基于稀疏對稱陣列的混合信源定位

(桂林電子科技大學信息與通信學院， 廣西桂林 541004)

0 引言

近年來，信源定位成為陣列信號處理中的一個熱點問題并受到廣泛關注。大量針對遠場條件下的波達方向(Direction of Arrival, DOA)估計算法被提出[1-6]。當信源位于菲涅爾區時，信號不再以平面波傳播，而是以球面波的形式傳播，且信源的信息由角度和距離兩個參數共同決定，此時為近場源定位。為此，國內外學者提出了大量估計方法，如2-D 多重信號分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[7]和高階旋轉不變子空間(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT)算法[8]都可以有效估計。

然而在實際應用中近場信源和遠場信源有可能同時存在，由于信源的不匹配，上述所提到的近場或遠場信源DOA估計算法將不再適用。為了解決混合信源DOA估計問題，文獻[9]通過構造高階累積量矩陣，然后使用MUSIC算法估計近場信源參數，計算量太大；為了減少運算量，文獻[10]提出一種基于二階統計量的混合信源參數估計，然而該算法在進行近場DOA估計時只利用了部分協方差矩陣的信息，造成較大的陣列孔徑損失，估計精度較差；為了減少計算復雜度和陣列孔徑損失，文獻[11]將對稱陣均勻線陣分為2分子陣，利用子陣間的關系使用ESPRIT-like算法進行參數估計，但估計結果仍難以令人滿意。

以上算法都是基于均勻線陣，存在著一定的陣列孔徑損失，在陣元數一定的情況下，稀疏布陣可以增加陣列孔徑，從而提高信源參數估計精度。文獻[12]采用互素對稱陣列，通過兩個陣元數互為素數的子陣構造一個四階累積量矩陣，然后利用MUSIC算法估計信源角度，有效擴展了陣列孔徑。文獻[13]使用了一種特殊幾何陣列結構，利用傳統的MUSIC算法和構造特殊點的四階累積量聯合估計信源的角度和距離。為了進一步擴展陣列孔徑，本文提出一種稀疏對稱陣列模型。首先通過對不同子陣的接收數據進行四階累積量運算剔除近場信源的距離參數，構造多個僅與信源角度有關的四階累積量向量，通過這些累積量向量構造一個Topelize矩陣，再利用MUSIC算法估計出信源角度，最后在估計出角度的基礎上進行距離搜索，根據近場遠場信源位于不同區域估計出近場信源的距離參數。該算法避免了二維搜索，且稀疏布陣擴展了陣列孔徑，提高了參數估計精度。

1 信號模型

本文所采用的陣列模型如圖1所示，陣元總數為2(N1+N2)+1,由3個子陣列組成。其中子陣1陣元數和陣元間距分別為2N1+1和d，子陣2和子陣3的陣元數和陣元間距分別為N2和(2N1+1)d,子陣列1與子陣列2和子陣列3之間的距離分別為(N1+1)d。圖中各陣元坐標為pi，pi=-N2(2N1+1),-(N2-1)(2N1+1),…,-(2N1+1),-N1,…,0,…,N1,(2N1+1),…,(N2-1)(2N1+1),N2(2N1+1),pid為第i個陣元到中心陣元的距離。當陣元數相同時，均勻線陣的陣列孔徑為(2N1+2N2+1)d，本文所采用陣列的陣列孔徑為(2N2+4N1N2)d，可以看出，本文的陣列具有更大的陣列孔徑。

圖1 稀疏對稱陣列模型

假設空間存在K個獨立窄帶信號入射到陣列，以中心陣元為相位參考點，則第i個陣元接收數據為

t=1,…,T

(1)

式中，sk(t)為第k個信號源，T為快拍數，ni(t)為第i個陣元接收到的噪聲，μk和φk分別為[14]

(2)

(3)

式中，λ為信號的波長，rk，θk分別為第k個近場信源的距離和角度參數。

將陣元接收數據寫為矢量形式為

x(t)=As(t)+n(t)

(4)

式中,x(t)=[x-N1-N2(t),…,x-N1(t),…,xN1(t),…,xN1+N2(t)]T為陣元接收數據，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為K個信源的信號矢量，n(t)=[n-N1-N2(t),…,nN1+N2(t)]T為陣元接收的噪聲矢量，A為(2(N1+N2)+1)×K維陣列流型矢量，表示為

A=[a(θ1,r1),…,a(θk,rk),…a(θK,rK)]

(5)

式中，a(θk,rk)為(2(N1+N2)+1)×1維方向矢量，當信源位于近場時，a(θk,rk)表示為

a(θk,rk)=[ej[-(2N1N2+N2)μk+(-(2N1N2+N2))2φk],…,

ej[-(2N1+1)μk+(-(2N1+1))2φk],ej[-(N1)μk+(-N1)2φk],…,1,…,

ej[(2N1N2+N2)μk+(2N1N2+N2)2φk]]

(6)

當信源位于遠場時，a(θk,rk)表示為

a(θk,rk)=[ej[-(2N1N2+N2)μk],…,

ej[-(2N1+1)μk],ej[-(N1)μk],…,

1,…,ej[(N1)μk],ej[(2N1+1)μk],…,

ej[(2N1N2+N2)μk]]T

(7)

本文中，對信號作如下假設：

1) 信號為零均值、非高斯的窄帶平穩隨機過程，且具有非零峰度，信號之間不相關。

2) 陣元接收的噪聲為零均值的高斯白噪聲，并且與信號相互獨立。

3) 為了確保信源參數估計的唯一性，陣列1陣元最小間距d≤λ/4。

2 基于稀疏對稱陣列的信源定位

2.1 構造特殊四階累積量矩陣

高階累積量具有抑制高斯噪聲，同時還可以擴展陣列孔徑等優點，因此基于高階累積量的空間譜估計得到廣泛關注。本文所采用的四階累積量公式為[15]

(8)

(9)

通過四階累積量構造一個僅與信源角度有關的特殊矩陣，使其稀疏對稱陣等效于陣元間距為λ/4的均勻線陣列。令m∈[-N1,…,N1]，n為0，首先，將子陣1陣元的接收數據與中心處的陣元的接收數據進行四階累積運算得到一個(2N1+1)×1維四階累積量向量c1，其第m個元素為

c1(m+N1+1)=

(10)

同理，將子陣1的陣元接收到的數據與子陣3的第一個陣元接收的數據進行四階累積量的運算，構造出(2N1+1)×1維四階累積量向量c2，其第m個元素分別為

c2(m+N1+1)=

(11)

將子陣1的陣元接收到的數據與子陣2的第一個陣元接收的數據進行四階累積量的運算，構造出(2N1+1)×1維四階累積量向量c3，其第m個元素分別為

c3(m+N1+1)=

(12)

令n∈[0,…,N1]，m∈[N1+2,…,N1+N2]，將子陣3陣元接收到的數據與子陣1的參考陣元右半部分陣元接收到的數據進行四階累積量運算，構造出(N1+1)(N2-1)×1維向量c4，其第 ((m-N1-2)(N1+1)+n+1)個元素為

c4((m-N1-2)(N1+1)+n+1)=

(13)

同理，將子陣1陣元接收到的數據與子陣1的參考陣元左半部分陣元接收到的數據進行四階累積量運算，構造出(N1+1)(N2-1)×1維向量c5，其第((m-N1-2)(N1+1)+n+1)個元素為

c5((m-N1-2)(N1+1)+n+1)=

(14)

將向量c5，c3，c1，c2，c4壘成一個(2(N1N2+2N1+N2)+1)×1維的長向量c,表示為

(15)

可以發現，向量c中元素的相位項m-n的值跟均勻線陣的相位等效，分別為：-(N1N2+2N1+N2),-(N1N2+2N1+N2-1),…,0,…,(N1N2+2N1+N2-1),(N1N2+ 2N1+N2)。通過四階累積量運算使稀疏對稱陣列的接收數據等效為一個均勻線陣，如圖2所示。

圖2 重構均勻線陣模型

重構方法：

矢量c1是由子陣1內各陣元的接收數據分別與子陣1中的中心參考陣元的接收數據做累積量運算的結果值組合而得;矢量c2是由子陣1內各陣元的接收數據分別與子陣3中第一個陣元的接收數據做累積量運算的結果值組合而得，矢量c3是由子陣1內各陣元的接收數據分別與子陣2中第一個陣元的接收數據做累積量運算的結果值組合而得，矢量c4是由子陣1內各陣元的接收數據分別與子陣3中除第一個陣元外的所有陣元接收數據做累積量運算的結果值組合而得，矢量c5是由子陣1內各陣元的接收數據分別與子陣2中除第一個陣元外的所有陣元接收數據做累積量運算的結果值組合而得。

在矢量的重構過程中，將矢量c1的第m個元素對應于重構矢量c的第m個元素，矢量c2的第m個元素對應于重構矢量c的第m+2N1+1個元素，矢量c3的第m個元素對應于重構矢量c的第-(m+2N1+1)個元素，矢量c4的第m個元素對應于重構矢量c的第(m-N1)(N1+1)+N1+n個元素，矢量c5的第m個元素對應于重構矢量c的第-((m-N1)(N1+1)+N1+n)個元素。

向量c構造一個(N1N2+2N1+N2+1)×(N1N2+2N1+N2+1)維的Topelize矩陣C，C的第m列可以表示為

C(:,m)=c(N1N2+2N1+N2+2-

m:2(N1N2+2N1+N2)+2-m)

(16)

因此，我們構造了一個僅包含信源角度信息的特殊矩陣C，類似于遠場協方差矩陣，可以表示為

C=A(θ)C4,SAH(θ)

(17)

式中，

C4,S=diag[c4,s1,…,c4,sP]

(18)

A(θ)=[a(θ1),…,a(θp)]

(19)

a(θp)=[1,ej2μp,…,ej2(N1N2+2N1+N2)μp]T

(20)

針對接收端對回波數據的接收方式，與已有的將稀疏對稱陣列劃分為4個子陣來分別接收數據的方式不同[13]，本文中將稀疏對稱陣列劃分為3個子陣來分別接收數據。

2.2 信源DOA估計

由式(17)～式(20)可以看出，矩陣A(θ)類似于K個遠場信號入射到陣元數為(N1N2+2N1+N2+1)的均勻線陣所產生的陣列流型矩陣，a(θk)為第k個信號的類遠場陣列流型矢量。由于信源sk的四階累積量非零，且A(θ)和C4,S均為滿秩，因此可以運用MUSIC算法來估計信源角度，對構造的四階累積量矩陣C進行特征值分解為

(21)

Vs=R(N1N2+2N1+N2+1)×K為較大K個特征值構成的信號子空間，Vn=R(N1N2+2N1+N2+1)×((N1N2+2N1+N2+1)-K)為較小(N1N2+2N1+N2+1-K)個特征值構成的噪聲子空間。由式(22)所示的MUSIC譜可估計出信源的方位角：

(22)

2.3 近場信源距離估計

陣列接收數據的協方差矩陣為

R=E[x(t)xH(t)]

(23)

(24)

如果rk∈[0.62(D3/λ),2D2/λ]，其中D為陣列孔徑，則與rk對應的信源位于菲涅耳區，屬于近場信源。若rk>2D2/λ，則與rp對應的信源為遠場信源。由此可以估計出近場信源參數，無需二維搜索，且近場信源的角度和距離參數自動配對。

由于采用稀疏對稱陣列接收數據的協方差矩陣來估計近場信源的距離參數，直接用稀疏陣列估計信源參數是需要考慮空間模糊問題。信源θk方向上產生距離模糊的條件為

(25)

式中，pk為第k個信源的位置，l為整數，|l|≥1。由式(23)可得

(26)

要使式(26)右邊取得最小值，令cos2θk=1，rk=0.62(D3/λ)1/2,r′k=∞，化簡得

(27)

假設陣列孔徑D=λ,最小陣元間距d=λ/4代入式(25)可得pk≥4.45。因此pk≥5或pk≤-5時陣列流型向量的第k個元素會產生模糊，然而當D=λ，d=λ/4時，-4≤pk≤4，所以整個陣列流型向量都不會產生模糊現象，估計出的每一個近場信源的距離參數都是唯一的。

2.4 計算復雜度分析

3 計算機仿真

為了驗證所提算法的優良性能，將本文所提算法與文獻[11]中基于二階統計量的ESPRIT算法、文獻[12]中基于互素對稱陣的近場源定位和文獻[13]中基于特殊的幾何陣列結構的遠近場混合定位進行對比。假設陣元總數7(N1=1，N2=2)，最小陣元間距為λ/4，采用角度和距離的均方根誤差(RMSE)作為衡量標準，分別定義為

(28)

(29)

實驗1：信號源為近場遠場混合信源。入射信號為2個4QAM窄帶信號，近場信源與遠場信源位置分別為(θ1=-13°,r1=3.5λ)和(θ2=21°,r2=∞)。

在本實驗中，驗證本文算法DOA估計精度隨信噪比和快拍數變化的情況。第一，信噪比從-5 dB到10 dB不斷變化，步長為2 dB，快拍數為700，蒙特卡洛次數為500；第二，信噪比為7 dB，快拍數從100到1 100不斷變化，步長為200。圖3為信源角度均方根誤差隨信噪比的變化情況，圖4為近場信源距離的均方根誤差隨信噪比的變化。圖5和圖6分別是方位角和近場信源距離隨快拍數的變化曲線圖。從圖3可以看出，信源角度的估計精度隨信噪比的增加而提高。由于本文算法采用稀疏對稱陣列，其陣列孔徑比均勻線陣[11]、互質對稱陣列[12]以及特殊的幾何陣列結構[13]大，因此本文算法角度估計精度要高于對比的算法。從圖5和圖6可以看出，4種算法在快拍數較小時參數估計精度較差，均隨著快拍數的增加而提高。從圖4和圖6可以看出，本文算法中的近場信源距離估計精度在隨著信噪比和快拍數的變化中都高于對比算法。本文算法和對比算法都是采用MUSIC算法來估計近場信源的距離，由于距離估計是基于角度估計，所以所提算法也具有更高的距離估計精度。

圖3 信源角度均方根誤差隨信噪比的變化

圖4 信源距離均方根誤差隨信噪比的變化

實驗2：考慮信源均為近場時的情況。入射信號為2個4QAM近場窄帶信號，其位置分別為(θ1=-13°,r1=3.5λ)和(θ1=21°,r1=4.5λ)。

圖5 信源角度均方根誤差隨快拍數的變化

圖6 信源距離均方根誤差隨快拍數的變化

在本實驗中，驗證本文算法DOA估計精度隨信噪比和快拍數變化的情況。第一，信噪比從-5 dB到10 dB不斷變化，步長為2 dB，快拍數為700，蒙特卡洛次數為500；第二，信噪比為7 dB，快拍數從100到1 100不斷變化，步長為200。圖7為DOA估計的角度均方根誤差隨信噪比的變化情況，圖8為近場信源距離的均方根誤差隨信噪比的變化。圖9和圖10分別是方位角和距離隨快拍數的變化曲線圖。從圖7可以看出，本文算法的信源角度估計精度高于對比算法。由于本文算法所采用稀疏對稱陣列，其陣列孔徑要略大于互質對稱陣列[11]和特殊的幾何陣列結構[13]，且遠大于均勻線陣[12]，因此本文算法具有更高的角度估計精度。從圖9和圖10可以看出，4種算法在快拍數較小時估計精度較差，隨著快拍數的增大性能有所改善并趨于穩定。從圖8和圖10可以看出，本文算法的近場信源距離估計精度在隨著信噪比和快拍數變化下都高于對比算法。由于距離估計是基于角度估計，所提算法角度估計性能最好，所以也具有更高的距離估計精度。

圖7 信源角度均方根誤差隨信噪比的變化

圖8 信源距離均方根誤差隨信噪比的變化

圖9 信源角度均方根誤差隨快拍數的變化

圖10 信源距離均方根誤差隨快拍數的變化

4 結束語

本文在稀疏對稱陣列模型的基礎上，提出了一種混合信源DOA估計算法。通過不同子陣列接收數據的四階累積量運算，構造一個僅與信源角度有關的特殊四階累積量矩陣，然后使用MUSIC算法得到所有信源的角度估計；在每個角度估計的基礎上進行距離維的搜索，進而估計出近場信源的距離參數。本文算法避免了二維搜索和參數配對，稀疏對稱陣列擴展了陣列孔徑，仿真實驗結果表明，在相同的陣元情況下，本文算法具有更高的估計精度。