數形結合在初中函數教學中的應用

曾國鋒

進入初中階段，函數內容是重點知識，也是數學教學中的難點，同時又是“數形結合”思想方法體現得很充分的一個內容，數形結合思想的運用能夠為函數問題的解決提供便利，本文從初中數學函數分析入手，對數形結合法在函數問題中的應用策略進行探討，介紹一些解題技巧和教學方法。

一、利用數形對比學習函數圖像的性質以及函數的變換

函數圖像可以直觀的研究函數性質，從圖像上可以觀察函數的變化規律，整體上把握函數的性質，但是難以深入局部和細節。而解析式可以對函數的性質進行詳細表達，但理解起來比較抽象，不夠直觀。所以我們通常會把函數圖像和解析式結合起來，研究函數的性質，通過數形結合，簡單，明了。如從一條具體的拋物線，指出頂點坐標，對稱軸，開口方向，在y軸上的截距，與x軸的交點坐標，函數值y隨x增大而增大的x的取值范圍，y隨x增大而減小的x的取值范圍等。相反，從一條解析式也可以得出函數圖像的有關性質。在講授二次函數的圖像性質時，數形結合研究函數貫穿二次函數討論的始終，對于最簡單的二次函數y=x2的研究就是從畫這個函數的圖像開始，然后通過圖像了解它的性質，其后的二次函數的研究，也都展現了從解析式到圖像，從圖像到性質的過程。

在學習二次函數的圖像與性質時，可以從簡單到復雜，從特殊到一般的順序通過數形結合進行討論，每一個解析式的特點在坐標系上如何變化，圖像上的特點在解析式上表現在哪些數，有哪些規律？通過圖形與數的對比總結出特點，如：y=x2的圖像最基礎，開口向上，對稱軸是y軸，頂點坐標是（0，0），比較y=x2+1和y=x2-1的圖像特點，“數”上與y=x2比較多了加1或者減1，“圖”上如何變化呢，讓學生觀察，得出：形狀不變，位置是向左或者向右移動了一個單位而已。再探討y=（x+1）2和y=（x-1）2的圖像特點，從數形上對比得出：在y=x2的圖像基礎上，形狀不變，只是位置向上或者向下移動了一個單位而已。最后綜合起來探討y=（x+1）2+1的圖像特點，從“數”上看有什么變化，從“圖”上看有哪些變化，通過圖形結合，可以對整個二次函數的圖像特點一目了然，總結出二次函數的性質。

二、利用數形結合理解一次函數與方程

例如，講解《一次函數與方程》問題3時，由于兩氣球上升的速度不同，開始時A號氣球高，B號氣球低，那么永遠如此嗎？什么時刻B號氣球的高度趕上A號氣球的高度、怎樣從數和形兩方面分別加以研究。我們可以把學生分成兩組，一組同學從數量關系的角度研究，另一組同學從圖形的角度研究。（1）從數量關系的角度研究：A號氣球的高度與時間關系為y=0.5x+15;B號氣球的高度與時間關系為y=x+5。當兩氣球在同一時刻的高度相同時，時間a和高度b同時滿足這兩個方程，也就是由這兩個方程組成的方程組的解。

因此，氣球上升20min時，它們的高度相同，都是25m。

（2）從圖形的角度研究：在同一坐標系中畫出兩個函數的圖像，如圖，從中發現當x=20時，對應的函數值相等，都是25。也就是說，兩直線交于一點，交點坐標為（20，25）。

由上可知，每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線。從“數”的角度看，解二元一次方程組相當于求自變量為何值時相應的兩個函數值相等，以及這個函數值是多少;從“形”的角度看，解二元一次方程組相當于確定兩條相應直線交點的坐標。

三、利用數形結合的方法理解函數與不等式

（1）一次函數與不等式

例如，解不等式如ax+b>0（或<0）類型時，可以轉化為求函數y=ax+b的函數值大于0（或小于0）時自變量的取值范圍，可以通過圖形得出自變量的取值范圍。“數”可以解不等式得出答案，“形”也可以通過下圖這個一次函數的圖像來得出答案，通過數形結合把一次函數與不等式的聯系理解透徹。

（2）二次函數與不等式

例如，講解二次函數y=ax2+bx+c自變量取值范圍時，當x取什么值時，函數值大于0（小于0）。

如果從代數的方式去解決這個問題的話比較麻煩，比如，ax2+bx+c>0，在初中階段還沒有學會這個內容，是解不出來的，但從圖像上去分析，推出答案就比較容易理解了，首先看拋物線與x軸的交點，在y軸的正半軸方向的部分就是函數值大于0，在y軸的負半軸的部分就是函數值小于0，從而確定x的取值范圍，比較特殊的就是拋物線可能與x軸只有一個交點或者沒有交點，那么這個從圖像上面就更容易分析了，所以，數形結合在二次函數的解題上應用是非常廣泛的，而且作用很大，有些題目還必須通過圖像來得出結果的。

四、利用數形結合，理解有難度知識

（2）如圖，求出一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍。

本題從解不等式角度去解的話，對初中生來講同樣是一個很難的問題，但從圖像來理解，就變得簡單多了。首先找出直線和 拋物線的交點，如圖在橫坐標上分別是-2和1，那么把它分成兩大部分，觀察當x<-2或x>1時，直線在拋物線的上方，那么理解到一次函數值大于二次函數值，當-21。

函數知識在整個初中數學階段占據一定的比重，很多學生都望而卻步，學起來非常吃力，所以學習解題思維方法至關重要。數形結合的思維方式在函數知識學習中起到了關鍵作用，學生聽起來也容易理解，教師講授起來也比較有條理，特別是在初中函數這一難度知識上，熟練地應用數學結合的方法會把繁雜的內容簡單起來，是初中數學學習的一個非常重要的思維方法。