雙框架控制力矩陀螺框架系統的擾動觀測及抑制

李海濤，宋 鵬，侯 林

(北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191)

1 引 言

雙框架磁懸浮控制力矩陀螺(Double Gimbals Magnetically Suspended Control Moment Gyroscope, DGMSCMG) 具有輸出力矩大、精度高、能輸出兩個自由度的陀螺力矩等優點，因此對空間站和衛星姿態控制系統非常有吸引力[1]。DGMSCMG主要由磁懸浮高速轉子系統和框架系統組成，它的輸出力矩可以表示為M=H×ω，其中H是高速轉子角動量，ω為框架系統角速度，M是輸出陀螺力矩[2]?？梢钥闯鲈诟咚俎D子角動量H恒定時，框架系統的角速度ω直接影響陀螺輸出轉矩M的精度[3]。此外，由于輸出陀螺轉矩的精度影響航天器的穩定性和姿態控制精度，因此實現框架系統的高精度角速度跟蹤控制至關重要。

框架系統是一個超低速的機械伺服系統，內外框架產生的非線性耦合力矩[4]、非線性的摩擦力矩[5]和未建模動態[6]是影響框架系統角速率精度的主要因素。近年來，各種控制方法已被用于處理DGMSCMG框架系統中的干擾問題。文獻[6]設計了狀態反饋線性化控制器來解決高速轉子與框架系統之間的耦合轉矩問題，通過在自適應滑?？刂破髦幸敕答佈a償，對線性化后的耦合力矩進行抑制?？紤]到框架系統與陀螺房中高速轉子之間的耦合力矩以及外部干擾問題，文獻[7]提出了一種自適應逆控制方法來抑制擾動，提高了系統性能。上述方法通過引入反饋補償來抑制干擾。然而，大多數干擾不能用傳感器來測量，這使得干擾估計成為一種廣泛使用的方法。在過去的幾十年里，由韓京清教授提出的擴張狀態觀測器(Extend State Observer, ESO)得到了充分的發展[7-9]。在ESO理論中，將系統內部動態和外部干擾認為是“集總干擾”，進而擴展為系統的新狀態[10]，對于m階系統，需要建立m+1階ESO，配置m+1個參數[11]。通過ESO對集總擾動進行估計，同時結合合適的控制方法如滑模控制和H控制等傳統的魯棒反饋控制方法，可以補償和消除干擾。作為一種自抗擾控制方法，基于ESO的控制方法已經廣泛應用于電機[12]、MEMS系統[13]等工程實踐中[14]。

文獻[15]提出了一種基于三階ESO振動抑制的控制方法來解決DGMSCMG框架系統中存在較低頻率諧振點的問題。然而，限制ESO應用的一個因素是，如果系統狀態方程的階數大于2，則很難在實際應用中配置滿足系統精度要求的ESO參數[16]，而針對高階系統ESO參數配置方法仍在討論中。在文獻[16]中，張榮等人提出了級聯ESO(Cascade Extended State Observer, CESO)的概念。文獻[17]提出了一種基于狀態反饋和CESO的復合控制器，以提高框架角速度的精度，該控制器性能穩定，但所使用的是線性CESO，不能在小參數配置下快速跟蹤系統的狀態和干擾。

本文研究了基于非線性級聯擴張狀態觀測器(Nonlinear Cascade Extended State Observer,NCESO)和滑?？刂频膹秃峡刂破?，以抑制DGMSCMG框架角速率伺服控制系統中存在干擾的問題。該方法主要有兩個顯著特點。首先，使用NCESO對集總干擾進行估計，既解決了傳統ESO階數較高時參數難以配置的問題，同時也提高了線性CESO的估計精度。其次，通過結合滑?？刂破骺梢杂行б种瓶蚣芟到y的干擾，而滑?？刂破鞯拈_關增益只需要設計的比干擾估計誤差的界限大而不是比干擾大，就可以緩解抖振問題。通過仿真和實驗驗證了所提方法對框架系統進行干擾抑制的有效性。

2 DGMSCMG框架伺服系統的數學建模及干擾分析

(1)

圖1 DGMSCMG坐標定義Fig.1 Coordinate definition of DGMSCMG

(2)

其中：ux和uy是框架力矩電機的控制電壓，Rx和Ry是力矩電機的定子電阻，Lx和Ly是電感，Cex和Cey是反電動勢系數。

(3)

(4)

在實際系統中，框架角速度是有界可微的，因此總干擾f是有界的。

3 基于NCESO的復合控制器設計及系統穩定性分析

3.1 傳統非線性ESO設計

根據文獻[9]可構建如下傳統非線性ESO：

(5)

(6)

從式(5)和式(6)可知，如果使用傳統的非線性ESO，需要配置4個參數，但在實際工程應用中配置4個參數來滿足優良的系統性能是很困難的，且非線性ESO的穩定性很難證明。相比之下，二階ESO的理論、參數配置方法以及穩定性證明相對成熟[20]。文獻[16]提出二階ESO級聯的概念，能充分使用二階ESO的理論和參數配置方法。級聯ESO將具有相同參數的3個相似二階ESO級聯取代以上4階ESO，從而將ESO中4個參數的調整簡化為兩個參數的調整。

3.2 基于NCESO和滑?？刂频膹秃峡刂破髟O計

根據文獻[16]，三階系統需要構建由3個二階ESO組成的級聯ESO。將非線性CESO的狀態變量定義為z=[z1,z2,z3,z4,z5,z6]T，其中z1，z2，z4，z6分別用于估計v1,v2,v3,f。z3和z5是中間變量。NCESO的狀態方程描述如下：

(7)

其中：β1和β2是NCESO的參數；ei(i= 1，…，6)為估計誤差，定義為e1=z1-v1,e2=z2-v2,e3=z3-z2,e4=z4-v3,e5=z5-z4,e6=z6-f。

NCESO的非線性誤差函數如下：

(8)

其中i=1,3,5。NCESO的結構如圖2所示。

圖2 NCESO結構簡圖Fig.2 Structure diagram of NCESO

從式(7)中減去式(4)，得到誤差方程如下:

(9)

(10)

其中θref，ωref分別是參考角位置和參考角速度，c1，c2是增益系數，滿足c1>0，c2>0。

滑模控制律設計為:

ux=-bx-1{ksgn(s)+c1(z2-ωref)+

(11)

其中k是轉換增益。

綜上，基于NCESO和滑?？刂频腄GMSCMG框架系統控制結構圖如圖3所示。

圖3 框架系統控制結構圖Fig.3 Control block diagram of gimbal system

3.3 框架系統穩定性分析

滑模面s的導數為:

(12)

選取李雅普諾夫函數為:

(13)

其導數為:

(14)

4 仿真和實驗結果

4.1 仿真和實驗設置

為了驗證本文提出方法的有效性和優越性，將它與文獻[17]中使用的基于LCESO的復合控制方法進行了對比。本研究的平臺是一個DGMSCMG系統，如圖4所示，框架電機參數如表1所示。

圖4 DGMSCMG實驗系統Fig.4 Experimental system of DGMSCMG

表1 框架電機參數

Tab.1 Design parameters of gimbal motor

參數參考值內框架等效轉動慣量Jx/(kg·m-2)0.141外框架等效轉動慣量Jy/(kg·m-2)0.173內框架反電動勢系數Cex/(V·rad-1·s-1)1.2外框架反電動勢系數Cey/(V·rad-1·s-1)1.22內框架扭矩系數Kx/(N·m·A-1)1.73外框架扭矩系數Ky/(N·m·A-1)2.22內框架電機定子電阻Rx/Ω5外框架電機定子電阻Ry/Ω6內框架電機定子電感Lx/mh7.5外框架電機定子電感Ly/mh9轉子軸向轉動慣量Hz/(N·m·s)1.22

從式(7)和式(11)可以看出，系統中有5個參數需要設計，即NCESO的參數β1,β2和控制器參數c1，c2，k?？刂破鲄岛陀^測器參數分別與控制器帶寬ωc和觀測器帶寬ω0有關，可以參照文獻[21]進行配置。其中，控制器帶寬ωc與框架角速度帶寬有關，觀測器帶寬ω0應該滿足ω0=(2～5)ωc。參數設置如表2所示。

表2 控制器和觀測器參數

將內外框架設置為初始正交且靜止，在這種情況下耦合力矩達到最大。此外，在仿真中使用Stribeck摩擦模型(工程中最常用的摩擦模型之一)來模擬框架系統中非線性摩擦的影響。

4.2 干擾估計和抑制性能仿真

分別在t=1 s和t=3 s時給內外框架5(°)/s的階躍信號，在NCESO和LCESO兩種方法下，內框架系統的速度狀態x2和集總干擾f及其估計值、估計誤差的對比仿真分別如圖5和圖6所示。

圖5表明，使用兩種方法都可以準確地估計出速度狀態x2，而本文提出的方法估計精度更高，估計誤差降低了一個數量級。

圖5 速度狀態估計效果對比Fig.5 Comparison of speed estimation effects

圖6表明使用兩種方法都可以準確地估計出“集總干擾”f。此外，可以看出NCESO的穩態觀測誤差被限制在一個非常小的值上，這已經在式(9)中解釋了。內外框架的階躍角速度響應曲線的對比仿真如圖7所示。

圖6 干擾估計效果對比Fig.6 Comparison of disturbances estimation effects

從圖7中可以看出，當給定參考信號時，外框架和內框架分別在t=1 s和t=3 s時受到耦合力矩和非線性摩擦力矩的影響。在t=3 s時，由于耦合力矩的作用，內框架角速度有一定的波動，LCESO方法下角速度從5 (°)/s波動到4.88 (°)/s，而在NCESO方法下角速率從5 (°)/s僅波動到4.95(°)/s，波動幅度從0.22 (°)/s降低到0.05 (°)/s。同理，在t=1 s時，與LCESO方法相比，采用本文提出的方法時外框架的角速度波動從0.4 (°)/s降低到0.04 (°)/s。而且，階躍響應的超調量減小，調節時間也縮短。內外框架的角速度波動較小表明NCESO具有更好的抗干擾能力，這也從系統輸出上驗證了圖5和圖6中NCESO對速度狀態以及干擾的估計性能。

為了進一步在時域方面驗證NCESO的有效性，在t=0 s時給外框架幅值為5(°)/s，頻率為3 Hz的正弦參考角速度信號，內框架為零速率鎖定狀態。外框架系統在NCESO和LCESO方法下的干擾估計波形如圖8所示。

圖8 外框架系統的觀測器干擾估計對比Fig.8 Comparison of disturbances estimates for observer of outer gimbal

從圖8中可以看出，當外框架被給定上述正弦參考角速度信號而內框架被零速率鎖定時，外框架受到正弦周期性擾動的影響，兩種方法下z6都可以很好地估計正弦周期集總干擾f，穩態估計誤差不超過2%，其中NCESO的穩態估計誤差更小。外框架在圖8所示的正弦周期擾動作用下的正弦角速度跟蹤曲線如圖9所示。從圖9中可以看出，采用LCESO方法時外框架的速度跟蹤性能較差，跟蹤誤差為1.05 (°)/s，相位滯后為6°，而使用NCESO方法時外框架具有較好的追蹤性能，速度跟蹤誤差為0.2 (°)/s，相移為1.1°。

在控制器設計中，為了補償干擾的影響，在控制器中增加了集總干擾的估計值。為了進一步研究干擾補償后殘余干擾對框架系統輸出角速度的影響，以內框架在2 s內的鎖定狀態(即參考角速度為0 (°)/ s)為例來分析其角速度波動。圖10為兩種方法下內框架輸出角速度波動的對比仿真結果。

圖9 外框架正弦追蹤曲線Fig.9 Sinusoidal tracking curves of outer gimbal

圖10 內框架角速率波動對比Fig.10 Comparison of angular speed fluctuations of inner gimbal

從圖10可以看出，使用本文提出的方法，在控制器中補償了擾動影響后，作用在內框架輸出角速率上的殘余擾動相當小，速度波動小于0.05 (°)/s，與采用LCESO方法時速度波動為0.25 (°)/s相比，干擾對框架系統輸出角速率的影響受到顯著抑制。

為了證明本文提出的控制方法針對不匹配不確定性擾動，在內框架零速率鎖定的情況下，分別給定外框架參考正弦和參考階躍速度信號，此時外框架電機控制力矩和滑模面波形如圖11所示。從圖11可以看出，當我們給定的滑?？刂破髟鲆娲笥诟蓴_估計誤差的界限時，滑模面隨著控制力矩的變化不斷調整，使得滑?？刂破鞯妮敵鰧ο到y的不匹配不確定性干擾進行有效抑制。此時，在系統穩定的情況下，滑?？刂破髟鲆嫦鄬Σ凰闾螅瑥亩徑饬硕墩竦挠绊?。

圖11 不同參考輸入下控制力矩和滑模面波形Fig.11 Torque and sliding surface waveforms with different reference inputs

4.3 干擾抑制及動態性能實驗

4.3.1 干擾抑制

分別在t=1 s和t=3 s時給內外框架5 (°)/s的階躍信號，兩種復合控制方法下的實驗效果如圖12所示。

圖12 階躍信號下框架干擾抑制性能Fig.12 Disturbances suppression performance of gimbal system under step response curves

從圖12可以看出，與LCESO相比，NCESO對于系統的干擾具有更好的抑制效果，內框架角速度波動從0.5 (°)/s減小到0.2 (°)/s，外框架角速度波動從0.45 (°)/s減小到0.15 (°)/s。該實驗結果與仿真圖7相互印證，進一步說明本文提出方法具有良好的干擾抑制性能。

4.3.2 動態性能

框架系統是一個變速伺服系統，速度的動態跟蹤性能直接影響DGMSCMG的輸出力矩精度。為了驗證本文提出的控制方法的動態響應能力，在t=0 s時給外框架幅值為5 (°)/s，頻率為1 Hz的正弦參考角速度信號，之后參考信號變為幅值為5 (°)/s，頻率為3 Hz的正弦信號，框架角速度的跟蹤性能如圖13所示。

圖13 正弦信號下框架動態響應性能Fig.13 Dynamic response performance of gimbal system under sinusoidal response curves

從圖13可以看出，兩種控制方法下，速度誤差和相位延遲都隨著給定參考信號頻率的增加而增加。與LCESO相比，基于NCESO的復合控制方法具有更好的角速度跟蹤性能。使用LCESO方法時速度最大跟蹤誤差為1.8 (°)/s，相移為8°，而復合控制方法的速度最大跟蹤誤差為1.2(°)/s，相移為1.3°。該實驗結果與仿真圖9相互印證，進一步說明本文提出方法具有良好的動態跟蹤性能。

上述實驗結果與仿真結果契合，進一步證明了本文提出的基于NCESO和滑?？刂频膹秃峡刂品椒ǖ挠行院蛢炘叫浴?/p>

5 結 論

本文提出了一種基于NCESO和滑模控制的復合控制方法來解決DGMSCMG框架系統中存在的不匹配干擾問題。針對系統狀態方程不滿足傳統CESO積分鏈形式的問題，引入坐標變換。本文將所有干擾都認為是集總干擾并由設計的NCESO估計，提高了狀態觀測器的估計精度。通過滑?？刂破?，可以從系統的輸出通道中消除集總干擾的影響，而滑模控制器中的開關增益只需比干擾估計誤差的界限大，就可以緩解抖振問題。最后，將本文提出的控制方法與LCESO和狀態反饋結合的復合控制器進行了對比仿真和實驗。仿真和實驗結果表明，本文提出的方法具有更好的干擾抑制性能和動態響應性能，內框架角速度波動從0.5 (°)/s減小到0.2 (°)/s，外框架角速度波動從0.45 (°)/s減小到0.15 (°)/s；跟蹤正弦參考信號時，速度跟蹤誤差從1.8 (°)/s減小到1.2 (°)/s，相位滯后從8°減小到1.3°。由于在工程應用中廣泛存在著內部未建模動態、參數攝動以及外部干擾等多種不確定干擾，因此該方法可應用于其他實際工程中。