一道不等式證明題的解法賞析

李寧英

(新疆克拉瑪依市第一中學 834000)

方法1恰當設元后利用平均值不等式進行證明.

設2x+y+z=a,x+2y+z=b,x+y+2z=c，則a,b,c均為正實數,

當且僅當a=b=c，即x=y=z時等號成立.

評析方法1利用平均值不等式證明的關鍵是分拆和轉化，直接不好分拆時考慮重新設元，將分母設元后，將分母變簡單，拆項后利用均值不等式，注意均值不等式等號成立的條件.

方法2恰當設元后將要證的不等式等價轉化.

轉化為只要證

原不等式得證.

評析方法2通過觀察原式的結構，進行設元，將原不等式進行等價轉化，將要證的不等式變得簡潔，然后再利用柯西不等式進行證明.

方法3利用調和平均數與算術平均數的關系證明.

當且僅當a>0,b>0,a=b時等號成立.

當且僅當x=y=z時等號成立.

方法4構造兩組數，利用排序不等證明.

不防設x≥y≥z>0，

則2x+y+z≥x+2y+z≥x+y+2z,

兩組數及排序不等式“逆序和”小于等于“亂序和”可得：

由2(1)+(2)+(3)得

當且僅當x=y=z時等號成立.

評析應用排序不等式，構造出恰當的兩個便于排序的數組是關鍵，一般都采用“不防設”的技巧進行排序，借助這種大小順序進行適度的“放縮”，再利用不等式的性質從而得證.

方法5巧妙拆分后利用柯西不等證明

+(x+2y+z)+(x+y+2z)]

當且僅當x=y=z時等號成立.

評析根據不等式的結構特征，觀察左邊每一項分子、分母關系，進行拆分，約掉分子、分母的共同因式，然后再利用柯西不等式進行證明.

通過不等式證明的五種方法，希望對不等式證明中所蘊含的數學思想方法加以梳理，從而找到解決不等式證明的一般方法，大家在今后處理類似問題時加以運用和體會.