基于MR 的非線性Jeffcott 轉子系統的振動特性

張凌淼

(沈陽航空航天大學 航空發動機學院，遼寧 沈陽110136)

用于旋轉動力應用的可控阻尼裝置主要是利用液壓或電磁幾種物理原理。Mu 等人[1]研究了一種控制具有錐形間隙的普通擠壓油膜阻尼器的阻尼力對系統的響應。Shafi 等人[2]提出了一種通過改變阻尼器端面密封軸向位置來控制阻尼力的設計方案。Gurubasavaraju 等人[3]認為半主動懸架系統領域最有前途的技術是利用磁流變阻尼器的磁流變特性，并對其進行外部磁場控制。Sharipov 等人[4]提出了一種具有曲折磁路新型磁流變阻尼器，以提高其系統的阻尼性能。

同時，Sun 等人[5]介紹了具有不同剛度和阻尼力的磁流變阻尼器車輛懸架系統，并對其進行了原型設計，建模和實驗評估。Li 等人[6]針對目前磁流變阻尼器的響應特性表現不佳的問題，提出了一種基于自適應阻尼器的非線性線圈模型。利用基于方波測試結果的遺傳算法識別模型參數，分析了電路和阻尼器模型的性能，設計了一種可變結構的電流驅動阻尼器器。Ata 等人[7]論述了振動控制創新領域中磁流變阻尼器的正確設計方法，以確定一種適用于磁流變阻尼器協調車輛懸架減振的半主動控制方法。Zhao 等人[8]研究了一種小型磁流變阻尼器的動態特性，通過遺傳算法識別該模型的參數，并且回歸這些參數與輸入電流，激勵頻率和振幅之間的數學關系。

此外，Jaroslav 等人[9]研究了一種磁流變擠壓的數學模型，并分析了在轉子振動衰減過程中磁流變阻尼裝置中所發生的復雜電磁現象。Ferfecki 等人[10]開發了一種由磁流變擠壓油膜阻尼器支撐的柔性轉子的新數學模型，研究了用于確定阻尼器間隙中磁感應的半解析關系的推導方法。Zapomel 等人[11]提出了一種使用雙線性材料來模擬磁流變流體的連續流動曲線方程，并對轉子系統的運動特性進行更合理的描述。本文討論了一種基于磁流變阻尼器的Jeffcott 轉子系統的振動特性。通過推導磁流變阻尼器阻尼力的表達式，并建立新型轉子系統模型。討論有無外電壓輸入時對系統時域、頻域和穩態軸心軌跡的影響，并進一步研究在固有頻率附近磁流變阻尼器外電壓對轉子軸心位移的影響。最后通過諧波平衡解析解與龍格庫塔數值解對研究系統進行驗證。

1 轉子系統參數命名

如表1 所示，給出了下文所使用的物理量和幾何量的符號命名。

2 磁流變阻尼力

磁流變阻尼器是一種基于磁流變對磁場敏感性的可控阻尼裝置。其中的主要部件是兩個同心圓環，由一層薄薄的磁流變液體隔開，如圖1 所示。內圈通過滾動軸承與軸頸連接，并通過保持架彈簧與減震器本體連接。轉子橫向振動導致油層擠壓，產生阻尼力。由于磁流變對轉子的阻尼力取決于磁感應，所以這種變化取決于外加電流對阻尼力的影響。

表1 系統參數

圖1 磁流變擠壓油膜阻尼器的設計方案

根據經典潤滑理論的假設，建立了阻尼器的數學模型。磁流變液阻尼器是用雙線性材料，其屈服剪應力是磁感應強度的函數。阻尼器相對于它的中間平面被認為是短軸對稱的，在油膜厚度隨時間增加的區域，假定發生空化，空化區的壓力保持不變，等于環境空間中的壓力。全油膜的壓力分布是由雷諾方程決定的，該方程適用于雙線性材料。有關其推導和解決方案的更多詳細信息，請參見參考文獻[11]。

通過積分減振器間隙內的壓力分布，計算了轉子軸頸上的x 方向和y 方向上的水力分量。

考慮到非空化區和空化區的不同壓力分布。由方程(1)可知，阻尼器間隙內的壓力分布與屈服剪應力有關，它對磁感應強度的依賴由冪函數近似表示如下。

磁流變阻尼器是由一組對稱線圈和每一段作為電磁鐵的分塊核心組成，間隙中充滿了磁流變，這使得油液層中表示磁感應可以表示為。

設計參數kB 是線圈匝數和磁效率的乘積，其計算細節見參考文獻[10]。

通過磁流變阻尼器的線圈的電流由電壓平衡方程支配。

由于轉子橫向振動而改變阻尼器間隙的寬度，會導致磁路磁阻的變化，從而產生磁通變化，總磁通量之和可以表示為。

由霍普金斯定律可得。

方程(7)的右側部分是第一經絡段磁路的磁阻。假設每個部分都具有磁阻性，但比油膜小得多，因此分配給磁通通過的每一段的區域是。

其次，假定分段的厚度為無窮小。

將方程(6)和(8)代入方程(7),可以得到總磁通量的關系式。

其中A 是時間的函數。將方程(10)時間微分后代入方程(5)，得到了電路中外加電流的時程控制方程。

3 轉子系統

研究一個在兩端通過磁流變擠壓膜阻尼器連接到固定裝置的簡單非線性Jeffcott 轉子系統模型，如圖2 所示。通過計算模擬，研究了電路在不同工作轉速下對阻尼效應的影響。在振動特性的研究中，考慮彈性支承的立方非線性剛度，忽略不同方向之間的耦合非線性作用。由牛頓第二定律推導出該系統的非線性振動方程。

圖2 系統模型

4 計算模擬結果

轉子和磁流變阻尼器的工藝參數和操作參數總結于表2中。

表2

首先，轉子以100 rad/s 的恒定角速度旋轉，低于臨界轉速，轉子x 軸方向上時域分析如圖3(a)所示；由于自身重力的影響，y 軸方向上轉子的振動軌跡向下平移后達到新的穩定狀態如圖3(b)所示。磁流變阻尼器電壓u=2v，轉子x 軸方向上時域分析如圖3(c)所示，穩定狀態時振幅減小到原來的0.5 倍左右，轉子y軸方向上時域分析如圖3 (d)所示，y 軸方向上轉子的平衡位置有所上移，振幅也有明顯減小。

如圖4 所示，討論了當系統達到穩定狀態時，有無外電壓對系統位移速度的影響。圖4 給出了外電壓分別為0V 和2V 時X軸方向的位移速度關系，由對比關系可知輸入外電壓磁流變阻尼器抑制了轉子系統在x 軸和y 軸方向上的運動，并且對比圖4(b)和(d)可知y 軸也起到了振動抑制的效果，但穩態的運動情況更加復雜。

在不施加電流的情況下轉子穩定狀態的軸心運動軌跡如圖5(a)所示，并通過圖5(b)說明了穩態下轉子運動軌跡與坐標原點的位置關系，由圖所示運動軌跡基本關于x 軸對稱。當外電壓為2v 時，如圖5 (c)所示，轉子穩態下的軸心運動軌跡半徑和距離坐標原點距離明顯減小，并且由圖5(d)可知轉子運動軌跡不再具有對稱性，運動軌跡更難預測。研究表明外加電壓抑制了轉子位移和速度，但轉子的運動軌跡變得更加復雜。

圖6 給出了轉子系統在固有頻率附近不同電壓的穩態軌道。正如前面所得到的結果一樣，增加電壓會導致軌道尺寸的減小，此外，電壓的輸入也影響了轉子穩態軌跡與坐標中心位置關系。這是由于電壓升高后的電流強度也隨之上升，隨著磁路的磁阻和電感變化，改變了軸頸與阻尼環的間隙寬度，會引起磁流變阻尼力的水平分量和垂直分量的變化，最終出現如圖所示的變化關系。

如圖7 所示，給出了諧波平衡近似解析解與龍格庫塔數值解的曲線對比圖。解析解曲線與數值解曲線高度重合，證明了研究方法的可行性。

5 結論

本文建立了短軸磁流變擠壓油膜阻尼器的擴展數學模型，該模型考慮了阻尼器中瞬變電磁現象之間的相互作用，并將該模型應用到非線性Jeffcott 轉子系統中進行振動抑制。對比諧波平衡解析解和四階龍格庫塔數值解的曲線關系，驗證了分析結果的準確性。通過以上研究，可以得到以下結論。(1)對比分析轉子系統的時域響應，結果表明磁流變阻尼力作用在系統上，可以更好抑制系統振動。(2)隨著外電壓的增大，轉子偏心位移軌跡明顯減小，證實了阻尼電路中的電磁現象對轉子系統振動衰減的影響。(3)諧波平衡近似解與龍哥庫塔的數值解一致重合，驗證了分析方法的正確性。

圖3 時域對比分析

圖4 速度位移對比分析

[4] Sharipov G M, Paraforos D S, Griepentrog H W.Implementation of a magnetorheological damper on a no-till seeding assembly for optimising seeding depth[J]. Computers and Electronics in Agriculture. 2018, 150：465-475.

[5] Sun S, Tang X, Yang J,et al. A new generation of magnetorheological vehicle suspension system with tunable stiffness and damping characteristics [J].IEEE Transactions on Industrial Informatics. 2019,99：1-10.

[6] Li J, Han Z Y, Yang W, et al. Drive system for magnetorheological suspension based on nonlinear damper electric model[J]. Jilin Daxue Xuebao(Gongxueban)/Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition). 2018,48(3)：645-651.

[7] Ata W G, Salem A M.Semi -active control of tracked vehicle suspension incorporating magnetorheological dampers[J]. Vehicle System Dynamics, 2017：1-22.

[8] Zhao Y L, Xu Z D. A hysteretic model considering Stribeck effect for small -scale magnetorheological damper [J]. Smart Materials and Structures, 2018.

[9] JaroslavZapomělab,PetrFerfeckibc, JanKozáneka.The mathematical model for analysis of attenuation ofnonlinear vibration of rigid rotors influenced byelectromagnetic effects [J].Journal of Sound and Vibration. 2019, 443： 167-177.

[10] P Ferfecki,J Zapomel, J Kozanek. Analysis of the vibration attenuation of rotors supported by magnetorheological squeeze film dampers as a multiphysical finite element problem [J]. Adv Eng Softw. 2017,104： 1-11.

圖5 轉子穩態軸心運動軌跡對比分析

圖6 不同轉速的轉子穩態運動軌跡

圖7 解析解與數值解

[11] J Zapomel, P Ferfecki, P Forte. A new mathematical model of a short magnetorheological squeeze film damper for rotordynamic applications based on a bilinear oil representation derivation of the governing equations [J]. Appl Math Model.2017, 52： 558-575.