建模思想在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用實踐

李燕

摘要：“建立數(shù)學(xué)模型”的實質(zhì)含義是：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，選擇形式化的語言及數(shù)學(xué)符號，去表述某一類型數(shù)學(xué)問題的關(guān)系及特征，使其具備一定的概括性及抽象性。在實際教學(xué)環(huán)節(jié)中，將所遇到的數(shù)學(xué)問題進行實際轉(zhuǎn)化后，變成容易解決或者有解決經(jīng)驗的簡單問題，從而可以輕松進行求解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；建模思想；中考數(shù)學(xué)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）09-0166

現(xiàn)如今，建模的利用率越來越高，建模為初中教師的數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了很大的幫助，其不僅是一種解決問題的基本方法，更是學(xué)生解決問題時必不可少的根本思想。

一、方程（組）模型

簡單來講，這一模型是應(yīng)用方程（組）模型，對生活中存在的數(shù)量關(guān)系進行分析。筆者意在通過一個例題，詳細(xì)描述建模思想在方程復(fù)習(xí)中的應(yīng)用。

例1：現(xiàn)有一店鋪銷售一種合金，用A、B兩種金屬按一定的質(zhì)量比混合成合金。已知A、B兩種金屬每千克的價格比是3∶4。實際制造時，A金屬少用了20%，B金屬多用了20%，結(jié)果合金的價格與原計劃的價格相同。原來兩種金屬的質(zhì)量比是多少？

第一步：教師通過提問引導(dǎo)學(xué)生分析題意。師：“合金價格如何表示？”生：“A的單價×A的質(zhì)量+B的單價×B的質(zhì)量。”師：“要表示合金實際價格和原計劃的價格，我們需要知道什么？”生：“A、B的單價，A、B實際生產(chǎn)和原計劃的質(zhì)量。”師：“你準(zhǔn)備如何設(shè)數(shù)？”生：“A、B兩種金屬每千克的價格比是3∶4，設(shè)A金屬每千克的價格是3，則B金屬每千克的價格是4。”

第二步：學(xué)生自我嘗試，學(xué)生嘗試設(shè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)結(jié)果兩邊不成立。師：“我們需要求兩種金屬的質(zhì)量比，不知道比的情況下，設(shè)數(shù)就會出現(xiàn)題干中的等量關(guān)系不存在，為了避免這個問題，我們可以通過設(shè)未知數(shù)來避免這個問題，但是利用未知數(shù)解題必須先建立方程的模型。”

第三步：建立模型：A金屬的單價×A金屬的質(zhì)量+B金屬的單價×B金屬的質(zhì)量=A金屬的單價×A金屬的質(zhì)量（1-20%）+B金屬的單價×B金屬的質(zhì)量（1+20%）。

第四步：模型求解：設(shè)A金屬的單價為3，B金屬的單價為4；原計劃中A金屬的質(zhì)量為x，B金屬的質(zhì)量為y。根據(jù)題意得3x+4y=3×（1-20%）x+4×（1+20%）y，3x+4y=2.4x+4.8y，0.6x=0.8y，x∶y=0.8∶0.6=4∶3，答：原來兩種金屬的質(zhì)量比是4∶3。需要注意的是，在選擇建模思想進行數(shù)學(xué)問題教學(xué)時，應(yīng)保持難易適中的原則，并且將合理、創(chuàng)新、真實以及有效作為基礎(chǔ)，從學(xué)生實際出發(fā)，如此才能達(dá)到真正的效果。

二、不等式（組）模型

數(shù)量間的不等關(guān)系在日常生活中較為常見，筆者通過以下例題將建模思想在不等式組中的應(yīng)用進行詳細(xì)說明。

例2：一工廠有50名員工，工廠想要添加幾條生產(chǎn)線，需要在這50名員工中抽取，在抽取分工后，余下的員工要求每月人均增加40%的產(chǎn)值；而被抽取的員工每月人均產(chǎn)值需要變?yōu)橐酝?倍，若余下的員工每月生產(chǎn)的總產(chǎn)值不低于分工前總產(chǎn)值，同時抽取的員工每月生產(chǎn)的總產(chǎn)值又不低于分工前每月生產(chǎn)總產(chǎn)值的一半，那么想要滿足這一情況，抽取人數(shù)需在什么范圍？

利用數(shù)學(xué)建模思想解決初中數(shù)學(xué)不等式問題，重在抽象概括、分析量之間的關(guān)系。這種解題思想能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的意識和提高學(xué)生分析問題的能力。

三、幾何模型

在日常生活中的諸多方面都能涉及到幾何，如圖形設(shè)計、結(jié)構(gòu)設(shè)計、測量等，筆者將通過以下例題詳細(xì)描述如何利用建模思想構(gòu)建幾何模型。

第一步：教師通過提問引導(dǎo)學(xué)生分析題意。師：“通過仔細(xì)審題，題中只是告訴我們一些與角有關(guān)的條件，那么我們應(yīng)怎樣求線段的和呢？”師：“截長法即在較長線段上截取一段等于兩條較短線段中的一條，再證剩下的一段等于另一條較短線段；所謂補短，即把兩條短線段補成一條線段，再證這條線段與長線段相等。”師：“回憶了這種方法，那么對于這道題目，是采用截長還是補短呢？”

第二步：學(xué)生分組討論，提示學(xué)生可以參考思維導(dǎo)引。

第三步：建立模型。生1：“利用截長法來做，在AC上截取AF= AE，連接OF，證明CD=CF。”生2：“利用截長法來做，在AC上截取CD=CF，連接OF，證明AF=AE。”

第四步：總結(jié)建立構(gòu)造全等模型的常用方法——添加輔助線。（1）在求線段的和差關(guān)系時，會采用“截長補短法”。（2）倍長中線：①已知三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形；②有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

倍長中線造“8”字形，出全等有平行。

（3）遇見角平分線經(jīng)常做輔助線的方法。

根據(jù)對稱的思想，構(gòu)造全等三角形。

四、函數(shù)模型

通過函數(shù)能夠展現(xiàn)出事物間存在的關(guān)聯(lián)，其能夠很好地將現(xiàn)實存在的運動規(guī)律及數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)出來。筆者通過以下例題將建模思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用進行詳細(xì)說明。

例4：藥店一瓶酒精（大瓶）的進價為40元，經(jīng)過藥店老板的調(diào)查，該酒精一周的銷售量y瓶與銷售單價x（x≥50）元/件，其存在以下關(guān)系：銷售單價x（元/瓶）為55、60、70、75；對應(yīng)一周的銷售量y（瓶）為：450、400、300、250。

（1）T表示一周所得到的銷售利潤，列出T與x兩者間存在的關(guān)系式，同時確定銷售單價在哪一范圍內(nèi)變化時，銷售單價增大銷售利潤也會隨之增大？

（2）武漢新冠肺炎事件得到億萬人民的關(guān)注，該藥店決定向武漢寄出商品一周所獲取到的銷售利潤，低于一萬元的酒精貸款下，計算出會有多少的捐款數(shù)額？

第一步：建立模型。（1）由銷售量×（售價-進價）=利潤，進而得到函數(shù)關(guān)系式，最終確定出銷售單價的合理范圍；（2）通過得知酒精貸款在一萬元以下，得出實際進貨量，最終通過計算出最大銷售額。

第二步：進行模型求解。首先，設(shè)y=kx+b，由題得：55k+b=450以及60k+b=400，解得：k=-10，b=1000；則y=-10x+1000；由題得S=（x-40）（-10x+1000）=-10（x-70）2+9000，因此可以得到：此函數(shù)圖形對稱軸為70，并且開口向下。這表示，當(dāng)50≤x≤70時，銷售單價增大時，銷售利潤也會增大。其次，通過40（-10x+1000）≤10000式子得出，在x≥75時，也就是x為75時，利潤為8750元，此時利潤最大。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)與實際問題相結(jié)合，逐漸引導(dǎo)學(xué)生通過二次函數(shù)知識組建數(shù)學(xué)模型，從而輕松愉快地解決數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李寶萍.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透[J].科教文匯（上旬刊），2011（10）.

[2]胡祎，潘劍斌.將數(shù)學(xué)建模思想與方法滲透在數(shù)學(xué)課中的研究與實踐[J].宜春學(xué)院學(xué)報，2008（4）.

（作者單位：廣東省茂名市行知中學(xué)525000）