基于FPGA實現快速矩陣求逆算法*

張 繁，何明亮

（上海諾基亞貝爾股份有限公司，江蘇 南京 210037）

0 引 言

矩陣求逆在接收抗干擾信號處理中應用廣泛。相比傳統的矩陣求逆算法，基于cholesky分解的矩陣求逆算法，大大簡化了求逆運算量。在接收抗干擾處理和權值更新的過程中，用時越長，則定位誤差越大。用FPGA的流水線設計來實現cholesky分解求逆算法，則能充分體現出“實時”特性，對抗干擾處理有十分重要的意義。矩陣求逆算法RTL編碼在FPGA設計中開發難度大、效率低，這里研究了一種基于自相關矩陣的cholesky分解求逆算法在FPGA中的實現。

1 Cholesky分解方法

Cholesky分解矩陣[1]方法是利用協方差矩陣A厄米特（Hermitian）正定的特性，將協方差矩陣A分解為上/下三角矩陣L及其共軛矩陣的乘積。計算出上/下三角矩陣的逆矩陣P，通過求取上/下三角矩陣的逆矩陣的共軛矩陣PH及矩陣P的乘積，即可得到原協方差矩陣A的逆矩陣。下面以分解為下三角矩陣為例介紹Cholesky分解[2-3]求逆算法。

1.1 Cholesky分解

Am是對稱正定矩陣，是矩陣的Choleksy分解，其中Lm是一個具有正的對角線元素的下三角矩陣，即：

采用分塊法計算Lm矩陣。令Lm由分塊矩陣L11、0、L1和Lm-1構成。其中，L11為1×1的標量；0為1×(m-1)的行向量；L1為(m-1)×1的列向量；Lm-1為 (m-1)×(m-1)的矩陣。

同理，將Am由分塊矩陣a11、a1和Am-1構成。

可以得出，Lm第一列的值可由Am的第一列的值算出，即：

由此產生的新矩陣為：

按照上述相同的矩陣分塊的方法，即可計算出Lm-1第1列的值，即Lm第二列的值；以此類推，即可計算出下三角矩陣Lm的值。

1.2 下三角矩陣求逆

Am的求逆運算公式為：

Lm的值已經求出，下面就是對Lm求逆。

設Pm為Lm的逆矩陣，即，則有：

分析式（9）可以得出Pm也為下三角矩陣，而Pm主對角線的值分別為：

次對角線計算方法如下。

由：

可得：

依次類推，可以計算出Pm矩陣第三對角線以及所有其他元素的值。

1.3 矩陣相乘

根據計算的下三角矩陣Pm，實現Pm與Pm共軛矩陣的相乘，最終得到矩陣Am的逆矩陣：

2 FPGA實現

以m=9為例，基于FPGA實現9×9復數矩陣的求逆運算。圖1為基于矩陣求逆的抗干擾模塊實現框圖。

其中，關于9×9復數矩陣A的求逆運算模塊如圖2所示。

圖1 基于矩陣求逆的抗干擾實現模塊

圖2 9×9復數矩陣求逆模塊

對9×9復數矩陣A進行Cholesky分解過程的模塊框圖如圖3所示。

圖3 9×9矩陣Cholesky分解模塊

圖4為9×9矩陣Cholesky分解模塊框圖，該模塊完成9×9下三角復數矩陣L的求逆[4]運算，矩陣L的主對角線為實數。公式L*P=E中，L的逆矩陣P也是9×9下三角矩陣，P的主對角線為L的主對角線的倒數。下三角矩陣求逆模塊，如圖5所示。

圖4 循環展開框

圖5 下三角矩陣求逆模塊

3 Matlab效果驗證

表1為四陣元、三干擾以及干擾強度為-65 dBm的環境下Matlab的仿真結果。

表1 Matlab仿真結果對比

在該種環境下選取24×24矩陣為最優結構。圖6為24×24矩陣結構下Matlab的運算結果。

圖6 Matlab仿真結果

4 結 語

基于Cholesky分解的矩陣求逆算法，利用FPGA流水線設計特點在FPGA中實現該算法，其實時性在接收抗干擾應用中有著十分重要的意義。結合實際環境、需求以及FPGA設計資源等因素，可以合理選取最優結構進行抗干擾處理。