”以課堂學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，研究初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及其測(cè)評(píng)。表征，是PISA測(cè)評(píng)中數(shù)學(xué)七種基本能力之一，旨在解決問(wèn)題的過(guò)程中，使用數(shù)學(xué)工具解釋、翻譯、描述數(shù)學(xué)問(wèn)題和情境。

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P108頁(yè)有這樣一道復(fù)習(xí)題：A、B兩地相距25km。甲8：00由A地出發(fā)騎自行車(chē)去B地，平均速度為10km/h;乙9：30由A地出發(fā)乘汽車(chē)也去B地，平均速度為40km/h。①分別寫(xiě)出兩個(gè)人的行程關(guān)于時(shí)刻的函數(shù)解析式;②乙能否在途中超過(guò)甲？如果能超過(guò)，何時(shí)超過(guò)？從反饋來(lái)看，學(xué)生不知如何畫(huà)函數(shù)圖象，其表征能力欠缺。復(fù)習(xí)課中要引導(dǎo)思考，提升表征能力。

一、確定計(jì)時(shí)起點(diǎn)，直觀表征題干信息

（一）以8：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求函數(shù)解析式

第（1）問(wèn)，設(shè)甲、乙的行程分別為y1km、y2km，時(shí)間為xh。此題的一個(gè)難點(diǎn)之一就是學(xué)生不易確定計(jì)時(shí)起點(diǎn)，當(dāng)教師啟發(fā)學(xué)生確定8：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)0 h，那么9：30即為1.5 h，學(xué)生易得出：y1=10x（x≥0），y2=40（x-1.5）（x≥1.5），即：y1=10x（x≥0），y2=40x-60（x≥1.5），其圖象如圖1所示。

甲、乙的速度分別為v1=10km/h、v2=40km/h，即行程y1、y2是關(guān)于時(shí)間x的一次函數(shù)，考慮到圖象繪制的便捷性，盡量使其中一條直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)的一次函數(shù)即為正比例函數(shù)，這樣就需要考慮“哪個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x，y），即點(diǎn)（時(shí)間，行程）的坐標(biāo)為（0，0）”，學(xué)生自然理解其含義為：當(dāng)時(shí)間x=0時(shí)，行程y=0，即計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲（或乙）正準(zhǔn)備出發(fā)1。

（二）以0：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求函數(shù)解析式

雖然以8：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)比較科學(xué)，但是仍有部分學(xué)生習(xí)慣以0：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，于是引導(dǎo)學(xué)生思考討論得出：y1=10（x-8）（x≥8），y2=40（x-9.5）（x≥9.5），即：y1=10x-80（x≥8），y2=40x-380（x≥9.5）。

由于以0：00為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，甲、乙均沒(méi)有“正準(zhǔn)備出發(fā)”，到了8 h時(shí)，甲才“正準(zhǔn)備出發(fā)”，所以甲的圖象過(guò)（8，0），并且在第一象限內(nèi)行程y1隨時(shí)間x的增大而增大，所以定義域?yàn)閇8，+∞）;到了9.5 h時(shí)，乙才“正準(zhǔn)備出發(fā)”，所以乙的圖象過(guò)（9.5，0），并且在第一象限內(nèi)行程y2隨時(shí)間x的增大而增大，所以定義域?yàn)閇9.5，+∞）。這里有個(gè)繪圖小技巧：由于平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)橫軸和縱軸表示的含義不一樣時(shí)，單位一般是不一樣的，于是橫軸的單位1與縱軸的單位1可以不等長(zhǎng)，于是可以在橫軸上運(yùn)用“壓縮軸”符號(hào)表示，若縱軸需要，亦然。

（三）以9：30為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求函數(shù)解析式

經(jīng)過(guò)啟發(fā)，學(xué)生提問(wèn)：可否以乙的出發(fā)時(shí)間為起點(diǎn)呢？于是學(xué)生以9：30為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求甲、乙行程與時(shí)間的一次函數(shù)解析式，得：y1=10×1.5+10x（x≥0），y2=40x（x≥0），即：y1=10x+15（x≥0），y2=40x（x≥0）。

由于實(shí)際問(wèn)題中的行程y和時(shí)間x均為非負(fù)數(shù)，所以該函數(shù)圖象可以只用第一象限部分來(lái)表示。以9：30為計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)，乙的行程y=0，即乙的圖象是過(guò)（0，0）的一次函數(shù);而甲從8：00到9：30實(shí)際上已經(jīng)行駛了1.5小時(shí)，此時(shí)甲在乙的前方距離乙10×1.5=15（km）處，所以甲的圖象的截距b=15，二者均是增函數(shù)，于是得出圖3。

二、由特殊到一般化，抽象表征題干信息

三輪啟發(fā)后，學(xué)生思維異?；钴S，開(kāi)始思考以任意時(shí)間m為計(jì)時(shí)起點(diǎn)的情況。

（一）從計(jì)時(shí)起點(diǎn)分類來(lái)分析

通過(guò)學(xué)生的獨(dú)立思考、合作交流，將問(wèn)題一般化，分類討論得出：

①當(dāng)0≤m≤8時(shí)，y1=10[x-（8-m）]（x≥8-m），y2=40[x-（9.5-m）]（x≥9.5-m），即：y1=10x+10m-80（x≥8-m），y2=40x+40m-380（x≥9.5-m）。

②當(dāng)8

③當(dāng)m≥9.5時(shí)，y1=10×（m-8）+10x（x≥0），y2=40×（m-9.5）+40x（x≥0），即y1=10x+10m-80（x≥0），y2=40x+40m-380（x≥0）。

綜上，y1=10x+10m-80，y2=40x+40m-380（取第一象限部分的圖象）。

（二）從函數(shù)圖象平移來(lái)分析

實(shí)際上，學(xué)生在進(jìn)一步學(xué)習(xí)“左加右減”的坐標(biāo)平移法則后，不難得到圖1中的函數(shù)圖象向右平移p個(gè)單位后的函數(shù)圖象：y1=10（x-p），y2=40（x-p）-60。

①當(dāng)p=0時(shí)，表示圖象未平移，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)為8：00。

②當(dāng)p>0時(shí)，表示圖象向右平移p個(gè)單位，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)為8：00以前p小時(shí)。

③當(dāng)p<0時(shí)，表示圖象向左平移p個(gè)單位，即計(jì)時(shí)起點(diǎn)為8：00以后p小時(shí)。

上述三種情況，兩條直線相交于點(diǎn)（p+2，20），即當(dāng)時(shí)間為（p+2）h時(shí)，乙趕上并開(kāi)始超過(guò)甲，此時(shí)行程為20km，第（2）問(wèn)得解。

三、“四步法”繪制行程問(wèn)題的函數(shù)圖象

“四步法”的第一步是繪制橫軸、縱軸時(shí)，需明確橫縱軸表示的含義、用哪個(gè)字母表示，單位是什么;第二步，標(biāo)出橫縱軸的“特殊刻度”，比如橫軸上，以8：00為起點(diǎn)0，那么9：30記為1.5，甲、乙相遇時(shí)刻10：00記為2;第三步，確定函數(shù)圖象的“特殊點(diǎn)”：起點(diǎn)、終點(diǎn)、最低點(diǎn)、最高點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、交點(diǎn)等，特別是交點(diǎn)坐標(biāo)的求解;第四步，描點(diǎn)、連線即可。

綜上，由于橫縱軸表示的含義不一樣，自然就可以靈活調(diào)整橫縱軸“單位1”的長(zhǎng)度，也可根據(jù)需要表征出壓縮軸。數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生解碼文本，理解題干的含義，用直觀的符號(hào)、圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換并表達(dá)出數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)起著關(guān)鍵作用。

基金項(xiàng)目：貴州省基礎(chǔ)教育科研重點(diǎn)課題（2016A005）基于PISA測(cè)評(píng)三角的初中數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)模式研究。

作者簡(jiǎn)介：高小軍，遵義師范學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高級(jí)教師，西南大學(xué)國(guó)培計(jì)劃項(xiàng)目培訓(xùn)教師，貴州省教育智庫(kù)專家成員、省名師工作室成員，遵義市教學(xué)名師、骨干教師，主要從事初中教育管理及研究。