五說微積分學中的這個重要函數

陸宗斌

(蘇州健雄職業技術學院，江蘇 太倉215400)

在《微積分學中一個重要函數》[1]、《再說微積分學中的這個重要函數》[2]、《三說微積分學中的這個重要函數》[4]、《四說微積分學中的這個重要函數》[5]諸文中，我們對第一個重要極限

本文就對f(x)、F(x)進行積分討論。

1 關于不定積分計算

由于f(x)、F(x)均在定義域內連續，所以它們的原函數均存在，即它們都是可積的，于是不妨設：

當冪級數引入后，再用逐項積分就有：

2 關于定積分計算

2.1 F(x)在區間[0,a]上的積分

由于F(x)為偶函數，所以先考慮[0,a]區間上的積分：

這是一個一般項趨于零的交錯級數，是收斂的！

利用計算機（電子表格）可以計算出上面級數的具體數值：

……（限于篇幅，不進行更多的積分值計算了）

2.2 當積分區間為時，應用定積分公式有：

2.3 F(x)在區間[a,b]上的積分

由積分區間可加性公式可得：

這是兩個收斂的交錯級數之差，是收斂的。

2.4 關于f(x)的定積分

當區間[a,b]包含x=0 點時，則屬于廣義（瑕）積分范疇。

3 廣義積分

3.1 間斷點之瑕積分

因為x=0 是f(x)的不連續點，且為偶函數，所以只須考察區間[0,a]上的瑕積分：

3.2 無窮區間之廣義積分