數(shù)學證明題的典型錯誤及糾錯方式探究
——以“全等三角形的判定定理”為例

折翠霞

(陜西省神木第九中學 719000)

一、數(shù)學證明題的典型錯誤

1.實際應用問題

數(shù)學證明題本質(zhì)上是抽象公理概念的演繹推理過程.初中階段是學生抽象思維的發(fā)展期，但此時學生仍然未能擺脫“具象思維”的影響，往往更習慣于依靠過往經(jīng)驗、已知事實進行實際應用題的證明.因而，主觀性解答仍然是實際應用問題中的最典型的錯誤之一.

例1如圖1所示，某單位的職工要對A、B兩點之間的距離進行測量，他們首先作出AB的垂線BF，并在BF上選取兩點C和D，令CD=BC，連接AC并延長與BF的垂線DE相交于E點，此時，測量出DE的長度就等于A、B兩點之間的距離.寫出已知和求證，并進行證明.

圖1

而典型的錯誤證明如下：

解已知CD=BC，求證AB=DE.∵BC=CD，∴∠D=∠B=90°，又∵DE∥AB,∠ACB=∠ECD，∴△ABC?△EDC，∴AB=DE.

根據(jù)剖析可知，該學生在解答過程中，一方面在最初進行條件羅列時僅羅列了“BC=CD”這一已知條件，另一方面在求證AB=DE時，用BC=CD、DE∥AB、∠ACB=∠ECD三個已知條件，主觀性進行推斷出△ABC?△EDC這一結(jié)論.這種錯誤解答在實際應用證明題中可謂常態(tài).

2.邏輯推理方面

學生的邏輯推理能力的培養(yǎng)是新課標的重要要求，也是數(shù)學證明題的主要考查點.在實際的證明題的解題過程中，學生常常出現(xiàn)邏輯推理過程不嚴密、思路不清晰等問題.其中，常見錯誤主要是循環(huán)論證和偷換命題.循環(huán)論證主要是指學生將需要論證的命題或者與其類似的等價命題作為論據(jù)對命題進行推理，而事實上，這種論據(jù)沒有適當?shù)臈l件來予以支撐.而偷換命題主要是學生對所學的命題理解錯誤，從而對命題進行錯誤的應用.

圖2

例2如圖2所示，D點是△ABC的一條邊AB上的一點，DF與△ABC的另一條邊AC相交于E點，已知DE=FE,AE=CE,判斷AB與CF的位置關(guān)系并說明理由.

而典型的錯誤證明過程如下：

解1∵DE=FE,AE=CE，∴AD=CF.∵AD=CF,DE=FE,AE=CE，∴△ADE?△CEF.∵∠AED和∠CEF互為對頂角，∴AD∥CF.又∵A、B、D三點共線，∴AB∥CF.

根據(jù)解1剖析可知，該學生在證明過程中出現(xiàn)了“循環(huán)論證”的錯誤.一方面，學生并未對題干中所隱含的條件進行深度挖掘，另一方面，學生也缺乏對全等三角形認定定理等知識的梳理.因此，學生在證明過程中將AD=CF變成了證明△ADE?△CEF的“論據(jù)”，而事實上，AD=CF這一結(jié)論在證明△ADE?△CEF之后方可推出.

解2∵DE=FE,AE=CE且∠AED和∠CEF互為對頂角，∴△ADE?△CEF，∵△ADE?△CEF，∴AD∥CF.又∵A、B、D三點共線,∴AB∥CF.

根據(jù)解2剖析可知，該學生的解題錯誤主要體現(xiàn)在“∵△ADE?△CEF，∴AB∥CF”這一步驟.其中，“△ADE?△CEF”無法直接證明“AD∥CF”，而需要通過△ADE?△CEF推導出“∠DAE=∠ECF”，隨后通過“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”定理推導出“AD∥CF”，繼而得出“AB∥CF”的結(jié)論.而該學生對“全等三角形性質(zhì)”、“平行線判定定理”理解不夠透徹，從而出現(xiàn)“偷換命題”的錯誤.

二、數(shù)學證明題的糾錯方式

1.題目解答要具有針對性

實現(xiàn)糾錯，首先要讓學生能更加準確的理解證明題中所運用到的定理和概念等.因此，有針對性地進行題目解答是糾正學生典型錯誤的最主要的方法，它讓學生意識到自身的“缺陷”，并對其進行“修補”.

如例1中，學生對全等三角形判定定理中的ASA(邊角邊)理解不夠透徹，此時，一方面，教師應尊重學生的“主人翁”地位，引導學生主動探究“角邊角”中的兩“角”是對頂角和直角，“邊”是這兩個角的夾邊，讓學生意識到自身在定理理解方面的“漏洞”，從而有針對性地進行“修復”；另一方面教師可以將SAS(邊角邊)定理與ASA(角邊角)定理進行類比，讓學生充分分析兩者的異同，隨后提供適量的、與學生能力相符的證明練習題，幫助學生夯實知識基礎(chǔ)，提高學生的定理應用能力.

2.注重培養(yǎng)邏輯推理能力

初中學生正處于“具體思維”向“抽象思維”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵時期，此時，教師應注重對學生的邏輯推理能力的培養(yǎng).而其中，證明題的解答是提升學生的邏輯推理能力的有效方法.證明題中往往包含有“條件”和“結(jié)論”兩個部分.其中，“條件”是已知的、需要被肯定的對象，“結(jié)論”是未知的、被肯定或者被否定的某種性質(zhì).因此，教師在教學過程中要引導學生梳理證明題的題干，發(fā)掘證明題中或明顯、或隱含的“條件”，引導學生主動分析、認真思考、逐步探索，通過嚴謹?shù)耐茖У贸觥敖Y(jié)論”，繼而開發(fā)學生的邏輯思維，提升學生的邏輯推理能力.

例3如圖3所示，點D，E分別在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB.求證：BD=CE.

圖3

通過對題目的梳理分析可知，題中的“顯性”條件有兩個，分別是∠BDC=∠CEB和AD=AE，而“隱性”條件是∠BAE=∠CAD，而題中的結(jié)論是BD=CE.此時，通過羅列出∠BAE=∠CAD、AD=AE、∠BAE=∠CAD三個已知條件，可以發(fā)現(xiàn)，如果通過∠BDC=∠CEB推出∠ADC=∠AEB，就可以用ASA(角邊角)定理判定△ADC?△AEB.此時再來證明BD=CE已經(jīng)輕而易舉.