一種固體小運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化研究方法*

薛 杰,李曉暉,程養(yǎng)民

(西安航天動(dòng)力技術(shù)研究所固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒、熱結(jié)構(gòu)和內(nèi)流場(chǎng)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710025)

0 引言

近年來,隨著小衛(wèi)星和“空間快速響應(yīng)”技術(shù)的快速發(fā)展和火箭設(shè)計(jì)、復(fù)合材料、電子技術(shù)以及固體推進(jìn)技術(shù)的發(fā)展,將微小型固體運(yùn)載火箭推上了航天發(fā)射的大舞臺(tái)[1]。微小型固體運(yùn)載火箭采用固體發(fā)動(dòng)機(jī),其具有發(fā)射成本低、反應(yīng)速度快、適應(yīng)能力強(qiáng)等突出特點(diǎn)[2]。因此為減小成本,需在給定入軌條件和發(fā)動(dòng)機(jī)推力的條件下進(jìn)行彈道優(yōu)化。

文中通過對(duì)仿真模型的驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)模型搭建完好,接著進(jìn)行彈道優(yōu)化。將優(yōu)化后的彈道與基本方案進(jìn)行對(duì)比。從而最終獲得了使衛(wèi)星快速、準(zhǔn)確入軌的彈道約束條件下,可以發(fā)射最大有效載荷的彈道。

1 某運(yùn)載火箭簡(jiǎn)介

運(yùn)載火箭采用三軸穩(wěn)定的四級(jí)方案,由四級(jí)固體動(dòng)力、控制系統(tǒng)、箭體結(jié)構(gòu)、箭上遙測(cè)、安控等系統(tǒng)組成,如圖1所示。

圖1 運(yùn)載火箭的四級(jí)示意圖

利用Matlab軟件的Simulink模塊進(jìn)行運(yùn)載火箭仿真建模[3-5],所用方程參考文獻(xiàn)[6-9]。運(yùn)載火箭入軌條件:軌道高度為500 km的橢圓軌道;入軌速度大于7 700 m/s。

2 優(yōu)化模型

選用偽譜法進(jìn)行彈道優(yōu)化,對(duì)其進(jìn)行離散形式的展開,從而可進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化,得到最優(yōu)控制問題的解。接下來從優(yōu)化參數(shù)、目標(biāo)函數(shù)以及約束條件建立優(yōu)化模型。

彈道優(yōu)化問題可以表示為一般的最優(yōu)控制問題,即尋找合適的控制變量u(t)∈Rn,使式(1)所示的Bolza型性能指標(biāo)在滿足動(dòng)力學(xué)微分方程約束、路徑約束和邊界約束的條件下達(dá)到最小化,即

(1)

其中,u(t)∈Rn為控制變量;x(t)∈Rn為狀態(tài)變量;t0和tf為時(shí)間初值和末值,可固定可自由。系統(tǒng)要滿足動(dòng)力學(xué)微分方程約束、邊界約束以及路徑約束分別如式(2)、式(3)和式(4)：

(2)

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(3)

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(4)

基于在發(fā)射坐標(biāo)系下建立的六自由度彈道模型對(duì)彈道進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

固體運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化的目的是減小發(fā)射成本,提高火箭的運(yùn)載能力,即給定條件下產(chǎn)生最大有效載荷。文中研究的運(yùn)載火箭采用三軸穩(wěn)定的四級(jí)方案,且各級(jí)固體發(fā)動(dòng)機(jī)燃料都會(huì)全部耗盡,屬于耗盡關(guān)機(jī)的工作模式,優(yōu)化實(shí)質(zhì)即為有效載荷質(zhì)量mp最大。其有效載荷為星箭分離后衛(wèi)星的總質(zhì)量。因此,選取的目標(biāo)函數(shù)為:

minJ(u)=-mp

(5)

2.2 約束條件

運(yùn)載火箭的彈道優(yōu)化約束條件有兩種:邊界條件和路徑約束條件。

1)邊界條件

初始位置(0,0,0)和初始速度(0)已知。終端入軌條件選取軌道高度Hf和入軌速度vf,其取值范圍為：Hf≥500 km,vf≥7 700 m/s。

2)路徑約束

運(yùn)載火箭在運(yùn)動(dòng)過程中要保證結(jié)構(gòu)完整性以及相關(guān)電子設(shè)備的正常使用,其要求為:最大軸向過載約束不大于20g,考慮火箭與大氣間產(chǎn)生大量的熱會(huì)給外殼帶來危害,則最大動(dòng)壓約束不大于1 MPa。

2.3 優(yōu)化參數(shù)

優(yōu)化參數(shù)選取飛行時(shí)序中一些重要參數(shù):垂直起飛時(shí)間、程序轉(zhuǎn)彎時(shí)間、程序轉(zhuǎn)彎角度和三級(jí)滑翔時(shí)間。取值如表1所示。

表1 飛行時(shí)序各優(yōu)化參數(shù)的取值限制范圍

2.4 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

偽譜法是一種求解最優(yōu)控制的工程方法,經(jīng)離散后將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為NLP問題,通過有效大規(guī)模稀疏NLP求解器求解。

采用基于偽譜法進(jìn)行運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)算法時(shí),計(jì)算步驟如下:

1)網(wǎng)格區(qū)間初始化,確定初始迭代時(shí)區(qū)段數(shù)量K和區(qū)段插值多項(xiàng)式M。

2)計(jì)算全固體運(yùn)載火箭各個(gè)約束條件的約束函數(shù)誤差。

3)當(dāng)ek，max≤εd時(shí),說明對(duì)應(yīng)區(qū)段精度滿足各約束,如果所有區(qū)段的精度均滿足約束條件時(shí),則求解完成,可優(yōu)化出最優(yōu)彈道。

5)檢查所有區(qū)段的精度是否滿足精度要求εd,如果滿足精度要求,則結(jié)束運(yùn)算;如果不滿足精度要求,則返回到步驟1)重新開始循環(huán)計(jì)算,直到滿足精度εd為止。

3 優(yōu)化結(jié)果分析

在優(yōu)化模型中利用高斯偽譜法優(yōu)化得到最優(yōu)解,此時(shí)綜合了各參數(shù)的影響因素,故該最優(yōu)解具有全局性。

按照前述的優(yōu)化模型,通過高斯偽譜法進(jìn)行計(jì)算,得到最終優(yōu)化后的某型全固體運(yùn)載火箭的飛行彈道,與優(yōu)化前的彈道進(jìn)行對(duì)比分析。最終優(yōu)化前后的各優(yōu)化參數(shù)如表2所示。

表2 最終優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

飛行高度和速度是運(yùn)載火箭入軌所必需的條件之一,但這些數(shù)值并不是越大越好,滿足入軌條件即可。

終端入軌條件為Hf≥500 km,vf≥7 700 m/s。

首先需要滿足入軌高度和速度,這是保證小型衛(wèi)星順利送入預(yù)定軌道的基礎(chǔ)。經(jīng)過計(jì)算優(yōu)化,觀察火箭的高度和速度變化規(guī)律,優(yōu)化前后運(yùn)載火箭的高度和速度隨時(shí)間的變化如圖2和圖3所示。

圖2 優(yōu)化前后火箭當(dāng)?shù)馗叨葧r(shí)間圖像

圖3 優(yōu)化前后火箭相對(duì)速度時(shí)間圖像

優(yōu)化前后高度和相對(duì)速度的變化趨勢(shì)大致相同。由于要使衛(wèi)星快速精確入軌,通過圖2可看出：優(yōu)化后當(dāng)?shù)馗叨雀咏胲壐叨?數(shù)值為502.3 km,更能精確入軌,而且可將富裕的能量補(bǔ)充更多有效載荷,從而可使火箭有效載荷更大。通過圖3發(fā)現(xiàn)：優(yōu)化前后一二三級(jí)的相對(duì)速度隨時(shí)間變化不大,僅受三級(jí)滑翔段時(shí)間的增加使火箭的速度有所變化,最終經(jīng)四級(jí)固發(fā)再加速,使火箭達(dá)到所需的入軌速度,數(shù)值為7 701.6 m/s。

在運(yùn)載火箭四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力給定的條件下,通過高斯偽譜法進(jìn)行優(yōu)化模型的計(jì)算,最終調(diào)整飛行時(shí)序及滑翔時(shí)間。

四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力時(shí)間圖像如圖4所示。

圖4 優(yōu)化前后火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力時(shí)間圖像

由于四級(jí)全固體發(fā)動(dòng)機(jī)的特性,所以其各項(xiàng)性能參數(shù)如發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量、開關(guān)機(jī)時(shí)間和瞬時(shí)推力已確定。因此優(yōu)化前后幾乎不變,僅推力加載時(shí)間點(diǎn)受飛行時(shí)序的影響。

優(yōu)化前后運(yùn)載火箭的質(zhì)量時(shí)間圖像如圖5所示。

圖5 優(yōu)化前后火箭質(zhì)量時(shí)間圖像

從圖中可看出：在前450 s,優(yōu)化前后的火箭質(zhì)量重合,這是由于運(yùn)載火箭總體質(zhì)量很大,而優(yōu)化后僅比優(yōu)化前有效載荷提高18.8 kg,450 s之后由于三級(jí)滑翔時(shí)間的不同使兩條曲線區(qū)分開。運(yùn)載火箭的質(zhì)量變化趨勢(shì)在優(yōu)化前后一致,同時(shí)也提高了運(yùn)載火箭的有效載荷,說明優(yōu)化方法是較為合理的。

優(yōu)化時(shí),在最大有效載荷對(duì)應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)下,固定此參數(shù)值,通過改變有效載荷的大小得到飛行速度與有效載荷的變化圖像如圖6所示,飛行高度與有效載荷的變化圖像如圖7所示。

通過圖6可以看出：隨著運(yùn)載火箭的有效載荷增大,火箭的飛行速度隨之減小,基本上是一條直線。所以在入軌速度限制條件下,可以得到運(yùn)載火箭的最大有效載荷為218.8 kg,比之前的200 kg提高了9.4%。為了驗(yàn)證此條件下入軌高度的變化情況,觀察圖7可以得到,隨著運(yùn)載火箭的有效載荷增大,火箭的飛行高度隨之減小,也都滿足入軌高度。很明顯優(yōu)化后運(yùn)載火箭所攜帶的衛(wèi)星質(zhì)量更大,這是在滿足約束條件下的最大有效載荷。

圖6 飛行速度與有效載荷圖像

圖7 飛行高度與有效載荷圖像

4 結(jié)論

對(duì)固體小運(yùn)載彈道優(yōu)化進(jìn)行了探索性研究,通過數(shù)值仿真的方法,對(duì)某運(yùn)載火箭在給定推力和入軌條件情況下進(jìn)行分析,結(jié)果表明:

1)彈道優(yōu)化是非常有效的,通過不同飛行程序的合理安排,可以改變運(yùn)載火箭的入軌高度和速度;

2)基于文中給定的入軌條件和發(fā)動(dòng)機(jī)推力,發(fā)現(xiàn)在垂直起飛時(shí)間為8 s、轉(zhuǎn)彎時(shí)間為18 s、轉(zhuǎn)彎角度為26°以及三級(jí)無動(dòng)力滑翔段時(shí)間為260 s的情形下,運(yùn)載火箭最大有效載荷為218.8 kg,比基本方案提高9.4%。