對一類軸對稱最值問題的研究性學習

王昌林 羅萍雙

摘 要：在研究性學習過程中，將知識與實際應用有機結合，最后達到學以致用，培養(yǎng)學生的應用意識是《標準（2017版）》所提倡的，也是研究性學習在研究成果上的最終目的.從學生認知心理學的角度，研究性學習處于問題的第三層次：問題的解決.通過研究性學習，發(fā)展所獲得的知識使其能夠應用于解決實際問題.

關鍵詞：研究性學習;軸對稱;最值

研究性學習是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程.這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規(guī)律，給出解釋或證明.研究性學習是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴謹的科學態(tài)度和不怕困難的科學精神;有助于培養(yǎng)學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數學問題的能力;有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力[1].

但不是所有的課題都適用于研究性學習，研究性學習也不能完全取代傳統(tǒng)教學，研究性學習是對傳統(tǒng)教學的補充和發(fā)展，注重的是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，提升學生綜合素質的一種教學模式.

研究性學習問題的提出主要滿足以下四個課題選取的原則：問題題材選取的典型性;問題開展研究的可行性;問題拓展方向的多向性;問題研究成果的應用性.

1 問題呈現(xiàn)

如圖1所示，現(xiàn)有兩點A，B分別位于直線l兩側，在直線l上求一點P，使得PA+PB最小.

2 問題剖析

2.1 問題題材選取的典型性

（1）“將軍飲馬”是一個典型的數學模型，數學模型搭建了數學與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數學應用的重要形式[2] .

（2）以該問題為生長點命制了大量中考試題與競賽題.

（3）具有歷史性，有著典型的歷史背景.

古希臘的亞里山大里亞城有一位叫海倫的偉大學者，某一天，有位將軍不遠萬里的專程到亞歷山大城向海倫求教問題：“自己從一個地方出發(fā)到河邊飲馬，然后再去另外一地軍營視察，路線有很多，但是不知道怎樣的路線是最短的.”

（4）與物理學科中光的傳播路徑有著共同之處.

（5）兩線段之和的最小值實際上就是數學建模圖論中最短路徑問題，是運用數學知識解決生活實際問題的典型代表.

2.2 問題開展研究的可行性

（1）難度適中，本問題可以在學生已有知識基礎之上進行研究性學習.如圖2所示，作點B關于l的對稱點B1，連接AB1與直線l相交于點P.

原理：兩點之間線段最短，PA+PB的最小值為AB1.

（2）所蘊含的理論知識較為簡單，即“兩點之間線段最短”.

（3）無硬件設施要求，只需簡單的學習工具就可進行研究操作.

2.3 問題拓展方向的多向性

（1）“將軍飲馬”是數學知識進行實際運用的典型代表，而實際問題中，由于河流的數量、人所處的位置以及外界環(huán)境的影響而改變路線等都可能發(fā)生，讓學生針對改變的量進行相關的推廣并利用所學知識作出最優(yōu)路徑.

推廣1 將飲馬點變成一條線段.

分析 如圖3所示，在直線l上求兩點，將M與N兩點的距離固定為a，轉化為求AM+MN+NB的最小值.

結論 求AM+MN+NB的最小值等于MN+A2B的值.

推廣2 將點B放在兩條平行線組成的河流的對岸.

分析 如圖4所示，將河流看成兩條平行的直線l1與l2，河中的路線為垂直于河流的垂線段MN，人與景的位置看成點A與點B.轉化為求AM+MN+NB的最小值.

結論 求AM+MN+NB的最小值等于MN+A1B的值.

推廣3 將河流轉變成相交的兩條直線.

分析 如圖5所示，將河流抽象為兩條直線l1與l2，軍營抽象為點P.直線l1與l2上兩點M與N，最短路線就是求PM+MN+NP的最小值.

結論 求PM+MN+NP的最小值等于P1P2的值.

推廣4 在推廣3基礎上增加點的個數.

分析 如圖6所示，將河流抽象為兩條直線l1與l2，軍營和將軍的位置分別抽象為點P與點Q.直線l1與l2上兩點M與N，最短路線就是求QP+PM+MN+NP的最小值.

結論 求QP+PM+MN+NP的最小值等于求P1Q1的值.

（2）根據一個問題想到眾多實際中可能出現(xiàn)的情況，一個變多個與改變研究對象的狀態(tài)的思考方式對于問題的本身，找到了不同的情況下對應的處理方式，得到和的最小值.既然有和的最小值，就會有差的最小值或者最大值.

點A與點B在同側時：

變式1 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最小值.

變式2 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最大值.

點A與點B在異側時：

變式3 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最小值.

變式4 去河邊的距離與飲馬后回軍營的距離的差的絕對值的最大值.

評注 多個視角下的推廣以及變式，讓學生可以在不同的變式推導過程中體驗到基本量之間的聯(lián)系，打開學生的思維，完善學生認知結構.

（3）在探究的過程中發(fā)現(xiàn)貫穿全部的研究過程中都利用了兩點之間直線段最短，改變情景，探究多條河流，例如：若軍營處于三條河流交匯的小島上，要使得軍營補給站向每個交匯處的營地發(fā)出的補給運輸總路程最短.

分析 如圖7所示，將河流抽象為三條直線l1，l2與l3，軍營補給站的位置抽象為點P，三個警衛(wèi)營分別為點A、點B與點C.總路程最短就是求PA+PB+PC的最小值.而三點又不是在同一直線上的點，則需將三點放在同一直線上.通過構造等邊三角形，利用旋轉方式將PA，PB，PC放于同一直線上.當∠APB=∠BPC=∠APC=120°時，就是最短的總路程.其中點P所在的位置為“費馬點”.

2.4 問題研究成果的應用性

應用1 （2018年初中數學聯(lián)賽二試A卷第2（2）題）如圖8所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，點C在OA上，AC=4，點D為OB的中點，點E為弧AB上的動點，OE與CD的交點為點F，求CE+2DE的最小值[3].

評注 本題中通過作輔助線利用相似比，再運用推論4思想可以對問題進行求解.

應用2 如圖9所示，將邊長為6的正三角形紙片ABC按圖9順序進行兩次折疊，展開后得折痕AD，BE（如圖10），點O為其交點.

（1）探究AO與OD的數量關系，并說明理由;

（2）如圖11，若點P與點N分別在BE與BC上的動點.①當PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度;②如圖12，若點Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值.

評注 本試題中，折痕與邊之間的線段長度之和的最小值也就是在研究性學習中推廣3與推廣4中將河流轉化為兩邊之間的路徑最短問題.

本案例用將軍飲馬的故事引入，打破傳統(tǒng)課堂中單調的上課方式，讓學生想象將軍飲馬的各種情境，并學會將其轉化為點與線的關系來考慮.改變傳統(tǒng)模式促使學生自己動手解決問題.初中學生積累知識比較少，不宜太復雜，而理想狀態(tài)下的點與線還是可以進行研究性學習的. “將軍飲馬”是一個非常經典的數學模型，筆者僅以簡單的問題形式對研究性學習課題的選取作以具體的闡述，希望能為后續(xù)的進一步研究起到拋磚引玉的作用.

參考文獻：

[1] 林建平.淺談高中數學自主探究式教學模式[J].福建教育學院學報，2005（06）：38-39.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3] 榮賀，曲藝.與阿氏圓有關的廣義將軍飲馬問題[J].數學通報，2018，57（08）：48-52.

（收稿日期：2019-10-12）